2023年贵州省中考数学试卷含答案

第1页（共1页）2023年贵州省中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）1．（3分）5的绝对值是（）A．±5 B．5 C．﹣5 D．2．（3分）如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是（）A． B． C． D．3．（3分）据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（）A．0.1087×105 B．1.087×104 C．1.087×103 D．10.87×1034．（3分）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点E．若∠C＝40°，则∠A的度数是（）A．​39° B．40° C．41° D．42°5．（3分）化简结果正确的是（）A．1 B．a C． D．6．（3分）“石阡苔茶”是贵州十大名茶之一，在我国传统节日清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的苔茶（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装苔茶的进货数量，影响经销商决策的统计量是（）包装甲乙丙丁销售量（盒）15221810A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差7．（3分）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m8．（3分）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（）A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同9．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（）A． B．3x+1＝100 C． D．10．（3分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，b）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（）A．2 B．3 C．4 D．512．（3分）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．小星家离黄果树景点的路程为50km B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h C．小星从家出发2小时离景点的路程为125km D．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）因式分解：x2﹣4＝．14．（4分）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是．15．（4分）若一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是．16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E为矩形内一点，且AB＝1，AD＝，∠BAE＝75°，∠BCE＝60°，则四边形ABCE的面积是．三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）计算：；（2）已知，A＝a﹣1，B＝﹣a+3．若A＞B，求a的取值范围．18．（10分）为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题：某校学生一周体育锻炼调查问卷以下问题均为单选题，请根据实际情况填写（其中0～4表示大于等于0同时小于4）问题：你平均每周体育锻炼的时间大约是A．0～4小时B．4～6小时C．6～8小时D．8～小时及以上问题2：你体育镀炼的动力是E．家长要求F．学校要求G．自己主动H．其他（1）参与本次调查的学生共有人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有人；（2）已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数；（3）请写出一条你对同学体育锻炼的建议．19．（10分）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：（1）更新设备后每天生产件产品（用含x的式子表示）；（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD．小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE．（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；（2）连接AD，若，求AC的长．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点．（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；（2）若一次函数y＝x+m与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．22．（12分）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）23．（12分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．（1）写出图中一个度数为30°的角：，图中与△ACD全等的三角形是；（2）求证：△AED∽△CEB；（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．24．（12分）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．25．（12分）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．（1）【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度；（2）【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．

2023年贵州省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）1．（3分）5的绝对值是（）A．±5 B．5 C．﹣5 D．【分析】根据绝对值的代数意义进行判断即可．【解答】解：5的绝对值是5．故选：B．【点评】本题考查绝对值的代数意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．2．（3分）如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是（）A． B． C． D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看到的平面图形为等腰梯形．故选：A．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．3．（3分）据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（）A．0.1087×105 B．1.087×104 C．1.087×103 D．10.87×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：10870＝1.087×104．故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点E．若∠C＝40°，则∠A的度数是（）A．​39° B．40° C．41° D．42°【分析】根据两直线平行，内错角相等即可求出∠A的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠C，∵∠C＝40°，∴∠A＝40°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．5．（3分）化简结果正确的是（）A．1 B．a C． D．【分析】依据题意，根据分式的加减运算法则进行计算即可得解．【解答】解：由题意，原式＝＝＝1．故选：A．【点评】本题主要考查分式的加减运算，解题时需要熟练掌握法则并能准确计算．6．（3分）“石阡苔茶”是贵州十大名茶之一，在我国传统节日清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的苔茶（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装苔茶的进货数量，影响经销商决策的统计量是（）包装甲乙丙丁销售量（盒）15221810A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的苔茶就是这组数据的众数．