22基本不等式（十二大题型）（讲义）

2．2基本不等式目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 5题型一：对基本不等式的理解及简单应用 5题型二：利用基本不等式比较大小 8题型三：利用基本不等式证明不等式 11题型四：直接法求最值 14题型五：常规凑配法求最值 15题型六：消参法求最值 17题型七：换元求最值 18题型八：“1”的代换求最值 21题型九：万能K法 23题型十：条件等式求最值 24题型十一：利用基本不等式求解恒成立问题 25题型十二：基本不等式在实际问题中的应用 30

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一：基本不等式1、对公式及的理解．（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．2、由公式和可以引申出常用的常用结论①（同号）；②（异号）；③或知识点诠释：可以变形为：，可以变形为：．知识点二：基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有．得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）方法二：代数法∵，当时，；当时，．所以，（当且仅当时取等号“=”）．知识点诠释：特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）．知识点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、．易证，那么，即．这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立．知识点诠释：1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．知识点四：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．知识点诠释：1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值．5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案．【典型例题】题型一：对基本不等式的理解及简单应用【典例11】（2024·高一·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（

）A．若，且，则B．若，则C．若，则D．对任意，均成立.【答案】A【解析】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确.B选项，当时，，所以B选项错误.C选项，当时，，所以C选项错误.D选项，当时，，不成立，所以D选项错误.故选：A【典例12】（2024·高一·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.故选：C.【方法技巧与总结】应用基本不等式时的三个关注点（1）一正数：指式子中的a，b均为正数．（2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值．（3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值．【变式11】（2024·高一·上海静安·期中）给出下列命题中，真命题的个数为（

）①已知，则成立；②已知且，则成立；③已知，则的最小值为2；④已知，，则成立．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】当时，①中的不等式是错误的，①错；因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对；（当时，无解，等号不成立），故③错；因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对．故选:B．【变式12】（2024·高三·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，可得圆的半径为，又由，在中，可得，因为，所以，当且仅当时取等号．故选：D.【变式13】（2024·高一·山东济南·期中）数学里有一种证明方法叫做，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，三角形为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由四边形为矩形，三角形为等腰直角三角形，可推出三角形也为等腰直角三角形，所以图1的阴影部分面积，图2阴影部分的面积，由两图阴影部分面积关系直观得出，即，当且仅当时，等号成立.故选：A.题型二：利用基本不等式比较大小【典例21】（2024·高三·北京·阶段练习）设，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，故A错；，，即，可得，，故B错；，，且，则，故C正确；，，而，则，故D错.故选：C【典例22】（2024·高一·全国·单元测试）下列不等式恒成立的是（

）A．； B．；C．； D．．【答案】D【解析】对于A：取，，则，，此时.故A错误；对于B：取，，则，，此时.故B错误；对于C：取，，则，，此时.故C错误；对于D：因为，所以.故D正确.故选：D【方法技巧与总结】利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．【变式21】（2024·北京房山·一模）若，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】取满足，且，此时，A错误；取满足，且，此时，B错误；可得，C正确；取满足，且，此时，D错误.故选：C.【变式22】（2024·高一·陕西安康·期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误；对于选项B：，，∴B错误；对于选项C：，因为∴C错误；对于选项D：∵，当且仅当时取等号，∴，D正确；故选：D【变式23】（2024·高一·全国·课后作业）若，，，则，，2ab，中最大的一个是．【答案】/【解析】，，，则，，，综上所述：最大的一个是.故答案为：【变式24】（2024·高一·全国·专题练习）某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为．【答案】【解析】依题意，所以，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：【变式25】（2024·高二·江西宜春·阶段练习）若，已知下列不等式：①；②；③；④．其中正确的不等式的序号为．【答案】①④【解析】因为，所以，故③错误；所以，故①正确；所以，故②错误；所以且均不为1，，当且仅当时，等号成立，所以，故④正确.故答案为：①④【变式26】（2024·高一·上海·专题练习）若，，且，则在中最大的一个是.【答案】【解析】因为，所以，且，由不等式的基本性质得，所以在中最大的一个是故答案为：题型三：利用基本不等式证明不等式【典例31】已知a、b是正数，求证：．【解析】因为a、b是正数，则，当且仅当时，等号成立，所以.【典例32】已知a、b是互不相等的正数，求证：.【解析】因为a、b是互不相等的正数，则由基本不等式可得，，所以，当且仅当时等号成立，又，所以，得证.【方法技巧与总结】利用基本不等式证明不等式时应注意的问题（1）注意基本不等式成立的条件；（2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；（3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．【变式31】（2024·高一·上海·随堂练习）已知，，且，求证：．【解析】证明：，故，即不等式成立.【变式32】（2024·高一·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件：(1)；(2)．【解析】（1）因为，，，所以成立；当且仅当时，等号成立；（2），．所以．当且仅当时，等号成立．【变式33】（2024·高一·上海·随堂练习）若x，y为正实数，求证：．【解析】，当且仅当，且，即时等号成立．【变式34】（2024·高一·全国·专题练习）设a，b，c均为正数，求证：．【解析】∵a，b，c均为正数，∴，当且仅当，即时，等号成立．，当且仅当，即时，等号成立．∴，故，当且仅当时，等号成立．【变式35】（2024·全国·模拟预测）已知，且．(1)求证：；(2)求的最大值．【解析】（1）因为，所以，以上三式相加得，所以，当且仅当时取等号．因为，且，所以，，所以，所以．故.（2），，当且仅当，时取等号，的最大值为．题型四：直接法求最值【典例41】（2024·高一·浙江·开学考试）设、满足，且、都是正数，则的最大值为（

