2024-2025学年河北省衡水中学高三（上）月考数学试卷（二）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省衡水中学高三（上）月考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−2x−3>0}，B={1,2,3,4}，则A∩B=A.{1,2} B.{1,2,3} C.{3,4} D.{4}2.下列函数中在(π4,π2]A.y=cos(2x+π2) B.y=sin2x 3.已知a=log32，b=log43，c=0.51.2，比较aA.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c4.已知函数f(x)=2sin(ωx+π4)−3(ω>0)在[0,A.[256,296) B.[5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若1a1+A.78 B.74 C.726.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足∀x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，有[f(x1A.(0,4) B.(0,+∞) C.(3,4) D.(2,3)7.已知角α，β满足tanα=2，2sinβ=cos(α+β)sinα，则tanβ=(

)A.13 B.17 C.168.已知x>0，y>0，且ex=x2A.y>e2 B.y2>ex+2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知等差数列an的前n项和为Sn，且公差d≠0，2a15A.a16=8

B.若S9=S10，则d=43

C.若d=−2，则Sn的最大值为S2110.已知f(x)=2x3−3xA.当a=1时，若f(x)有三个零点，则b的取值范围是(0,1)

B.当a=1且x∈(0,π)时，f(sinx)<f(sin2x)

C.若f(x)满足f(1−x)=2−f(x)，则a−2b=2

D.若f(x)存在极值点x011.设定义在R上的可导函数f(x)和g(x)的导函数分别为f′(x)和g′(x)，满足g(x)−f(1−x)=1，f′(x)=g′(x+3)，且g(x+1)为奇函数，则下列说法正确的是(

)A.f(0)=0 B.g(x)的图象关于直线x=2对称

C.f(x)的一个周期是4 D.k=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列{an}满足a3=5，a2n=2an+1，2an+113.函数y=f(x)的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f(4x−x14.若正实数a，b满足a(lnb−lna+a)≥bea−1，则1ab四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b+c−ab+c+a(1)求A；(2)若D为BC边上一点，∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=3，求sin16.(本小题12分)已知函数f(x)=ln(1)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形;(2)若f(2m−1)+f(m)<4，求实数m的取值范围．17.(本小题12分)

已知数列{an}，{bn}，an=(−1)n+2n，bn=an+1−λan(λ>0)，且{18.(本小题12分)

已知函数f(x)=ex−a+ax2−3ax+1，a∈R．

(1)当a>1时，试判断f(x)在[1,+∞)上零点的个数，并说明理由；

(2)当x≥0时，19.(本小题12分)

若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域D上是“k−利普希兹条件函数”．

(1)判断函数f(x)=1x是否是区间[1,+∞)上的“1−利普希兹条件函数”？并说明理由；

(2)已知函数f(x)=x3是区间[0,a](a>0)上的“3−利普希兹条件函数”，求实数a参考答案1.D

2.A

3.D

4.A

5.B

6.C

7.B

8.B

9.ABD

10.AD

11.BCD

12.2n13.(0,2)

14.e415.(1)

b+c−ab+c+a=(b+c)2−a2=b2+2bc+c2−a2=bc

，

则

b2(2)法①：如图在

▵ACD

中，由余弦定理C=3+16−23×4×32在

▵ACD

中由正弦定理

CDsin∠DAC=ADsinC

，

即

因为

0<C<π3

，故

cos在

▵ABC

中

sinB=sin法②：同解法①

CD=7

，在

▵ACD

中由正弦定理

CD即

712=4sin又因为

∠ADC=∠BAD+∠B=B+π2

，即

cosB+π2=−法③同上

CD=7

，在直角

▵ABD

中

BD=c2+3由(1)问知

a2=b2+c2+bc

，所以

c2+3+72=c2+4c+16

，

即

c法④如图由(1)知

A=2π3

，则

∠CAD=因为

S▵ABC=12×4csin2π3=12×3c+12×4×3sinπ6

，在

▵ABC

中，由正弦定理

asinA=bsinB

，即

27

16.解：(1)由x2−x>02−x≠0，解得0<x<2，

f(2−x)+f(x)=ln2−xx+2(2−x)+(1−x)3+lnx2−x+2x+(x−1)3=4，

所以f(x)关于点(1,2)中心对称．

(2)f(x)=lnx2−x+2x+(x−1)3=lnx−ln(2−x)+2x+(x−1)3，

f′(x)=1x+12−x+2+3x−12，17.解：(1)由an=(−1)n+2n，bn=an+1−λan(λ>0)，可得b1=a2−λa1=5−λ，

b2=a3−λa2=7−5λ，b3=a4−λa3=17−7λ，

由{bn}为等比数列，可得b22=b1b3，即(7−5λ)2=(5−λ)(17−7λ)，

解得λ=2(−118.解：(1)∵f(1)=e1−a−2a+1，f′(x)=ex−a+2ax−3a，则f′(1)=e1−a−a；

当a>1时，f′′(x)=ex−a+2a>0，f′(x)在(1,+∞)上单调递增，

∵f′(1)=e1−a−a<e1−1−1=0，f′(a)=1+2a2−3a=(2a−1)(a−1)>0，

∴存在唯一的x0∈(1,a)，使得f′(x0)=0，

当x∈(1,x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

又∵f(1)=e1−a−2a+1<e1−1−2+1=0，∴f(x0)<f(1)<0．

又∵f(3)=e3−a+1>0，

∴a>1时，f(x)在[1,+∞)上有且只有1个零点．

(2)①当a>1时，f(1)=e1−a−2a+1<e0−2+1=0，与当x≥0时，f(x)≥0矛盾，∴a>1时不满足题意；

②当a≤1时，f(0)=e−a+1>0，f′(x)=ex−a+2ax−3a，f′′(x)=ex−a+2a，f′′(0)=e−a+2a，

设g(x)=e−x+2x，x≤1，则g′(x)=−e−x+2，令g′(x)=0，得x=−ln2；

∴x∈(−ln2,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；x∈(−∞,−ln2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；

∴g(x)≥g(−ln2)=2−2ln2>0，∴f′′(x)>0恒成立，∴f′(x)在[0,+∞)上单调递增；

(i)若f′(0)=e−a−3a≥0，则f′(x)≥f′(0)≥0，∴f(x)在[0,+∞)上单调递增；

∴f(x)≥f(0)>0恒成立，满足题意．19.解：(1)依题意，∀x1,x2∈[1,+∞),|f(x1)−f(x2)|=|1x1−1x2|=1x1x2|x1−x2|,

注意到

x1，x2∈[1,+∞)，因此

x1x2≥1，从而