2024-2025学年广东省上进联考高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省上进联考高三（上）段考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知3z=−1−2i，则z=(

)A.−35+65i B.−2.已知集合A={x|x2+4x−5≥0},B={y|y=x−2024A.[−5,1] B.[1,2024) C.[1,+∞) D.[2024,+∞)3.已知事件A，B互斥，且P(A)=P(B)=0.5，M满足P(M|A)=0.8，P(M|B)=0.7，则P(M)=(

)A.0.25 B.0.35 C.0.4 D.0.754.向量a=(2,−12)在向量bA.(2,−12) B.(120,5.已知底面半径为5的圆锥的侧面展开图是圆心角为平角的扇形，则该圆锥的体积为(

)A.215π B.10536.已知椭圆C的离心率为cos40°，焦点为F1，F2，一个短轴顶点为B，则∠FA.40° B.50° C.80° D.100°7.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=A.0 B.2φ C.4 D.φ8.已知D为双曲线C：x24−y2=1右支上一点，过点D分别作C的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点AA.2 B.5 C.54 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.为了弘扬奥运会中我国射击队员顽强拼搏的奋斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数如下：9，8，6，10，9，7，6，9(单位：环)，则这组样本数据的(

)A.极差为4 B.平均数是8 C.上四分位数是9 D.方差为410.已知函数f(x)不是常函数，且图象是一条连续不断的曲线，记f(x)的导函数为f′(x)，则(

)A.存在f(x)和实数t，使得f′(x)=tf(x)

B.不存在f(x)和实数t，满足f(x)+f(t)=f(2x)

C.存在f(x)和实数t，满足f(xt)=tf(x)

D.若存在实数t满足f′(x)=f(x+t)11.已知F(1,0)，圆M：(x+1)2+y2=1，点P为圆M上一动点，以PF为直径的圆N交y轴于A，B两点，设A(xAA.当点N在y轴上时，|PF|=5 B.|MN|的取值范围是[12,3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶进行购买，若每种饮料至多买一瓶，则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为______.(用数字作答)13.已知正数a，b满足(2a+1)(b+1)=4，则a+b的最小值为______．14.若关于θ的方程sinθ−acosθcosθ+asinθ=−cos3θsin3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且1sinC=2cosB2sinA+sinB．

(1)求C；

(2)若a=b=2，求16.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex−a−lnxx−1．

(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)17.(本小题15分)

已知抛物线C：y2=mx(m>0)的焦点为F，以F和C的准线上的两点为顶点可以构成边长为433的等边三角形．

(1)求C的方程；

(2)讨论过点(−2,1)的直线18.(本小题15分)

在三棱锥P−ABC中，PM⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=1，AC=2,M,N分别为BC，AC的中点，E为线段PA上一点，平面EBN⊥底面ABC．

(1)若PM=1，求二面角A−EN−B的余弦值；

(2)求PE19.(本小题17分)

已知数列{an}一共有m2(m>2)项，a1，a2，⋯，am成公差不为0的等差数列，对任意的i∈{1,2,⋯,m}，ai，ai+m，⋯，ai+(m−2)m，ai+(m−1)m成等差数列，且对于不同的i，其公差为同一个非零常数．

