课时质量评价62　离散型随机变量的分布列及数字特征-2022届高三数学一轮复习检测（新高考）

课时质量评价(六十二)(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A．ξ＝4B．ξ＝5C．ξ＝6D．ξ≤5C解析：“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.2．(2020·南宁二中高三月考)已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1)，发球次数为X.若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))A解析：由题可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，解得p>eq\f(5,2)或p<eq\f(1,2).由p∈(0,1)可得p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).故选A．3．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X.已知E(X)＝3，则D(X)＝()A．eq\f(8,5)B．eq\f(6,5)C．eq\f(4,5)D．eq\f(2,5)B解析：由题意可得，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,m＋3))).又E(X)＝eq\f(5×3,m＋3)＝3，所以m＝2，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,5)))，故D(X)＝5×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(6,5).4．(2020·浙江重点高中联考)已知0<a<1，随机变量X的分布列如下：X－101P(1－a)22a(1－a)a2若E(X)＝D(X)，则实数a的值为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(2),2)D解析：(方法一)由随机变量X的分布列及数学期望和方差的计算公式可知，E(X)＝－(1－a)2＋a2＝2a－1，D(X)＝(－1－2a＋1)2(1－a)2＋(－2a＋1)2×2a(1－a)＋(1－2a＋1)2a2＝2a(1－a)．因为E(X)＝D(X)，所以2a－1＝2a(1－a)，得a＝eq\f(\r(2),2).故选D．(方法二)令Y＝X＋1，则X＝Y－1，随机变量Y的分布列为Y012P(1－a)22a(1－a)a2由二项分布的有关知识可知，Y～B(2，a)，所以E(Y)＝2a，D(Y)＝2a(1－a)，所以E(X)＝E(Y－1)＝E(Y)－1＝2a－1，D(X)＝D(Y－1)＝D(Y)＝2a(1－a)．又E(X)＝D(X)，所以2a－1＝2a(1－a)，得a＝eq\f(\r(2),2).故选D．5．(2020·红桥区高三一模)已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出2个球．若2个球颜色不同则中奖，否则不中奖．设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ，则ξ的期望为()A．eq\f(9,5)B．eq\f(18,5)C．eq\f(6,5)D．eq\f(24,5)A解析：由题意可知，每次摸球中奖的概率p＝1－eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，则ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,5))).因此，ξ的期望为E(ξ)＝3×eq\f(3,5)＝eq\f(9,5).故选A．6．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支．设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A．5B．5.25C．5.8D．4.6B解析：由题意可知，X可以为3,4,5,6，P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).由数学期望的定义可求得E(X)＝3×eq\f(1,20)＋4×eq\f(3,20)＋5×eq\f(3,10)＋6×eq\f(1,2)＝5.25.7．(2020·福建高三模拟)勤洗手、常通风、戴口罩是切断某些传染病传播的有效手段．经调查，某疫情期间，某小区居民人人养成了出门戴口罩的好习惯．选择佩戴一次性医用口罩的概率为p，每人是否选择佩戴一次性医用口罩是相互独立的．现随机抽取5位该小区居民，其中选择佩戴一次性医用口罩的人数为X，且P(X＝2)<P(X＝3)，D(X)＝1.2，则p的值为________．eq\f(3,5)解析：因为D(X)＝1.2，所以5p(1－p)＝1.2，解得p＝eq\f(3,5)或p＝eq\f(2,5).因为P(X＝2)<P(X＝3)，所以Ceq\o\al(2,5)p2(1－p)3<Ceq\o\al(3,5)p3(1－p)2，解得p>eq\f(1,2)，所以p＝eq\f(3,5).8．2020年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率为________．eq\f(3,8)解析：由题意可知每名学生的英语成绩ξ～N(95,82)，所以P(ξ＞95)＝eq\f(1,2)，故所求概率p＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(3,8).9．(2020·大港一中高三二模)某中学的十佳校园歌手有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班．现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为________；设X为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X的数学期望为________．eq\f(49,60)eq\f(6,5)解析：设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7)＋C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).由题意知随机变量X的所有可能值为0,1,2,3，且P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)C\o\al(3－k,6),C\o\al(3,10))(k＝0,1,2,3)，所以随机变量X的分布列为X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)所以随机变量X的期望为E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).10．(2021·青岛二中月考)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：min)进行调查，将收集的数据分成[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]六组，并作出频率分布直方图(如图)．