上海市2023-2024学年高一上学期数学期中试卷（含答案）1

上海市2023-2024学年高一上学期数学期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．对数式log2(1−3x)中2．已知集合A=(-2，2)，B=(-3，-1)，则A∪B=3．已知log2x=−1，则4．若幂函数y=xa的图像经过(3，5．已知a>0，用有理数指数幂的形式表示a3⋅6．不等式3x27．下列幂函数在区间(0，+∞)上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的有（请填入全部正确的序号）①y=x13；②y=x12；8．若x>0时，指数函数y=(2a2−1)9．若关于x的不等式组(2x−3)(3x+2)≤0x−a>0}没有实数解，则实数a10．设log0.2a>0，lo11．某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件.现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本.已知代理商要收取的代理费为总销售金额的r%（每100元销售额收取r元），且r为正整数.为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到1601−r%元，但提价后每年的销售量会减少0.62r万件.若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数12．已知函数y=ax+1x+2(a∈R)，若该函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，则实数二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．如果a<0<b，那么下列不等式中成立的是（）A．−a<b B．a2<b214．若a>0，A．logaNC．(loga15．设a、b∈R，“a=0”是“方程ax=b的解集为R”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件16．关于x的不等式ax2+bx+c<0①a<0；②关于x的不等式bx+c>0的解集为(−∞，−6)；③a+b+c>0；④关于x的不等式cxA．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（1）设x，y∈R，用反正法证明：若x+y>2，则x>1（2）设a∈R，比较(a+1)2与a18．已知方程x2+6mx+9m−2=0，且（1）若m=1，求1x（2）若m∈R，且x12+19．某新建居民小区欲建一面积为700m设计方案为：绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（单位：m），人行道的占地面积为Sm（1）设矩形绿地的南北侧边长为xm，试写出S关于x的函数关系式.（2）如何设计绿地的边长，才能使人行道的占地面积最小?(结果精确到0.1m）20．（1）已知集合A={x||x−a|<2|}，B={x|2x−1x+2<1|}（2）已知集合A={x|x2−2x−3>0|}，B={x|x2（3）已知k∈R，当k变化时，求不等式(kx−k21．已知集合A为非空数集，定义：S={x|x=a+b，a，（1）若集合A={2，5}，直接写出集合S、（2）若集合A={x1，x2，x（3）若集合A⊆{x|0≤x≤2021，x∈N}，S∩T=∅，记|A|为集合

答案解析部分1．【答案】x<【解析】【解答】解：要使log2(1−3x)有意义，需1-3x>0∴x<13，所以对数式lo故答案为：x<1

【分析】根据对数函数性质，列出不等式，即可得结果.2．【答案】(【解析】【解答】解：因为A=(-2，2)，B=(-3，-1)，所以A∪B=(故答案为：(−3【分析】根据并集定义即可得结论.3．【答案】1【解析】【解答】解：因为log2x=−1故答案为：12

【分析】对数式化成指数式即可.4．【答案】y=【解析】【解答】解：因为幂函数y=xa的图像经过(3，3)，所以3=故答案为：y=x

【分析】根据幂函数定义，代入点计算即可.5．【答案】a【解析】【解答】解：因为a>0所以a3故答案为：a15

【分析】把根式转化为指数幂，根据同底数幂运算即可.6．【答案】x∈【解析】【解答】解：因为3x2−4x>127=故答案为：x∈(

【分析】根据指数函数单调性转化为一元二次不等式求解即可.7．【答案】①③【解析】【解答】解：因为幂函数y=xα在区间(0，+∞)上是严格增函数，所以α>0，①y=x13；②y=x12；③y=x53满足.又因为图像关于原点成中心对称，所以该幂函数为奇函数，而②故答案为：①③.【分析】根据幂函数的图象，观察其单调性、奇偶性即可判断.8．【答案】(−1【解析】【解答】解：因为x>0时，指数函数y=(2a2−1)x<1，∴0<2a2−1<1∴12故答案为：(−1，