(1)若m=3，a1=1，a4=3，a9=9，求数列{an}的各项之和；

(2)证明：a1，a(m+1)+1，a2(m+1)+1，⋯，a(m−1)(m+1)+1成等差数列；

(3)从1，2，⋯，m2参考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.C

6.D

7.C

8.C

9.ABC

10.AC

11.ACD

12.70

13.214.−215.解：(1)由1sinC=2cosB2sinA+sinB，

可得2sinA+sinB=2cosBsinC，

又A=π−(B+C)，∴2sin(B+C)+sinB=2cosBsinC，

∴2sinBcosC+2cosBsinC+sinB=2cosBsinC，

化简得2sinBcosC+sinB=0，

∵sinB≠0，∴cosC=−12，

又C∈(0,π)，∴C=2π3；

(2)在△ABC中，由余弦定理，

得c2=a2+b2−2abcosC=22+2216.解：(1)当a=0时，f(x)=ex−lnxx−1,f(1)=e−1，所以切点为(1,e−1)，

又因为f′(x)=ex+lnx−1x2，所以f′(1)=e−1，所以在点(1,f(1))的切线的斜率为e−1，

因此曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−(e−1)=(e−1)(x−1)，

所以切线方程为y=(e−1)x．

(2)证明：当a=1时，原函数f(x)=ex−1−lnxx−1(x>0)，导函数f′(x)=x2ex−1+lnx−1x2，

因此设φ(x)=x2ex−1+lnx−1，

那么其导函数φ′(x)=(x2+2x)ex−1+1x>0，因此φ(x)在(0,+∞)上单调递增，

又因为17.(1)解：已知抛物线C：y2=mx(m>0)的焦点为F，

则F(m4,0)，准线方程为x=−m4，

以焦点和C的准线上的两点为顶点可以构成边长为433的等边三角形FAB，

则等边三角形的高为433×32=2，

即焦点到准线的距离|m2|=2，

又m>0，

则m=4，

所以C的方程为y2=4x．

(2)若直线l的斜率存在，设l的方程为y−1=k(x+2)，

由方程组y−1=k(x+2)y2=4x，

可得ky2−4y+4(2k+1)=0，

(Ⅰ)当k=0时，解得x=14,y=1，

此时方程只有一个实数解，

l与C只有一个公共点；

(Ⅱ)当k≠0时，方程的根的判别式为Δ=−16(2k2+k−1)，

(ⅰ)由Δ=0，解得k=−1或12，

此时方程有两个相等的实数解，

l与C只有一个公共点；

(ⅱ)由Δ>0，

即2k2+k−1<0，

解得−1<k<0或0<k<12，

此时方程有两个不等的实数解，

l与C有两个公共点；

(ⅲ)由Δ<0，

即2k2+k−1>0，

解得k<−1或k>12，

此时方程没有实数解，

l与C没有公共点；

若直线l的斜率不存在，

则直线l的方程为x=−2，

易知l与18.解：(1)如图所示，

连接AM交NB于点O，连接NM，

由于AB⊥AC,AB=1,AC=2,M,N分别为BC，AC的中点，

因此∠MCA=∠MAC，tan∠ABN=ANAB=22，tan∠MCA=ABAC=22，

因此∠ABN=∠MAC=∠MCA，

所以∠MAC+∠MAB=∠MAB+∠ABN=90°，

因此BN⊥AM，

又因为底面ABC⊥平面EBN，底面ABC∩平面EBN=BN，AM⊂平面ABC，

因此AM⊥面EBN．

以A为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x，y轴，

过点A作垂直于平面ABC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

所以A(0,0,0),C(0,2,0),B(1,0,0),P(12,22,1),N(0,22,0)，M(12,22,0)，

AC=(0,2,0),BN=(−1,22,0),AP=(12,22,1)，AM=(12,22,0)，

所以平面EBN的一个法向量为n1=AM=(12,22,0)，

令平面PAC的一个法向量为n2=(x,y,z)，

19.解：(1)根据题意得a1+a7=2a4，a7=5，又由数列的定义知aaaaaaaaa所以数列{an}的各项之和为45．aaa…aaaa…a……………aaa…a……………aaa…a如数表所示，因此可转换为证明左上至右下的对角线上的数成等差数列，

根据数列{an}的定义可知，该数表每行均为等差数列且公差相同，令公差为d1，

每列也为等差数列且公差相同，令公差为d2，

所以ak(m+1)+1−a(k−1)(m+1)+1=d1+d2，

所以数列{a(k−1)(m+1)+1}(1≤k≤m,k∈Z)是以d1+d2为公差，a1=2为首项的等差数列．

(3)将数表中的每个数看作一个点，

如果P，Q，R三点共线，并且关于中间的一点中心对