【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选：C．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．7．（3分）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m【分析】作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，又∵AD⊥BC，∴AD＝AB＝12＝6（m），故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题关键是掌握30度角所对的直角边是斜边的一半．8．（3分）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（）A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同【分析】分别求出摸出三种小球的概率，再比较大小即可．【解答】解：∵有3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球，∴小红从盒中随机摸出1个小球，摸出标有“北斗”的概率是＝；摸出标有“天眼”的概率是＝；摸出标有“高铁”的概率是＝，∵＞＞，∴摸出标有“高铁”小球的可能性最大．故选：C．【点评】本题考查的是可能性的大小，根据题意求出摸出各种小球的概率是解题的关键．9．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（）A． B．3x+1＝100 C． D．【分析】根据“今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完”，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：x+x＝100．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．10．（3分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，b）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点P（a，b）所在的象限．【解答】解：由二次函数的图象的开口方向向上，对称轴在y轴的右侧，∴a＞0，x＝﹣＞0，∴b＜0，∴P（a，b）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系以及判断点所占的象限，解答本题的关键是根据二次函数的图象判断出a、b的符号．11．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到CG＝CD，进而得到BG的长．【解答】解：由题可得，CF是∠ACD的平分线，∴∠ADG＝∠CDG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ADG＝∠CGD，∴∠CDG＝∠CGD，∴CG＝CD＝3，∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．故选：A．【点评】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．掌握角平分线以及平行线的性质是解题的关键．12．（3分）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．小星家离黄果树景点的路程为50km B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/h C．小星从家出发2小时离景点的路程为125km D．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h【分析】根据函数图象得出的信息对4个选项进行分析．【解答】解：根据图形与y轴交点坐标可得：小星家离黄果树景点的路程为200km，所以A不正确；（200﹣150）÷1＝50（km/h），小星从家出发第1小时的平均速度为50km/h，所以B不正确；由图象可得：小星从家出发2小时离景点的路程为75km，所以C不正确；（150﹣75）÷（2﹣1）＝75（km/h），150÷75+1＝3（h），所以D正确．【点评】本题主要考查了函数图象的相关知识，难度不大，认真分析即可．二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）因式分解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．14．（4分）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是（9，﹣4）．【分析】确定平面直角坐标系，即可确定龙洞堡机场的坐标．【解答】解：由题中条件确定点O即为平面直角坐标系原点，龙洞堡机场的坐标为（9，﹣4）；故答案为：（9，﹣4）．【点评】本题考查根据已知条件确定平面直角坐标系，解题的关键是明确平面直角坐标系x轴、y轴的正方向以及确定点的坐标．15．（4分）若一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是．【分析】结合已知条件，利用根的判别式及一元二次方程的定义即可求得答案．【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4k×1＝0，且k≠0，解得：k＝，故答案为：．【点评】本题考查一元二次方程的定义及其根的判别式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E为矩形内一点，且AB＝1，AD＝，∠BAE＝75°，∠BCE＝60°，则四边形ABCE的面积是．【分析】连接AC，根据勾股定理顶点AC＝＝2，求得AB＝AC，得到∠ACB＝30°，求得∠CAE＝15°，过E作EF⊥AC于H，交BC于F，根据等边三角形的判定定理得到△CEF是等边三角形，求得∠BAF＝45°，得到BF＝AB＝1，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接AC，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，AD＝，∴AC＝＝2，∴AB＝AC，∴∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∵∠BAE＝75°，∴∠CAE＝15°，过E作EF⊥AC于H，交BC于F，∵∠BCE＝60°，∴∠ECA＝30°，∴∠CEF＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴EH＝FH，∴∠EAH＝∠FAH＝15°，∴∠BAF＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF＝AB＝1，∵BC＝，∴CF＝EF＝﹣1，∴EH＝＝，∴四边形ABCE的面积＝S△ABC+S△AEC＝×＝，故答案为：，【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）计算：；（2）已知，A＝a﹣1，B＝﹣a+3．若A＞B，求a的取值范围．【分析】（1）根据乘方的意义，零指数幂的意义计算后，合并即可；（2）根据题意得出关于a的不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）原式＝4+1﹣1＝4；（2）由题意得：a﹣1＞﹣a+3，解得a＞2．【点评】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．（10分）为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题：某校学生一周体育锻炼调查问卷以下问题均为单选题，请根据实际情况填写（其中0～4表示大于等于0同时小于4）问题：你平均每周体育锻炼的时间大约是CA．0～4小时B．4～6小时C．6～8小时D．8～小时及以上问题2：你体育镀炼的动力是GE．家长要求F．学校要求G．自己主动H．其他（1）参与本次调查的学生共有200人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有122人；（2）已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数；（3）请写出一条你对同学体育锻炼的建议．【分析】（1）用四组的人数相加可得样本容量，用样本容量乘G所占百分比可得选择“自己主动”体育锻炼的学生人数；（2）用2600乘D组所占比例可得答案；（3）根据统计图数据解答，答案不唯一，合理即可．