微积分-经管类-上册1.4 无穷小无穷大

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第1章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第4节无穷小与无穷大四、无穷小运算法则当一、无穷小定义1.

若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小

.时为无穷小.说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小

!因为当时,显然C

只能是0!CC时,函数(或)则称函数为定义1.

若(或)则时的无穷小

.其中

为时的无穷小量.定理1.

(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其他变化过程类似可证.二、无穷大定义2

若任给

M>0,一切满足不等式的

x,总有则称函数当时为无穷大,

使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,

函数但不是无穷大!例1.证明证:

任给正数

M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则直线为曲线的铅直渐近线.铅直渐近线说明:三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.

在自变量的同一变化过程中,说明:时,有四、无穷小运算法则定理3.

有限个无穷小的和还是无穷小.证:

考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.说明:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.定理4.

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

证:

设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1

常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2

有限个无穷小的乘积是无

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