2024高考压轴卷数学（文）（全国乙卷）

试卷类型：A绝密★启用前2024高考压轴卷全国乙卷文科数学注意事项：1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.第I卷（选择题）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（）A． B． C． D．2.（）A. B. C. D.3.设m，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（）A.B.C.3D.35．在不等式组表示的平面区域内任取一点，则满足的概率为（）A． B． C． D．6．已知函数，若的值域是，则的值为（

）A． B． C． D．7．已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件8.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是（）A.的一个周期为 B.的最大值为C.的图象关于点对称 D.在区间上有2个零点9.在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（）A. B. C. D.10.在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（）A.B.C.D.11.设是定义域为的奇函数，且.若，则（）A. B. C. D.12.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的准线方程为，则实数a的值为______.14.在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则边______.15.已知函数为奇函数，且最大值为1.则函数的最大值和最小值的和为__________.16．已知是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为______．三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．近日埃隆·马斯克旗下的脑机接口公司官宣，已经获得批准启动首次人体临床试验，我国脑机接口技术起步晚，发展迅猛，2014年，浙江大学团队在人脑内植入皮层脑电微电极，实现“意念”控制机械手完成高难度的"石头、剪刀、布”手指运动，创造了当时的国内第一，达到国际同等水平，目前，较为主流的分类方式将脑机接口分为侵入式和非侵入式，侵入式由于需要道德伦理审查，目前无法大面积实验，大多数研究公司采用非侵入式，即通过外部头罩和脑电波影响大脑，主要应用于医疗行业，如戒烟未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中7.52.2582.504.5012.142.88（1）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）（2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点在棱上，平面.(1)试确定点的位置，并说明理由；(2)是否存在实数，使三棱锥体积为，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由.19.已知函数.（1）若是函数的极值点，求a的值；（2）求函数单调区间.20.已知椭圆：的离心率为．（1）求的方程；（2）过的右焦点的直线与交于，两点，与直线交于点，且，求的斜率．21.已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：①；②对于，使得的正整数对有个.（1）写出所有4的1增数列；（2）当时，若存在的6增数列，求的最小值.（二）选考题：共10分.请者生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所写的第一题计分.[选修44：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）已知点，若直线与曲线交于A，两点，求的值．[选修45：不等式选讲]23已知均为正数，函数的最小值为3．（1）求的最小值；（2）求证：．2024高考压轴卷全国乙卷文科数学答案【答案】A【解析】由题意知，所以．故选A．2【答案】A【解析】由题意，故选：A.3【答案】B【解析】由不能推出，如满足，但无意义，故“”不是“”的充分条件；再由可得，即得，故“”是“”的必要条件.即“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【答案】C【解析】三点共线，设，则，又，所以，所以.故选C.【答案】C【解析】如图，不等式组表示的平面区域为及其内部，其中，所以，设直线与直线分别交于点，所以满足的平面区域为四边形及其内部，，所以满足的概率为．故选C．6【答案】C【解析】当时，，因为的值域是，又在上单调递减，所以.故选：C.7.【答案】B【解析】设等比数列的公比为．若，当时，，但是，所以“”不是“”的充分条件；若，则，所以，所以“”是“”的必要条件．综上，“”是“”的必要不充分条件．故选B．8【答案】D【解析】对于A,因为的周期为，的周期为，所以的周期为，故A错误；对于B,因为函数的最大值为1,的最大值为，故两个函数同时取最大值时，的最大值为，此时需满足且，不能同时成立，故最大值不能同时取到，故的最大值不为，则B错误；对于C，，则，故的图象不关于点对称，C错误；对于D,因为时，，又，所以或者；或者，此时，又，所以，综上可知，在区间上有2个零点，故D正确，故选：D.9【答案】C【解析】设，则，，则，即，化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，又，所以三点共线，显然当直线与此圆相切时，的值最大.又,则,则.故选：C.【答案】D【解析】如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，易知点都在截面内，且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形，所求面积.故选D.11【答案】A【解析】若，且是定义域为的奇函数，故，则，，变形得，可得周期为，则，故A正确.故选：A12【答案】A【解析】设，则，而，所以，所以点到的距离为，又，所以，解得，即，从而，又因为，所以，在中，由余弦定理有，所以，即，解得，双曲线C的渐近线方程为.故选：A.13【答案】【解析】依题可知，则，故答案为：.14【答案】【解析】因，由余弦定理，，化简得，因，，故.故答案为：.15【答案】2【解析】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0.所以最值之和为0.则+1的最值之和为2.故答案为2.【答案】【解析】设球的半径为外接圆的半径为，在中，，则由余弦定理得，即，所以，所以．因为球的表面积为，则，解得，所以球心到平面的距离，即三棱锥的高为，又，所以三棱锥的体积．17．解：（1）选择模型②．（2）根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有．则，所以，则关于的经验回归方程为．所以关于的经验回归方程为．由题意，，解得，又为整数，所以．所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人．18【答案】(1)点是的中点，理由见解析(2)存在，使三棱锥体积为【分析】（1）连接，交于点，连结，根据线面平行的性质定理，证出，再结合是的中点，判断出点是的中点，可得答案；（2）若三棱锥体积为，则可推出三棱锥的体积为，进而利用棱锥的体积公式与底面，列式算出实数的值，即可得到答案.【解析】（1）点是的中点，理由如下：连接，交于点，连结，底面是正方形，、相交于点，是的中点，平面，含于平面，平面平面，，中，是的中点，是的中点.（2）为中点，.若，则

底面，，

，解得.

存在，使三棱锥体积为.19【答案】（1）1（2）单调减区间为，单调增区间为【分析】（1）由是函数的极值点，，求解验证即可；（2）利用导函数求解函数的单调区间即可.【小问1详解】函数定义域为，，因为是函数的极值点，所以，解得或，因为，所以.此时，令得，令得，∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点.所以.【小问2详解】.因为，所以，令得；令得；∴函数的单调减区间为，单调增区间为.20【答案】（1）（2）【分析】（1）由离心率公式求出即可；（2）首先计算直线的斜率为时不符合题意，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出，再求出点坐标，即可得到，从而得到方程，求出即可.【小问1详解】因为椭圆：的离心率为，所以，解得，所以椭圆方程为.【小问2详解】由（1）可得，当直线的斜率为时，则，，，所以，，显然不满足，故舍去；依题意直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，，，由，消去整理得，显然，则，，所以，又解得，所以，所以，因为，所以，解得，综上可得的斜率为.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.21【答案】（1）所有4的1增数列有数列和数列1，3（2）7【分析】（1）利用给定的新定义，求出所有符合条件的数列即可.（2）运用给定的新定义，分类讨论求出结果即可.【小问1详解】由题意得，则或，故所有4的1增数列有数列和数列1，3.【小问2详解】当时，因为存在的6增数列，所以数列的各项中必有不同的项，所以且，若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，符合的6增数列.所以，当时，若存在的6增数列，的最小值为7.22【答案】（1）C：，直线l：（2）【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程