【分析】根据指数函数性质，x>0时函数值大于0小于1，则底数也在0与1之间，解不等式组即可.9．【答案】a≥【解析】【解答】解：因为2x-33x+2≤0∴-23≤x≤3故答案为：a≥3【分析】解出一元二次不等式，根据不等式组没有实数根，作图可得结论.10．【答案】2【解析】【解答】解：因为log0.2a>0，log0.2b>0故答案为：2.【分析】根据基本不等式，结合对数运算即可得结论.11．【答案】{【解析】【解答】解：当每件衬衫价格为1601−r%元时，代理商可销售（10-0.62r）万件衬衫，则代理商收取的代理费为1601−r%（10-0.62r）r%万元.据题意得1601−r%（10-0.62r）r%≥65，

故答案为：{7

【分析】根据题意得每件衬衫价格、销售量，进而得出代理商的代理费，解不等式组即可.12．【答案】(−2【解析】【解答】解：因为y=ax+1x+2=a+1-2ax+2(a∈R，x≠-2)，在区间上a，+∞是严格减函数，且函数值不恒为负，所以1-2a>0a>-2故答案为：(−2，

【分析】把函数分离常数，结合反比例函数单调性，列出不等式组，即可求解.13．【答案】C【解析】【解答】解：对于A、B，取a=-2，b=1则−a>b，a2>b2所以A、B错误.

对于C，若a<0<b，则a3<0，b3>0∴故答案为：C.【分析】举反例即可判断A、B错误，根据正数奇次幂为正数，负数奇次幂仍为负数，即可判断C正确，

作差比较法比较ab与b2的大小，即可判断D错误.14．【答案】A【解析】【解答】解：对于A，logaNM=logaM1N=1N故答案为：A.【分析】根据对数运算法则逐个判断即可.15．【答案】B【解析】【解答】解：关于x的方程ax=b的解集为R，则a=0b=0，当a=0时，不一定于x的方程ax=b的解集为R，但关于x的方程ax=b的解集为R，可以推出a=0，所以“a=0”是“方程ax=b的解集为R故答案为：B.【分析】先根据关于x的方程ax=b的解集为R，得出a=0b=016．【答案】C【解析】【解答】解：因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(−∞，−2)∪(3，+∞)，所以a<0-2+3=-ba-2×3=ca∴a<0b=-ac=-6a故①正确.

所以关于x的不等式bx+c>0可化为-ax-6a>0，所以x>-6，故②错误.

所以a+b+c=-6a>0，故③正确.

所以关于x故答案为：C.【分析】根据已知条件可得a<0-2+3=-17．【答案】（1）证：假设x≤1且y≤1则x+y≤2，与已知条件x+y>2矛盾所以假设不成立，即x>1或y>1（2）(a+1)2−(当a=0时，(当a<0时，(【解析】【分析】(1)利用反证法证明步骤，先假设结论不成立，然后根据假设推出矛盾即可.

(2)根据作差法比较大小即可.18．【答案】（1）解：当m=1时，方程为x2+6x+7=0，因为x1，x2是方程的两个不同的实数根.

所以（2）解：x1+∴∴36解得0<m<1又∵方程有两个不同的根∴Δ=36解得m<13∴0<m<【解析】【分析】（1）根据根与系数关系得x1+x2=−6；x1⋅19．【答案】（1）矩形绿地的南北侧边长为xm，则东西侧边长为700S=∴S=6x+（2）根据平均值不等式，得6x+当且仅当6x=5600x，即此时S达到最小，700所以，当设计绿地的南北侧边长约为30.6m，东西侧边长约为【解析】【分析】（1）由矩形绿地的南北侧边长为xm，得东西侧边长为700xm，即可列出人行道的占地面积S的解析式.20．【答案】（1）A=∵A⊆B∴解得0≤a≤1（2）A=∴B=∴方程x2+px+q=0x1+x1⋅∴p+q=−7（3）当k=0时，A={当k≠0时，解方程(kx−k2−4)(x−4且k+4①当k<0时，k+4k−4=解原不等式可得k+4k＜x＜4②当0<k<2或k>2时，k+4k−4=解原不等式可得x<4或x>k+4k，即A={x∣x<4③当k=2时，k+4k=4，原不等式即为2(x−4综上所述，当k=0时，A=当k<0时，A={x∣k+4当0<k<2或k>2时，A={x∣x<4或x>k+4当k=2时，A={【解析】【分析】(1)先解出A、B集合，然后由A⊆B，得出不等式组，即可求解.

(2)由A=(−∞，−1)21．【答案】（1）S=（2）由于集合A={x1，x2且有x因为A=T，所以T集合有4个元素，即T={0则剩下的x3−（3）设A={a1，则2a∴