第9题 样本的数字特征（解析）

第9题样本的数字特征一、原题呈现【原题】有一组样本数据,,…,,由这组数据得到新样本数据,,…,,其中(为非零常数,则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同【答案】CD【解析】因为,所以,因为,所以,A错误；设第一组中位数为,则第二组的中位数为,,所以,B错误；第一组数据的标准差,第二组数据的标准差,C正确；若第一组数据的极差为,则第二组数据的极差为,故D正确；故选CD【就题论题】本题涉及到中位数、平均数、标准差及极差等样本的数字特征,题型是常规题型,考生在复习时训练的比较多,绝大部分考生都能得分.二、考题揭秘【命题意图】本题考查样本的数字特征,考查数据分析与数学运算的核心素养.难度：中等偏易.【考情分析】概率与统计是高考重点,在高考试卷中既有客观题又有解答题,由于该模块涉及知识点比较多,高考命题没有固定的热点,一般情况下,统计与概率、随机变量的分布列都会涉及,客观题至少会有2道.【得分秘籍】(1)众数、中位数、平均数=1\*GB3①众数：一组数据中出现次数最多的数.=2\*GB3②中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列,处在正中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.=3\*GB3③平均数：如果n个数x1,x2,…,xn,那么叫做这n个数的平均数.(2)三种数字特征的优缺点众数：优点：①体现了样本数据的最大集中点；②容易计算.缺点：它只能表达样本数据中很少的一部分信息,无法客观地反映总体特征.中位数：优点：①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；②容易计算,便于利用中间数据的信息.缺点：对极端值不敏感.平均数：优点：是反映数据集中趋势的量.一般情况下可以反映出更多关于样本数据全体的信息.缺点：代表性不强,任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数据越“离群”,对平均数的影响越大.(3)极差、标准差、方差①一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.②标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,=3\*GB3③方差是标准差的平方.(3)对方差与标准差概念的理解①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大；标准差、方差越小,数据的离散程度越小.②标准差、方差的取值范围是：[0,+∞).“独立”与“互斥”的区别=3\*GB3③因为方差与原始数据的单位相同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.(4)有关平均数、方差的一些结论若数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2.则ax1,ax2,…,axn的平均数为,方差为a2s2.数据mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为,方差为m2s2.(5)标准差(方差)的两个作用①标准差(方差)较大,数据的离散程度较大；标准差(方差)较小,数据的离散程度较小.②在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下,比较方差或标准差以确定稳定性.(6)众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系①众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来显示,即在样本数据的频率分布直方图中,最高矩形的底边中点的横坐标.②中位数：在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.=3\*GB3③平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.【易错警示】混淆标准差与方差求数据的中位数时没有按照从小到大（或从大到小）的顺序排列．三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）一、单选题1．（2021福建省龙岩市高三三模）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据的分布形态有关.如图所示的统计图,记这组数据的众数为,中位数为,平均数为,则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由统计图可得,众数为；共有个数据,处在中间位置的两个数据为,所以中位数为；平均数,所以.故选B.2．（2021广东省深圳市高三一模）2020年12月31日,国务院联防联控机制发布,国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市,其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求,现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（）A．40 B．39 C．38 D．37【答案】C【解析】年龄位于的频率为,年龄位于的频率为,年龄位于的频率为,年龄位于的频率为,因为,而,所以中位数位于,设中位数为,则,解得,故选C.3．（2021河北省邯郸市高三一模）构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召,开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高,说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B．