2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={(x,y)|y=x2}，B={(x,y)|2x−y−1=0}，则A∩B=A.x=1，y=1 B.(1,1) C.{1,1} D.{(1,1)}2.已知椭圆C：x2a2+y2=1(a>0)，则“a=A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知一组数据1，2，3，4，x的下四分位数是x，则x的可能取值为(

)A.5 B.4 C.3 D.24.已知x∈N∗，若122024=13x+y，0≤y<13，则A.1 B.6 C.7 D.125.不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒子里随机取2个球.记事件M：至少一个红球，事件N：一个红球一个白球，则下列说法正确的是(

)A.M+N=N B.M∩N=N C.M与N互斥 D.M与N独立6.已知函数f(x)图象如图所示，则f(1−x)的图象是(

)A.B.

C.D.7.已知三棱锥P−ABC满足AB=3，BC=4，AC=5，且其表面积为24，若点P(正投影在△ABC内部)到AB，BC，AC的距离相等，则三棱锥的体积为(

)A.82 B.635 C.8.若a2m−am+nA.m=n B.m≥n C.m≤n D.无法确定二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知一组数据1，2，3，5，5，6，则特征量为5的是(

)A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差10.已知随机事件B，A，则(

)A.P(A|B)+P(A−|B)=1

B.若P(B|A)=P(B)，则A，B独立

C.若P(B|A)=P(A|B)，则A，B互斥

D.若11.已知函数f(x)的定义域为R，若满足f(2−x)+f(x−1)=−1，且函数f(x)图像关于(1,0)中心对称，则(

)A.f(0)=−1 B.f(2024)=2023

C.f(x+2024)=f(x) D.i=−2024三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.曲线f(x)=ex−1213.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的两焦点分别为F1，F2，焦距为2c14.已知数据x1，x2，…，x5的均值为6，方差为5.数据y1，y2，…，y10的均值为3，方差为2.则数据x1，x2，…x5，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

《黑神话：悟空》是由游戏科学公司制作的动作角色扮演游戏，为了调查玩家喜欢该款游戏是否与性别有关，特选取了100名玩家进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表．男性女性合计喜欢20不喜欢8合计在100名玩家中随机抽取1人，若抽到不喜欢该游戏的概率为0.2．

(1)依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析男、女玩家对该款游戏的喜爱是否有差异？

(2)从喜欢该游戏的玩家中用分层抽样的方法抽取8名玩家，再在这8名玩家中抽取3人调查其喜欢的游戏，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小题15分)

在四棱锥P−ABCD中，已知△PCD是正三角形，底面ABCD为矩形，且平面PCD⊥平面ABCD.若AB=2BC．

(1)证明：BC⊥面PCD；

(2)求二面角P−BD−C17.(本小题15分)

已知函数f(x)=x2(a+lnx)．

(1)若a=12时，求f(x)的最小值；

(2)若f(x)≥18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，点A(0,1)在C上．

(1)求C的方程；

(2)设C的右顶点为B，点P，Q是椭圆上的两点(异于顶点)，若直线AP，AQ与19.(本小题17分)

甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技n场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响．

(1)假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性；

(2)假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是12，设Pn(n≥3,n∈N∗)为甲未获得连续3次胜利的概率．

①求P3，P4；参考答案1.D

2.A

3.D

4.A

5.B

6.A

7.D

8.B

9.CD

10.AB

11.ABD

12.y=x+1

13.1+14.5

15.解：(1)由题意不喜欢该游戏的人数为0.2×100=20，

从而可得2×2列联表：男性女性合计喜欢602080不喜欢81220合计6832100零假设H0：男、女玩家对该款游戏的喜爱没有差异，

根据列联表中数据可求得：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+a)(a+c)(b+c)=100(60×12−20×8)268×32×20×30≈9.007>3.841，

依据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为玩家得性别对该款游戏的喜爱有差异；

(2)若从喜欢该游戏的玩家中用分层抽样的方法抽取8名玩家，其中男性有6人，女性有2人，

若从抽取8名玩家中抽取3人调查，

设所抽取的女性玩家的人数为X，则X的可能取值为0，1，X012P5153则E(X)=0×51416.(1)证明：由ABCD为矩形，可得BC⊥CD，

又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，

BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥面PCD；

(2)解：因为△PCD是正三角形，ABCD为矩形，

平面PCD⊥平面ABCD，取DC中点O，AB中点E，

连接OE，OP，则OE，OC，OP两两垂直，

以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

设BC=2，则AB=22，OP=6，

则P(0,0,6)，B(2,2,0)，D(0,−2,0)，

DP=(0,2,6)，DB=(2,22,0)，

设平面PBD的一个法向量为n=(x,y,z)，

则有n⋅DP=2y+6z=0n17.解：(1)当a=12时，f(x)=x2(12+lnx)，

f′(x)=2x(12+lnx)+x=2x(1+lnx)=0⇒x=1e，

当0<x<1e时，f′(x)<0，f(x)在(0,1e)上单调递减；

当x>1e时，f′(x)>0，f(x)在(,+∞)上单调递增，

所以f(x)min=f(1e)=1e2⋅(−12)=−12e2．

(2)不等式x2(a+lnx)≥x2−x−1等价于a+lnx≥1−1x18.解：(1)根据题意可得e=ca=32b=1a2=b2+c2，解得a=2b=1，

∴椭圆C的方程为x24+y2=1；

(2)证明：如图，设BE=BF=λ，不妨设E在F左侧，

则E(2−λ,0)，F(2+λ,0)，A(0,1)，

∴kAP=1λ−2，kAQ=−12+λ,1kAP+1kAQ=−4，

将椭圆平移至x24+(y+1)2=1，即x2+4y2+8y=0，

此时A平移至19.解：(1)设甲胜乙的概率为P0，甲胜丙的概率为P′0，

因为乙的技术比丙高，所以P0<P′0，

若甲与丙比赛，则