2024-2025学年湖南师大附中大联考高三（上）月考数学试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南师大附中大联考高三（上）月考数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A={x|x2+x−6≤0}，B={x|lg(x−1)<0}A.{x|−3≤x≤2} B.{x|−3≤x<2} C.{x|1<x≤2} D.{x|1<x<2}2.若复数z满足z(1+i)=−3+i(i是虚数单位)，则|z|等于(

)A.102 B.54 C.3.已知平面向量a=(5,0),b=(2,−1)，则向量a+b在向量A.(6,−3) B.(4,−2) C.(2,−1) D.(5,0)4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+aA.21 B.19 C.12 D.425.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上为及格.阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数(难度系数=平均分/满分)为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为(    )附：若X∼N(μ,σ2)，记p(k)=P(μ−kσ≤X≤μ+kσ)，则p(0.75)≈0.547，p(1)≈0.683A.136人 B.272人 C.328人 D.820人6.已知α,β∈(0,π2),cos(α−β)=A.π6 B.π4 C.π37.已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，以F2A.(1,263) B.(1，38.已知函数f(x)=a·2x,x≤0,log2x,x>0,若关于xA.(0,1) B.(−∞,0)∪(0,1) C.[1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D中，E,F,M,N分别为棱AA.E,F,M,P四点共面

B.平面PEF被正方体截得的截面是等腰梯形

C.EF//平面PMN

D.平面MEF⊥平面PMN10.已知函数f(x)=2cos2x+A.f(x)的一个对称中心为38π,0

B.f(x)的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象

C.f(x)在区间5π8,7π8上单调递增

D.若y=f(x)在区间11.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(2+x)+g(−x)=1，则(

)A.f(x)的图象关于点(2,1)对称 B.f(x)是以8为周期的周期函数

C.g(2 024)=0 D.k=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x+3y−1)6的展开式中x2y的系数为13.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f′(−x)>2f(x)，且f(1)=0，则不等式f(x)>0的解集为

．14.已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且∠AOB=60°，若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R)，则λ+μ四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知2a+b=2ccos(1)求角C；(2)若角C的平分线CD交AB于点D，AD=313，DB=1316.(本小题12分)已知x=1e为函数(1)求a的值；(2)设函数g(x)=kxex，若对∀x1∈(0,+∞)，∃17.(本小题12分)已知四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，AD // BC，AB⊥BC，PA=PB=22AB，AB=BC=2AD，E为AB的中点，F为棱PC上异于(1)证明：BD⊥EF；(2)试确定点F的位置，使EF与平面PCD所成角的余弦值为701418.(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离等于椭圆C2：x2+16y2=1的短轴长，点P(1)若r=12，Q为圆E上的动点，求线段(2)设D(1,t)是抛物线C1上位于第一象限的一点，过D作圆E的两条切线，分别交抛物线C1于点M，N.证明：直线MN19.(本小题12分)

入冬以来，东北成为全国旅游话题的“顶流”.南方游客纷纷北上，体验东北最美的冬天.某景区为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，并在购票平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下表是该景区在购票平台10天销售优惠券情况．日期t12345678910销售量y(千张)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4经计算可得：y−=110i=110yi=2.2，i=110tiyi=118.73，i=110ti2=385．

(1)由于同时在线人数过多，购票平台在第10天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程(精确到0.01)，并估计第10天的正常销量；

(2)假设每位顾客选择A套餐的概率为25，选择B套餐的概率为35，其中A套餐包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为Pn，求Pn；

(3)记(2)中所得概率Pn的值构成数列{Pn}(n∈N∗)．

①求数列{Pn}的最值；参考答案1.D

2.C

3.A

4.A

5.B

6.D

7.B

8.C

9.BD

10.BD

11.ABC

12.−180

13.(−1,0)∪(1,+∞)

14.1,215.解：(1)由2a+b=2ccos根据正弦定理可得2sinA+sin则2sin(B+C)+sin所以2sinBcosC+2cosBsinC+sinB=2sinCcosB，整理得因为B,C均为三角形内角，所以B,C∈(0,π)，sinB≠0因此cosC=−12(2)因为CD是角C的平分线，AD=313，所以在△ACD和△BCD中，由正弦定理可得，ADsin π因此sin Bsin A=AD又由余弦定理可得c2=a解得a=4，所以b=12，又S△ABC=S△ACD+即48=16CD，所以CD=3．

16.解：(1)f′x=axa−1lnx+xa·1x=xa−1alnx+1，x>0，

由f′(1e)=(1e)a−1(aln1e+1)=0，得a=1，

当a=1时，f′(x)=lnx+1，

当x∈(0,1e)时，f′(x)<0，

当x∈(1e,+∞)时，f′(x)>0，

所以函数f(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，

所以x=1e为函数f(x)=xalnx的极小值点，

所以a=1；

(2)由(1)知f(x)min=f(1e)=−1e，

函数g(x)的导函数g′(x)=k(1−x)e−x，

①若k>0，当x<1时，g′(x)>0，g(x)在(−∞,1)上单调递增，

当x>1时，g′(x)<0，g(x)在(1,+∞)上单调递减，

对∀x1∈(0,+∞)，∃x2=−117.解：(1)如图，连接PE，EC，EC交BD于点G．因为E为AB的中点，PA=PB，所以PE⊥AB．因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，因为BD⊂平面ABCD，所以PE⊥BD．

直角三角形ABD中，AB=2AD，直角三角形BCE中，BC=2BE，

且AD=BE，AB=BC，所以△ABD≌△BCE，

所以∠CEB=∠BDA，所以∠CEB+∠ABD=90°，所以BD⊥EC，因为PE∩EC=E，PE，EC⊂平面PEC，所以BD⊥平面PEC．因为EF⊂平面PEC，所以BD⊥EF．(2)如图，取DC的中点H，以E为坐标原点，分别以EB，EH，EP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB=2，则BC=2，AD=1，PA=PB=则P(0,0,1)，C(1,2,0)，D(−1,1,0)，E(0,0,0)，设F(x,y,z)，PF=λ所以(x,y,z−1)=λ(1,2,−1)，所以x=λ，y=2λ，z=1−λ，即F(λ,2λ,1−λ)．则DC=(2,1,0)，PC=(1,2,−1)，设平面PCD的法向量为m=(a,b,c)DC·m=0PC·设EF与平面PCD所成的角为θ，由cos θ=70所以sin θ=|cosm整理得6λ因为0<λ<1，所以λ=13，即故当F位于棱PC靠近P的三等分点时，EF与平面PCD所成角的余弦值为70

18.解：(1)由题意得椭圆的方程：x2+y所以p=2b=2×14=12设点P(t2,t)，则|PQ|≥|PE|−所以当t2=32时，线段(2)∵D(1,t)是抛物线C1∴t2=1，且t>0设M(a2,a)则直线MN：y−a=b−ab2−a2(x−直线DM：y−1=a−1a2由直线DM与圆相切得|a+2|1+(a+1)2=r同理，由直线DN与圆相切得(r所以a，b是方程(r∴a+b=4−2r2代入方程x−(a+b)y+ab=0得(x+2y+2)r∴x+2y+2=0x+4y+4=0，解得∴直线MN恒过定点(0,−1)．

19.解：(1)剔除第10天数据后的(y−)新=19i=19yi=2.2×10−0.49=2.4，(t−)新=1+2+⋅⋅⋅+99=5，(i=19tiyi)新=118.73−1