）A．5 B．10 C．25 D．50【答案】C【解析】因为、满足，且、都是正数，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.故选：C.【典例42】（2024·高一·全国·课后作业）设且，则的最大值是（

）A．400 B．100C．40 D．20【答案】A【解析】因为所以即所以当且仅当且，即时等号成立.故选：A【变式41】（2024·高一·全国·课堂例题）若，，，则的最小值为（

）A．4 B． C．6 D．18【答案】C【解析】因为，，，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为6.故选：C.【变式42】（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）若都是正数，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为都是正数，则，所以，当且仅当，即时，等号成立.则的最小值为.故选：C.【变式43】（2024·高一·上海·课后作业）已知实数、满足，则的最大值为．【答案】2【解析】因为，又所以，即，当且仅当时取等号，故答案为：2.题型五：常规凑配法求最值【典例51】（2024·高一·湖南·开学考试）已知，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．2【答案】A【解析】由，得，当且仅当时取等号，因此，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值4.故选：A【典例52】（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因为，，，则，，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是.故选：A.【变式51】（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（）A． B．3 C．1 D．6【答案】B【解析】，当且仅当，即取得等号，满足题意.故选：B.【变式52】（2024·高三·全国·专题练习）函数的最小值为．【答案】【解析】由，又，所以，当且仅当，即时等号成立，所以原函数的最小值为.故答案为：【变式53】（2024·高一·江苏南通·阶段练习）是不同时为0的实数，则的最大值为．【答案】【解析】,，当且仅当时取等号，所以的最大值为．故答案为：．题型六：消参法求最值【典例61】（2023·江苏·高一专题练习）若，，且，则的最小值是（

）A．5 B．8 C．13 D．16【答案】C【解析】由题意，，得，故，由于，故，当且仅当即时取等号，即，故的最小值是13，故选：C【典例62】（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由，得，所以，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.故选：D【变式61】（2024·高三·上海·阶段练习）若正数，满足，则的最大值为.【答案】2【解析】，，，所以，即，，根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2.故答案为：2.【变式62】（2024·浙江嘉兴·二模）若正实数，满足，则的最大值为．【答案】【解析】因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，所以a＝，则＝＝＝﹣2（）2+，当，即b＝2时取得最大值．故答案为：．【变式63】（2024·高一·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为．【答案】2【解析】由题意，所以，所以，等号成立当且仅当，所以的最小值为2.故答案为：2.题型七：换元求最值【典例71】（2023·全国·高一专题练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是.【答案】【解析】令，则，可得，即，且，∵，当且仅当，即时，等号成立，可得，∴，即的最大值是.故答案为：.【典例72】（2023·全国·高一专题练习）已知正数、满足，则的最小值为.【答案】【解析】正数、满足，则则，又时，，则，则的最小值为.故答案为：【变式71】（2023·浙江·高二校联考阶段练习）若实数，满足，则的最小值为．【答案】/【解析】因，则，即，令，则，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立.故的最小值为.故答案为：【变式72】（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知均为正实数，，则的最小值是.【答案】4【解析】设，，原题转化为：已知，，且，求的最小值.由.当且仅当即时，等号成立.所以的最小值为4.故答案为：4.【变式73】（2023·浙江·高三校联考阶段练习）设，为正实数，若，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】因为，为正实数，且，令，，则，则，当且仅当，即，时取等号.故选：D．【变式74】（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知且，则的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【解析】由题意得，，令，则，由得，故，当且仅当，结合，即时取等号，也即，即时，等号成立，故的最小值为9，故选：B题型八：“1”的代换求最值【典例81】（2024·高一·广西·开学考试）已知，且，则的最小值是.【答案】9【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9，故答案为：9【典例82】（2024·高一·陕西西安·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为.【答案】【解析】由已知，所以，所以，当且仅当时等号成立，又，所以时取最小值．故答案为：【变式81】（2024·高一·贵州六盘水·期中）已知，，且，则的最小值为.【答案】25【解析】由得：，当且仅当时，等号成立.故答案为：25【变式82】（2024·高一·甘肃·期末）已知正实数，满足，则的最小值为.【答案】/【解析】，当且仅当，即，时，等号成立.故答案为：【变式83】（2024·高二·重庆·期末）已知均为实数且，则的最小值为.【答案】1【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为1.故答案为：1.题型九：万能K法【典例91】（2024·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，方程可化为，整理得，则满足，解得，所以，即，所以的最大值为.故选：B.【典例92】（2024·全国·高三专题练习）已知，满足则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，设，代入方程得：，所以，即的最小值为：.故选：D.题型十：条件等式求最值【典例101】（2024·高一·天津·期末）已知，，且，则的最大值为.【答案】【解析】，由，故，则，当且仅当，即、时，等号成立，则.故答案为：.【典例102】（2024·高一·江西·阶段练习）若正数a，b满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【解析】正数a，b满足，则，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值8.故选：C【变式101】（2024·高一·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为.【答案】【解析】，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故答案为：【变式102】（2024·高一·广西·期末）已知，则的最大值为（

