2025届上海市宝山区行知中学数学高三第一学期期末经典模拟试题含解析

2025届上海市宝山区行知中学数学高三第一学期期末经典模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数z=2i1-i，则A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．集合，，则()A． B． C． D．3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，，，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（）A． B． C． D．4．过点的直线与曲线交于两点，若，则直线的斜率为()A． B．C．或 D．或5．的展开式中的系数是（）A．160 B．240 C．280 D．3206．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的，若判断框内填入的条件为，则正整数的最小值是A． B． C． D．7．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市月至月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A．1月至8月空气合格天数超过天的月份有个B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C．8月是空气质量最好的一个月D．6月份的空气质量最差.8．函数的定义域为（）A．或 B．或C． D．9．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（）A． B． C． D．10．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（）A．1 B． C．2 D．311．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A．12种 B．18种 C．24种 D．64种12．已知复数，满足，则（）A．1 B． C． D．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数，满足约束条件，则的最大值是__________.14．已知，，，的夹角为30°，，则_________.15．已知函数的部分图象如图所示，则的值为____________.16．已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，（Ⅰ）当时，证明；（Ⅱ）已知点，点，设函数，当时，试判断的零点个数．18．（12分）新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，电子购物平台成为人们的热门选择.为提高市场销售业绩，某公司设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采用促销”和“没有采用促销”的营销网点各选取了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.（1）请你根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”；采用促销没有采用促销合计精英店非精英店合计5050100（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价(单位：元)和日销量(单位：件)的一组数据后决定选择作为回归模型进行拟合.具体数据如下表，表中的：①根据上表数据计算的值；②已知该公司成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价定为多少时日利润可以达到最大.附①：附②：对应一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.19．（12分）在平面直角坐标系中，将曲线（为参数）通过伸缩变换，得到曲线，设直线（为参数)与曲线相交于不同两点，.（1）若，求线段的中点的坐标；（2）设点，若，求直线的斜率.20．（12分）已知数列满足，等差数列满足，（1）分别求出，的通项公式；（2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为证明：．21．（12分）第十四届全国冬季运动会召开期间，某校举行了“冰上运动知识竞赛”，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（1）求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率；（2）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动，并指定2名负责人，求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.组号分组频数频率第1组150.15第2组350.35第3组b0.20第4组20第5组100.1合计1.0022．（10分）如图，三棱柱中，与均为等腰直角三角形，，侧面是菱形.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：根据复数的运算，求得复数z，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．详解：由题意，复数z=2i1-i所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-1)，位于复平面内的第三象限，故选C．点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数z是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2、A【解析】

解一元二次不等式化简集合A，再根据对数的真数大于零化简集合B，求交集运算即可.【详解】由可得，所以，由可得,所以,所以，故选A．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.3、B【解析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.【详解】解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，其和等于16的结果，共2种等可能的结果，故概率.故选：B.【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.4、A【解析】

利用切割线定理求得，利用勾股定理求得圆心到弦的距离，从而求得，结合，求得直线的倾斜角为，进而求得的斜率.【详解】曲线为圆的上半部分，圆心为，半径为.设与曲线相切于点，则所以到弦的距离为，，所以，由于，所以直线的倾斜角为，斜率为.故选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.5、C【解析】

首先把看作为一个整体，进而利用二项展开式求得的系数，再求的展开式中的系数，二者相乘即可求解.【详解】由二项展开式的通项公式可得的第项为，令，则，又的第为，令，则，所以的系数是.故选：C【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.6、B【解析】

初始：，，第一次循环：，，继续循环；第二次循环：，，此时，满足条件，结束循环，所以判断框内填入的条件可以是，所以正整数的最小值是3，故选B．7、D【解析】由图表可知月空气质量合格天气只有天，月份的空气质量最差．故本题答案选．8、A【解析】

根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.【详解】由题意可得，解得或.因此，函数的定义域为或.故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.9、D【解析】

