高考数学（理）创新北师版第四章三角函数解三角形第6节

第6节正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解[常用结论与微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.()解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，则b＝()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.3解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×eq\f(2,3)，解得b＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(1,3)舍去)).答案D3.(一题多解)(2018·郑州调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2eq\r(2)，且C＝eq\f(π,4)，则△ABC的面积为()A.eq\r(3)＋1 B.eq\r(3)－1C.4 D.2解析法一由余弦定理可得(2eq\r(2))2＝22＋a2－2×2×acoseq\f(π,4)，即a2－2eq\r(2)a－4＝0，解得a＝eq\r(2)＋eq\r(6)或a＝eq\r(2)－eq\r(6)(舍去)，△ABC的面积S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×2×(eq\r(2)＋eq\r(6))sineq\f(π,4)＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(2),2)×(eq\r(6)＋eq\r(2))＝eq\r(3)＋1，选A.法二由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(1,2)，又c>b，且B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,6)，所以A＝eq\f(7π,12)，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)sineq\f(7π,12)＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\r(3)＋1.答案A4.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝eq\r(6)，c＝3，则A＝________.解析由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(\r(6)×\f(\r(3),2),3)＝eq\f(\r(2),2)，结合b<c得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.答案75°5.(教材习题改编)在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________.解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，则C＝()A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,6) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,3)(2)在△ABC中，已知a＝2，b＝eq\r(6)，A＝45°，则满足条件的三角形有()A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定(3)(2018·西安质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝eq\r(3)bc，且sinC＝2eq\r(3)sinB，则角A的大小为________.解析(1)由题意得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，则sinC(sinA＋cosA)＝eq\r(2)sinCsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝0，因为sinC≠0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝0，又因为A∈(0，π)，所以A＋eq\f(π,4)＝π，所以A＝eq\f(3π,4).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(2,sin\f(3π,4))＝eq\f(\r(2),sinC)，则sinC＝eq\f(1,2)，得C＝eq\f(π,6).(2)∵bsinA＝eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(3)，∴bsinA<a<b.∴满足条件的三角形有2个.(3)由sinC＝2eq\r(3)sinB，根据正弦定理得，c＝2eq\r(3)b，代入a2－b2＝eq\r(3)bc得，a2－b2＝6b2，即a2＝7b2，由余弦定理得：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋12b2－7b2,4\r(3)b2)＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝eq\f(π,6).答案(1)B(2)B(3)eq\f(π,6)规律方法1.判断三角形解的个数的两种方法(1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数值判断.(2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.【训练1】(2017·河北名校联盟质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC－c＝2b.(1)求角A的大小；(2)若c＝eq\r(2)，角B的平分线BD＝eq\r(3)，求a.解(1)2acosC－c＝2b，由正弦定理得2sinAcosC－sinC＝2sinB，2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2cosAsinC，∴－sinC＝2cosAsinC，sinC≠0，∴cosA＝－eq\f(1,2)，又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(2π,3).(2)在△ABD中，由正弦定理得，eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(BD,sinA)，∴sin∠ADB＝eq\f(ABsinA,BD)＝eq\f(\r(2),2).又∠ADB∈(0，π)，A＝eq\f(2π,3)，∴∠ADB＝eq\f(π,4)，∴∠ABC＝eq\f(π,6)，∠ACB＝eq\f(π,6)，AC＝AB＝eq\r(2)，由余弦定理，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝(eq\r(2))2＋(eq\r(2))2－2×eq\r(2)×eq\r(2)coseq\f(2π,3)＝6，∴a＝eq\r(6).考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，则△ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定解析(1)由eq\f(c,b)<cosA，得eq\f(sinC,sinB)<cosA，所以sinC<sinBcosA，即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因为在三角形中sinA>0，所以cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝eq\f(π,2)，∴△ABC为直角三角形.答案(1)A(2)B规律方法1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【训练2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形解析∵c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴cosA(sinB－sinA)＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinA，∴A＝eq\f(π,2)或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC为等腰或直角三角形.答案D考点三和三角形面积有关的问题【例3】(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.解(1)由sinA＋eq\r(3)cosA＝0及cosA≠0，得tanA＝－eq\r(3)，又0<A<π，所以A＝eq\f(2π,3).由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·coseq\f(2π,3).即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝eq\f(π,2)，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq\f(π,6).故△ABD与△ACD面积的比值为eq\f(\f(1,2)AB·ADsin\f(π,6),\f(1,2)AC·AD)＝1.又△ABC的面积为eq\f(1,2)×4×2sin∠BAC＝2eq\r(3)，所以△ABD的面积为eq\r(3).规律方法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【训练3】(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－6，S△ABC＝3，求A和a.解因为eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－6，所以bccosA＝－6，又因为S△ABC＝3，所以bcsinA＝6，因此tanA＝－1，又0<A<π，所以A＝eq\f(3π,4).又因为b＝3，所以c＝2eq\r(2).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝9＋8－2×3×2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝29，所以a＝eq\r(29).