）A．2 B．4 C．8 D．【答案】B【解析】，则有，可得，即4，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为4.故选：B题型十一：利用基本不等式求解恒成立问题【典例111】（2024·高一·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为不等式恒成立，则,因为,所以，当且仅当x=0取等号，所以.故答案为：.【典例112】（2024·高一·江西南昌·阶段练习）已知且恒成立，实数的最大值是．【答案】/【解析】由题意，，所以转化为，可得，即，因为，当且仅当时等号成立，所以实数的最大值是.故答案为：【方法技巧与总结】利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值【变式111】（2024·高一·江苏镇江·开学考试）设，若恒成立，则的取值范围为.【答案】【解析】因为,所以.当且仅当时，即时等号成立,所以.故答案为：.【变式112】（2024·高一·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】因为正实数a，b满足，，所以，因为，当且仅当，即时取等号，所以，所以不等式恒成立，只需即可.故答案为：【变式113】（2024·高一·天津红桥·期中）已知，若不等式恒成立，则实数m的最小值为.【答案】【解析】因为，所以，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，因为不等式恒成立，所以，则，所以实数m的最小值为.故答案为：.【变式114】（2024·高一·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且．(1)求的最小值；(2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1），当且仅当即时取等号，此时的最小值为9．（2）解法一：由题意知的最小值．因为，，所以，当且仅当，即，时，等号成立．所以．解法二：由，得，又恒成立，所以的最小值，因为，当且仅当，且，即，时等号成立．所以．【变式115】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知x，y都是正数，且.(1)分别求x，y的取值范围；(2)求的最小值及此时x，y的取值；(3)不等式恒成立，求实数m的取值范围.【解析】（1）由得：，因，故，从而，因为，故，得y的范围为；同理：由，得x的范围为.（2），当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9.（3）由，得，故，又，当且仅当时等号成立，取得最小值8，故m的取值范围为.【变式116】（2024·高一·吉林四平·阶段练习）已知，且(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的最大值.【解析】（1）因为，且，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，（2）因为（）恒成立，所以恒成立，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，所以，所以的最大值为.题型十二：基本不等式在实际问题中的应用【典例121】（2024·高一·全国·课后作业）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是．【答案】【解析】设长方体长为m，高为m，则有，即．∵，当且仅当时，取等号∴，即，解得∴∴，当且仅当时，等号成立∴车厢的最大容积是故答案为：．【典例122】（2024·高一·上海·课堂例题）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（

）A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小．【答案】A【解析】设天平左臂长为，右臂长为，，设第一次称得黄金为，第二次称得黄金为，则，，即，，而，因此，当且仅当，即时等号成立，但，即等号不成立，则，所以顾客购得的黄金大于.故选：A.【方法技巧与总结】利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值．（4）正确写出答案．【变式121】（2024·高一·上海·随堂练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，假设①甲、乙各加同一种汽油两次；②两人第一次加油的油价均为x，第二次加油的油价均为y且；③乙每次加满油箱加入的油量都为a升．就加油两次来说，甲、乙谁更合算？【解析】两次加油的油价分别是元/升且，甲加两次油的平均单价为元/升,乙每次加油