【解答】解：（1）参与本次调查的学生共有：36+72+58+34＝200（人），选择“自己主动”体育锻炼的学生有：200×61%＝122（人），故答案为：200，122；（2）2600×＝442（名），答：估计全校可评为“运动之星”的人数大约为442名；（3）由统计图可知，很多学生都没有达到每天锻炼1小时，所以建议同学们加强体育锻炼，增强身体素质（答案不唯一）．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．19．（10分）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：（1）更新设备后每天生产1.25x件产品（用含x的式子表示）；（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．【分析】（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了25%“列代数式即可；（2）根据题意列分式方程，解方程即可．【解答】解：（1）更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，更新设备后每天生产产品数量为：（1+25%）x＝1.25x（件），故答案为：1.25x；（2）由题意知：﹣2＝，去分母，得6250﹣2.5x＝6000，解得：x＝100，经检验，x＝100是所列分式方程的解，1.25×100＝125（件）．答：更新设备后每天生产125件产品．【点评】因此更新设备后每天生产125件产品．本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD．小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE．（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；（2）连接AD，若，求AC的长．【分析】（1）小星：连接BE，根据平行四边的判定定理得到四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AE＝BD，推出四边形AEBC是平行四边形，根据矩形性质得到BE⊥CD；小红：连接BE，CE，根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定和性质定理即可得到论；（2）连接AD，设CB＝2k，AC＝3k，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：小星：连接BE，∵AE∥BD，DE∥BA，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝BC，∴AE＝BC，∵AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形，∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形，∴∠EBC＝90°，∴BE⊥CD；小红：连接BE，CE，∵AE∥BD，DE∥BA，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AB＝DE，∵BD＝BC，∴AE＝BC，∵AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形，∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形，∴AB＝CE，∴DE＝CE；（2）连接AD，∵，∴设CB＝2k，AC＝3k，∴CD＝4k，∵AC2+DC2＝AD2，∴（3k）2+（4k）2＝（5）2，∴k＝，∴AC＝3．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点．（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；（2）若一次函数y＝x+m与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，由题意可知点E的纵坐标为2，代入反比例函数的解析式即可求得点E的横坐标；（2）求得直线经过点D和点E的坐标，即可求得m的取值．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，点D（4，1），且点D为AB的中点，∴B（4，2），∴点E的纵坐标为2，∵反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，∴k＝4×1＝4，∴反比例函数解析式为y＝，把y＝2代入得，2＝，解得x＝2，∴E（2，2）；（2）把D（4，1）代入y＝x+m得，1＝4+m，解得m＝﹣3，把E（2，2）代入y＝x+m得，2＝2+m，解得m＝0，∴m的取值范围是﹣3≤m≤0．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得交点的坐标是解题的关键．22．（12分）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）【分析】（1）通过解Rt△ABE可求得AB的长；（2）延长BC交DF于G，证明四边形BEFG是矩形，可得EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，再解Rt△CDG可求解CG的长，进而可求解．【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m，∴AB＝（m），即AB的长约为600m；（2）延长BC交DF于G，∵BC∥AE，∴∠CBE＝90°，∵DF⊥AF，∴∠AFD＝90°，∴四边形BEFG为矩形，∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°，∴CG＝CD•cos∠DCG＝600×cos45°＝600×＝，∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+50+≈1049（m），即AF的长为1049m．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握三角函数的概念是解题的关键．23．（12分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．（1）写出图中一个度数为30°的角：∠1，图中与△ACD全等的三角形是△BCD；（2）求证：△AED∽△CEB；（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．【分析】（1）⊙O是等边三角形ABC的外接圆，可知点O为外心，故CD为AB的中线、垂线、∠ACB平分线（三线合一），并利用HL定理证明△ACD≌△BCD；（2）利用两三角形两个对应角相等，可证明两三角形相似；（3）由四边形OAEB四条边相等，可知它为菱形．【解答】（1）解：∵已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴点O是等边三角形ABC的外心，∴CE⊥AB，∠1＝∠2＝30°．∴∠ADC＝∠BDC＝90°，又∵AC＝BC，CD＝CD，∴Rt△ACD≌Rt△BCD（HL定理）．故答案为：∠1（答案不唯一），△BCD．（2）证明：∵∠ADE＝∠CBE＝90°，∠3＝∠CAE﹣∠CAB＝90°﹣60°＝30°＝∠2，∴△AED∽△CEB．（3）解：∵∠CAE＝90，∠1＝30°，∴AE＝CE．同理可证，BE＝CE．∴OA＝OB＝AE＝BE，∴四边形OAEB为菱形．【点评】本题考查等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理与菱形的判定，知识点比较多，但难度不大，一定要牢牢掌握，并能运用自如．24．（12分）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为y＝ax2+9，待定系数法求解即可；（2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求；（3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得b的取值范围即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+9，把点A（3，0）代入，得：9a+9＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+9；（2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求；把x＝1代入y＝﹣x2+9，得：y＝8，∴B（1，8）设直线A′B的解析式为y＝kx+m，∴，解得：，∴y＝2x+6，