把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率．【详解】3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，∴所求概率为．故选：D.【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率．10、C【解析】

连接AO，因为O为BC中点，可由平行四边形法则得，再将其用，表示.由M、O、N三点共线可知，其表达式中的系数和，即可求出的值.【详解】连接AO，由O为BC中点可得，，、、三点共线，，.故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.11、C【解析】

根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有种情况，此时有种情况，则有种不同的安排方法；故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．12、A【解析】

首先根据复数代数形式的除法运算求出，求出的模即可．【详解】解：，，故选：A【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

令，所求问题的最大值为,只需求出即可，作出可行域，利用几何意义即可解决.【详解】作出可行域，如图令，则，显然当直线经过时，最大，且，故的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.14、1【解析】

由求出，代入，进行数量积的运算即得.【详解】，存在实数，使得.不共线，.，，，的夹角为30°，.故答案为：1.【点睛】本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算，属于基础题.15、【解析】

由图可得的周期、振幅，即可得，再将代入可解得，进一步求得解析式及.【详解】由图可得，，所以，即，又，即，，又，故，所以，.故答案为：【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.16、【解析】由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1.【解析】

（Ⅰ）令，；则．易得，．即可证明；（Ⅱ），分①，②，③当时，讨论的零点个数即可．【详解】解：（Ⅰ）令，；则．令，，易得在递减，在递增，∴，∴在恒成立．∵在递减，在递增．∴．∵；（Ⅱ）∵点，点，∴，．①当时，可知，∴∴，，∴．∴在单调递增，，．∴在上有一个零点，②当时，，，∴，∴在恒成立，∴在无零点．③当时，，．∴在单调递减，，．∴在存在一个零点．综上，的零点个数为1．．【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题．18、（1）列联表见解析，有把握；（2）①；②元时【解析】

（1）直接由题意列出列联表，通过计算，可判断精英店与采用促销活动是否有关.（2）①代入表中数据，结合公式求出；②由①中所得的线性回归方程，若售价为，单价利润为，日销售量为，进而可求出日利润，结合导数可求最值.【详解】解：（1）由题意知，采用促销中精英店的数量为，采用促销中非精英店的数量为；没有采用促销中精英店的数量为，没有采用促销中非精英店的数量为，列联表为采用促销没有采用促销合计精英店352055非精英店153045合计5050100因为有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”.（2）①由公式可得：所以回归方程为②若售价为，单件利润为，日销售为，故日利润，解得.当时，单调递增；当时，单调递减.故当售价元时，日利润达到最大为元.【点睛】本题考查了独立性检验，考查了线性回归方程的求法，考查了函数最值的求解.在求函数的最值时，常用的方法有：函数图像法、结合函数单调性分析最值、基本不等式法、导数法.其中最常用的还是导数法.19、（1）；（2）.【解析】

（1）由l参数方程与椭圆方程联立可得A、B两点参数和，再利用M点的参数为A、B两点参数和的一半即可求M的坐标；（2）利用直线参数方程的几何意义得到，再利用计算即可，但要注意判别式还要大于0.【详解】（1）由已知，曲线的参数方程为（为参数），其普通方程为，当时，将（为参数）代入得，设直线l上A、B两点所对应的参数为，中点M所对应的参数为，则，所以的坐标为；（2）将代入得，则，因为即，所以，故，由得，所以.【点睛】本题考查了伸缩变换、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道中档题.20、(1)（2）证明见解析【解析】

（1）因为，所以，所以，即，又因为，所以数列为等差数列，且公差为1，首项为1，则，即.设的公差为，则，所以（），则（），所以，因此，综上，．（2）设数列的前n项和为，则两式相减得，所以，设则，所以.21、（1），，，；（2）【解析】

（1）根据第1组的频数和频率求出，根据频数、频率、的关系分别求出，进而求出不低于70分的概率；（2）由（1）得，根据分层抽样原则，分别从抽出2人，2人，1人，并按照所在组对抽出的