基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·上饶质检)已知△ABC中，A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,4)，a＝1，则b等于()A.2 B.1 C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(1,sin\f(π,6))＝eq\f(b,sin\f(π,4))，∴eq\f(1,\f(1,2))＝eq\f(b,\f(\r(2),2))，∴b＝eq\r(2).答案D2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝eq\f(2π,3)，a＝2，b＝eq\f(2\r(3),3)，则B等于()A.eq\f(π,3) B.eq\f(5π,6) C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D.eq\f(π,6)解析∵A＝eq\f(2π,3)，a＝2，b＝eq\f(2\r(3),3)，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(\f(2\r(3),3),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).∵A＝eq\f(2π,3)，∴B＝eq\f(π,6).答案D3.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，则BC的长为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3) C.2eq\r(3) D.2解析因为S＝eq\f(1,2)×AB×ACsinA＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)AC＝eq\f(\r(3),2)，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，BC＝eq\r(3).答案B4.(2017·石家庄检测)在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因为cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，所以2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(a＋c,c)－1，所以cosB＝eq\f(a,c)，所以eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a,c)，所以c2＝a2＋b2.所以△ABC为直角三角形.答案B5.(2018·安徽江南十校联考)设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C＝3∶4∶5，则eq\f(S1,S2)的值为()A.eq\f(25,12π) B.eq\f(25,24π) C.eq\f(3＋\r(3),2π) D.eq\f(3＋\r(3),4π)解析∵A∶B∶C＝3∶4∶5，∴A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(5π,12)，由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，∴a＝2RsinA＝eq\r(2)R，b＝2RsinB＝eq\r(3)R，则sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，∴S1＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(3)×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)R2＝eq\f(3＋\r(3),4)R2，S2＝πR2，∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(3＋\r(3),4π).答案D二、填空题6.(2017·烟台模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝eq\r(3)，则S△ABC＝________.解析因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),sin60°)，解得sinA＝eq\f(1,2)，因为0°＜A＜180°，所以A＝30°，此时C＝90°，所以S△ABC＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(\r(3),2).答案eq\f(\r(3),2)7.(2018·汉中质检改编)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝eq\f(2\r(2),3)，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为________.解析bcosA＋acosB＝2RsinBcosA＋2RsinAcosB＝2Rsin(A＋B)＝2RsinC＝c＝2，由cosC＝eq\f(2\r(2),3)得sinC＝eq\f(1,3)，由正弦定理可得2R＝eq\f(c,sinC)＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π.答案9π8.(2016·北京卷)在△ABC中，A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c，则eq\f(b,c)＝________.解析在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cosA，将A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c代入，可得(eq\r(3)c)2＝b2＋c2－2bc·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，整理得2c2＝b2＋bc.∵c≠0，∴等式两边除以c2，得2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(2)＋eq\f(b,c)，解得eq\f(b,c)＝1.答案1三、解答题9.(2018·安徽江南十校联考)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，函数f(x)＝3＋2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x，且f(A)＝5.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.解(1)由题意可得：f(A)＝3＋2eq\r(3)sinAcosA＋2cos2A＝5，∴2eq\r(3)sinAcosA＝2(1－cos2A)，∴sinA(eq\r(3)cosA－sinA)＝0，∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴sinA＝eq\r(3)cosA，即tanA＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理可得：4＝b2＋c2－2bccoseq\f(π,3)，4＝b2＋c2－bc≥bc(当且仅当b＝c＝2时“＝”成立)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)bc≤eq\f(\r(3),4)×4＝eq\r(3)，故△ABC面积的最大值是eq\r(3).10.(2018·云南11校跨区调研)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝eq\f(π,3)，AD∶AB＝2∶3，BD＝eq\r(7)，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝eq\f(2π,3)，求CD的长.解(1)∵AD∶AB＝2∶3，∴可设AD＝2k，AB＝3k.又BD＝eq\r(7)，∠DAB＝eq\f(π,3)，∴由余弦定理，得(eq\r(7))2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcoseq\f(π,3)，解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3，sin∠ABD＝eq\f(ADsin∠DAB,BD)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(7))＝eq\f(\r(21),7).(2)∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝eq\f(\r(21),7)，∴sin∠DBC＝eq\f(2\r(7),7)，∴eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，∴CD＝eq\f(\r(7)×\f(2\r(7),7),\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017·长沙模拟)在△ABC中，C＝eq\f(2π,3)，AB＝3，则△ABC的周长为()A.6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋3 B.6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋3C.2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋3 D.2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a