将日均课外体育锻炼时间不低于40min的学生评价为“课外体育达标”．(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算，判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关．课外体育不达标课外体育达标总计男60女110总计(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层随机抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查．记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.020＋0.005)×10]＝50，则“课外体育不达标”人数为150，所以列联表如下：课外体育不达标课外体育达标总计男603090女9020110总计15050200所以χ2＝eq\f(200×(60×20－30×90)2,90×110×150×50)＝eq\f(200,33)≈6.061<6.635.所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“课外体育达标”与性别有关．(2)采用分层随机抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意可知，ξ的所有可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(6,56)＝eq\f(3,28)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)＝eq\f(15,28)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,8))＝eq\f(20,56)＝eq\f(5,14)，故ξ的分布列为ξ123Peq\f(3,28)eq\f(15,28)eq\f(5,14)故ξ的数学期望E(ξ)＝1×eq\f(3,28)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,14)＝eq\f(9,4).B组新高考培优练11．(多选题)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq\f(1,3)，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是()A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝eq\f(4,9)AB解析：因为随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq\f(1,3)，所以P(X＝1)＝eq\f(2,3)，E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×eq\f(2,3)＋2＝4，故B正确；在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×eq\f(2,9)＝2，故C错误；在D中，D(X)＝eq\f(2,9)，故D错误．故选AB．12．(多选题)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览．已知该游客游览A景点概率为eq\f(2,3)，游览B，C和D景点的概率都是eq\f(1,2)，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，则(ABD)A．游客至多游览一个景点的概率为eq\f(1,4)B．P(X＝2)＝eq\f(3,8)C．P(X＝4)＝eq\f(1,24)D．E(X)＝eq\f(13,6)13．(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则()A．抽取2次后停止取球的概率为eq\f(3,5)B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为eq\f(9,10)C．取球次数ξ的期望为2D．取球次数ξ的方差为eq\f(9,20)BD解析：设取球次数为ξ，可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3，则P(ξ＝1)＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,10).对于A选项，抽取2次后停止取球的概率为P(ξ＝2)＝eq\f(3,10)，A选项错误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(3,5)＋eq\f(3,10)＝eq\f(9,10)，B选项正确；对于C选项，取球次数ξ的期望为E(ξ)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2)，C选项错误；对于D选项，取球次数ξ的方差为D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,10)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,10)＝eq\f(9,20)，D选项正确．故选BD．14．(2020·四川南充高三模拟)为弘扬新时代的中国女排精神．甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛，采用五局三胜制(即某队先赢三局则获胜，比赛随即结束)．若两队的竞技水平和比赛状态相当，且每局比赛相互独立，则比赛结束时已经进行的比赛局数的数学期望是________．eq\f(33,8)解析：因为两队的竞技水平和比赛状态相当，所以每场比赛甲赢或乙赢的概率都是0.5.设比赛结束时已经进行的比赛局数为ξ，则ξ的可能取值为3,4,5.P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)，P(ξ＝5)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)))＝eq\f(3,8)，所以ξ的分布列为ξ345Peq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(3,8)E(ξ)＝3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(3,8)＋5×eq\f(3,8)＝eq\f(33,8).15．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．(1)求X的分布列；(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？解：(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6.P(X＝0)＝eq\f(1,10)×eq\f(1,10)＝eq\f(1,100)，P(X＝1)＝eq\f(1,10)×eq\f(1,5)×2＝eq\f(1,25)，P(X＝2)＝