云南省玉溪市峨山民中高三下学期第一次月考理科数学

玉溪市民中20172018学年度下学期第一次月考高三理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________分卷I一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.设z为复数，则z＝z是z∈R的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为()A．95元B．100元C．105元D．110元3.设函数（R）满足，，则函数的图()4.数列{an}的通项an＝n2，其前n项和为Sn，则S30为()A．470B．490C．495D．5105.＝()．A．B．0C．－D．不存在6.已知正方形ABCD的边长为2，将△ABC沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到如图所示的三棱锥B－ACD.若O为AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)，且BN＝CM.设BN＝x，则三棱锥N－AMC的体积y＝f(x)的函数图象大致是()7.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为()A．11B．12C．13D．148.直线与不等式组表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个9.已知动圆P过定点A（﹣3，0），并且与定圆B：（x﹣3）2+y2=64内切，则动圆的圆心P的轨迹是（）A．线段B．直线C．圆D．椭圆10.2013年中俄联合军演在中国青岛海域举行，在某一项演练中，中方参加演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机．若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（）A．51种B．224种C．240种D．336种11.已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为()A．－3B．±3C．－3D．±312.已知α在第一象限，且＝3＋2，则cosα的值是()．A．B．C．D．分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C.若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为________．14.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=.15.已知圆M：(x＋cosθ)2＋(y－sinθ)2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：A.对任意实数k和θ，直线l和圆M相切；B.对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；C.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切；D.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切．其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号)．16.直线被圆截得的弦长为.三、解答题(共6小题,,共70分)17.已知A(8,0)，B、C两点分别在y轴上和x轴上运动，并且满足·＝0，＝，(1)求动点P的轨迹方程；(2)是否存在过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、N两点，且满足·＝97，其中Q(－1,0)，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．18.曲线C上任一点到定点(0，)的距离等于它到定直线的距离.（1）求曲线C的方程；（2）经过P(1，2)作两条不与坐标轴垂直的直线分别交曲线C于A、B两点，且⊥，设M是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等.若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在，说明理由.19.设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．20.数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋sin2，n＝1，2，3，…．(1)求a3，a4及数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Sn＝b1＋b2＋＋bn，证明：当n≥6时，|Sn－2|<．21.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．22.如图，在中，°，，，，分别是，上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若是的中点，求与平面所成角的大小；（Ⅲ）点是线段的靠近点的三等分点，点是线段上的点，直线过点且垂直于平面，求点到直线的距离的最小值．

答案解析1.【答案】C【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)．若z＝z，则a＋bi＝a－bi可得b＝0，即z是实数；反之，若z∈R，则b＝0，必有z＝z，所以条件“z＝z”是结论“z∈R”的充要条件2.【答案】A【解析】设定价为(90＋x)元，则每件商品利润为90＋x－80＝(10＋x)(元)，利润y＝(10＋x)(400－20x)＝20(x＋10)·(20－x)＝－20(x－5)2＋4500，当x＝5时，利润最大，故售价定为95元．3.【答案】B【解析】由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．4.【答案】A【解析】注意到an＝n2cos，且函数y＝cos的最小正周期是3，因此当n是正整数时，an＋an＋1＋an＋2＝－n2－(n＋1)2＋(n＋2)2＝3n＋，其中n＝1,4，7…，S30＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a28＋a29＋a30)＝＋＋…＋＝3×＋×10＝470.5.