2024-2025学年河北省唐山市开滦一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省唐山市开滦一中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线3x+2y−1=0的一个方向向量是(

)A.(2,−3) B.(2,3) C.(−3,2) D.(3,2)2.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，G为棱AD的中点，若BA=a，BCA.12a−b+12c

3.设直线l的方程为x−ysinθ+2=0，则直线l的倾斜角α的范围是(

)A.[0,π] B.[π4,π2]4.若直线y=x+2k+1与直线y=−12x+2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是A.(−52,12) B.(−5.已知圆C的圆心在x轴上且经过A(1,1)，B(2,−2)两点，则圆C的标准方程是(

)A.(x−3)2+y2=5 B.(x−36.已知圆C的方程为x2+y2−2mx+4my+5m2−3m+3=0A.(−∞,1)∪(4,+∞) B.(1,+∞)

C.(1,4) D.(4,+∞)7.已知Q为直线l：x+2y+1=0上的动点，点P满足QP=(1,−3)，记P的轨迹为E，则(

)A.E是一个半径为5的圆 B.E是一条与l相交的直线

C.E上的点到l的距离均为5 D.8.已知直线l1：mx+y+4=0与直线l2：x−my−6−4m=0交于点P(x0,yA.4 B.8 C.32 D.64二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l1：2x+y+n=0，l2：4x+my−4=0互相平行，且l1，l2之间的距离为35A.−3 B.−2 C.3 D.510.数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，且λ≠1)的点M的轨迹是圆.若两定点A(−2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|=2|MB|，则下列说法正确的是A.点M的轨迹围成区域的面积为32π

B.点M的轨迹关于直线x−y−6=0对称

C.点M到原点的距离的最大值为6

D.△ABM面积的最大值为811.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2AAA.直线A1P/​/平面ACD1

B.三棱锥P−ACD1的体积为23

C.三棱锥A−CC1D1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l1：(a−2)x+y−3=0和直线l2：x+ay+1=0垂直，则实数a=______．13.已知P(x,y)是圆x2+(y−3)2=1上的动点，定点A(2,0)，B(−2,0)14.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a(0<a<2)，则MN的长的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

求过两直线x−2y+4=0和x+y−2=0的交点P，且分别满足下列条件的直线l的方程．

(1)过点(2,1)；

(2)和直线3x−4y+5=0垂直．16.(本小题15分)

平面直角坐标系中有点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(−1,2)，这四点能否在同一个圆上？为什么？17.(本小题15分)

已知动点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为12，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．18.(本小题17分)

已知λ为任意实数，当λ变化时，方程x+y−2+λ(3x+y−4)=0．

(1)此方程表示什么图形？图形有什么特点？

(2)求点P(−2,−1)与此方程所表示的图形的距离的最大值，并求出此时λ的值．19.(本小题17分)

如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=3．

(1)若AD⊥PB，证明：AD//平面PBC；

(2)若AD⊥DC，且二面角A−CP−D的正弦值为427

参考答案1.A

2.A

3.C

4.A

5.A

6.D

7.C

8.D

9.AC

10.ABD

11.ABD

12.1

13.12

14.215.解：由x−2y+4=0x+y−2=0解得x=0y=2，∴P(0,2)．

(1)由两点的坐标求得斜率为kl=−12，由点斜式求得直线方程为y=−12x+2，即x+2y−4=0．

16.解：设过的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0…(2分)

将点A、B、D的坐标分别代入圆的方程，

得1+E+F=04+1+2D+E+F=01+4−D+2E+F=0，

解得：D=−2，E=−6，F=5，

得圆的方程为x2+y2−2x−6y+5=0…(8分)

将点C的坐标代入上述所得圆的方程，方程成立

17.解：设点M(x,y)，

动点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为12，

则|MO||MA|=x2+y218.解：(1)令3x+y−4=0x+y−2=0，解得x=1y=1，

故当λ变化时，方程x+y−2+λ(3x+y−4)=0表示过直线3x+y−4=0和直线x+y−2=0的交点(1,1)，

除直线3x+y−4=0以外的所有直线，包括直线x+y−2=0．

(2)当过P(−2,−1)和点A(1,1)的直线与所给方程表示的图形垂直时，此时距离最大，

则最大值为(−2−1)2+(−1−1)2=13，

此时kPA=1+119.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，

又因为AD⊥PB，PA∩PB=P，PA,PB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，

又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB，

因为AB=3，BC=1，AC=2，AB2+BC2=AC2，所以BC⊥AB，

于是AD/​/BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC．

所以AD/​/平面PBC．

(2)因为AD⊥DC，以D为原点，分别以DA，DC，为x，y轴，过点D作PA的平行线为z轴，建立空间直角