【答案】A【解析】原式＝＝－，答案为A．6.【答案】B【解析】由平面ABC⊥平面ACD，且O为AC的中点可知，BO⊥平面ACD，易知BO＝2，故三棱锥N－AMC的高为ON＝2－x，S△AMC＝MC·AD＝x，故三棱锥N－AMC的体积为y＝f(x)＝·(2－x)·x＝(－x2＋2x)(0<x<2)，函数f(x)的图象为开口向下的抛物线的一部分．7.【答案】B【解析】本题考查系统抽样的方法．依据系统抽样为等距抽样的特点，分42组，每组20人，区间[481,720]包含25组到36组，每组抽1人，则抽到的人数为12.8.【答案】B【解析】如图直线2x+y10=0与不等式组表示的平面区域只有一个公共点，故选B.9.【答案】D【解析】如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣3，0）和定圆的圆心B（3，0）的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8．∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故选D．10.【答案】C【解析】由题意，可分类求解：故选C11.【答案】C【解析】由等比中项知y2＝3，∴y＝±，又∵y与－1，－3符号相同，∴y＝－，y2＝xz，所以xyz＝y3＝－3.12.【答案】B【解析】已知条件＝3＋2即为(4＋2)tanα＝2＋2，解得tanα＝，则sec2α＝1＋tan2α＝，又已知α为第一象限角，所以cosα＝，答案为B．13.【答案】y2＝3x【解析】过点B作BH垂直准线于点H.由抛物线定义得BF＝BH.因为BC＝2BF，所以BC＝2BH，则cos∠CBH＝＝，则∠CBH＝60°，所以直线AB的倾斜角θ＝∠CBH＝60°，过点A作AA′垂直准线于点A′，则AF＝p＋AFcos60°，即3＝p＋3×，所以p＝，抛物线的方程为y2＝3x.14.【答案】【解析】因为∠BCD=15°，∠BDC=30°，所以∠CBD=135°，在△BCD中，根据正弦定理可知：，即，解得：BC=，在直角△ABC中，tan60°=，所以15.【答案】B，D【解析】由已知得圆心到直线的距离d＝，若直线与圆相切，则d＝1，即|sin(θ＋arctank)|＝，所以，对任意给定的k，一定存在θ使得上述等式成立，但不能对任意θ∈R使得上述等式成立，命题(D)正确而命题(A)不正确．并且由此可得，对任意的实数k和θ，都有d≤1，于是，命题B.正确，但是，当θ＋arctank≠mπ＋(m∈Z)时，上述等式不成立，于是，命题C.不正确．真命题的代号是B，D.16.【答案】【解析】将题目所给的直线与圆的图形画出，半弦长为，圆心到直线的距离，以及圆半径构成了一个直角三角形，因此.17.【答案】(1)设B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)；则＝(－8，b)，＝(x，y－b)，＝(c，－b)，＝(x－c，y)．∴·＝－8x＋b(y－b)＝0.①由＝，得∴b＝－y代入①得y2＝－4x.∴动点P的轨迹方程为y2＝－4x.(2)当直线l的斜率不存在时，x＝8与抛物线没有交点，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－8)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，由·＝97，得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝97.即x1x2＋x1＋x2＋1＋k2(x1－8)(x2－8)＝97，∴(1＋k2)x1x2＋(1－8k2)(x1＋x2)＋1＋64k2＝97.②将y＝k(x－8)代入y2＝－4x得k2x2＋(4－16k2)x＋64k2＝0.∵直线l与y2＝－4x交于不同的两点，∴Δ＝(4－16k2)2－4×k2×64k2>0，即－<k<，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝64.代入②式得：64(1＋k2)＋(1－8k2)＋1＋64k2＝97.整理得k2＝，∴k＝±.∵k＝±∉，∴这样的直线l不存在．【解析】18.【答案】（1）因为，利用抛物线的定义，确定得到y=2x2；（2）设：y2=k(x1)，(k≠0)，:y=2=，由，得：2x2kx+k2=0，同理，得：B点坐标为，∴，消去k得：y=4x2+4x+∴点M轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离.将抛物线方程化为，此抛物线可看成是由抛物线左移个单位，上移个单位得到的，而抛物线的焦点为(0，)，准线为y=.∴所求的定点为，定直线方程为y=.【解析】19.【答案】(1)证明因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：＋＝1(y≠0)．(2)解当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝|x1－x2|＝.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，点A到m的距离为，所以|PQ|＝2＝4.故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．【解析】20.【答案】（1）a3＝2，a4＝4，an＝（2）略【解析】(1)a3＝a1＋sin2＝2，a4＝(1＋cos2π)a2＋sin2π＝4．a2k＋1＝a2k－1＋sin2，即a2k＋1＝a2k－1＋1，于是，a2k－1＝1＋(k－1)×1，即a2k－1＝k．a2k＋2＝(1＋cos2kπ)a2k＋sin2kπ，即a2k＋2＝2a2k，于是，a2k＝2×2k－1，即a2k＝2k，所以，an＝(2)bn＝，则Sn＝＋＋，于是，Sn＝＋＋，则Sn＝＋＋Sn＝，Sn＝2－，|Sn－2|＝．记cn＝，则cn＋1－cn＝，由n≥6可得cn＋1－cn<0，c6＝<1，所以，当n≥6时，cn<1，即|Sn－2|<．21.【答案】(2)1【解析】(1)证明：由题设知，BB1綊DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⃘平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC，∴A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1