除体育外,高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D．各项评价得分中,这两班的体育得分相差最大【答案】C【解析】对于A,高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5,9,9.5,9,8.5,所以极差为,A错误；对于B,两班的德育分相等,B错误；对于C,高三（1）班的平均数为,（2）班的平均数为,故C正确；对于D,两班的体育分相差,而两班的劳育得分相差,D错误,故选C．4．（2021湖南省衡阳市高三下学期考前预测）俗话说：“一心不能二用”,意思是我们做事情要专心,那么,“一心”到底能否“二用”,某高二几个学生在学完《统计》后,做了一个研究,他们在本年级随机抽取男生和女生各100名,要求他们同时做一道数学题和英语听力题,然后将这些同学完成问题所用时间制成分布图如下,则下列说法正确的是（）①男生“一心二用”所需平均时间平均值大于女生；②所有女生“一心二用”能力都强于男生；③女生用时众数小于男生；④男生“一心二用”能力分布近似于正态分布.A．①④ B．②③ C．①③ D．①③④【答案】D【解析】根据图形可看出,男生“一心二用”所需平均时间平均值大于女生；并不是所有女生“一心二用”能力都强于男生；女生用时众数小于男生；男生“一心二用”能力分布近似于正态分布；故①③④正确.故选D.5．（2021江苏省南通市学科基地高三下学期高考全真模拟）甲､乙､丙､丁四人参加奥运会射击项目的选拔赛,四人的平均成绩和方差见下表甲乙丙丁平均成绩/环9.08.98.69.0方差环2.82.82.13.5如果从这四人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,那么最佳人选是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【解析】甲､丁的平均成绩高于乙､丙的平均成绩,甲的方差小于丁的方差,说明甲的成绩较稳定.故选A6．（2021山东省泰安肥城市高三三模）已知某城市月平均气温为,如当月最热日和最冷日的平均气温相差不超过,则该月平均气温在及以上的日子最多有多少天？（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设平均气温度有天,度以下有天,∴,化简得,要使度及以上的天数多,气温就要低,∴度时,天数最多为天（因为不到天）,故最多有天.故选B．7．（2021江苏省六校高三下学期第四次适应性联考）学校组织开展劳动实践,高二某班名学生利用假期时间前往敬老院､消防队等场所劳动服务.经统计,该名学生的劳动服务时长平均为小时,标准差为.后来经核实,发现统计的甲､乙两名同学的劳动服务时长有误.甲同学的劳动服务时长实际为小时,被误统计为小时；乙同学的劳动服务时长实际为小时,被误统计为小时.更正后重新计算,得到标准差为,则与的大小关系为（）A． B． C． D．无法判断【答案】C【解析】由于甲同学的劳动服务时长实际为小时,被误统计为小时,乙同学的劳动服务时长实际为小时,被误统计为小时,所以平均时长不变,设20名学生的平均时长为,用分别表示甲乙两名学生原来错误的服务时长,用分别表示甲乙两名学生正确的服务时长,分别表示余下18名学生的劳动服务时长,所以,,所以只比较与即可,因为,所以,.故选：C.8．（2021湖南省长沙市长郡中学高三下学期保温卷）已知某个数据的平均数为,方差为,现加入和两个新数据,此时个数据的方差为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设原数据为、、、、、,则,加入和两个新数据后,所得个数据的平均数为,所得个数据的方差为.故选B.9．（2021湖北省武汉市华中师范大学附中高三下学期5月押题卷）为庆祝中国共产党成立100周年,A､B､C､D四个兴趣小组举行党史知识竞赛,每个小组各派10名同学参赛,记录每名同学失分(均为整数)情况,若该组每名同学失分都不超过7分,则该组为“优秀小组”,已知A､B､C､D四个小组成员失分数据信息如下,则一定为“优秀小组”的是（）A．A组中位数为2,极差为8 B．B组平均数为2,众数为2C．C组平均数为1,方差大于0 D．D组平均数为2,方差为3【答案】D【解析】对,因为中位数为2,极差为8,故最大值大于7,故错误；对,如失分数据分别为,则满足平均数为2,众数为2,但不满足每名同学失分都不超过7分,故B错误；对,如失分数据分别为,则满足平均数为1,方差大于0,但不满足每名同学失分都不超过7分,故C错误；对,利用反证法,假设有一同学失分超过7分,则方差大于,与题设矛盾,故每名同学失分都不超过7分．故D正确．故选D10．（2021河北省张家口市高三三模）某中学春季运动会上,12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同,按成绩从高到低取前6位进入决赛,如果小明知道了自己的成绩后,则他可根据其他11位同学成绩的哪个数据判断自己能否进入决赛（）A．中位数 B．平均数 C．极差 D．方差【答案】A【解析】12位同学参赛,按成绩从高到低取前6位进入决赛,正好一半,因此可根据中位数判断小明是否能进入决赛.故选A.11．（2021福建省三明市高三三模）某市原来都开小车上班的唐先生统计了过去一年每一工作日的上班通行时间,并进行初步处理,得到频率分布表如下（表示通行时间,单位为分钟）：通行时间频率0.10.30.30.20.1该市号召市民尽量减少开车出行,以绿色低碳的出行方式支持节能减排.唐先生积极响应政府号召,准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种.如果唐先生选择骑自行车,当天上班的通行时间为30分钟.将频率视为概率,根据样本估计总体的思想,对唐先生上班通行时间的判断,以下正确的是（）A．开小车出行的通行时间的中位数为27.5分钟B．开小车出行两天的总通行时间少于40分钟的概率为0.01C．选择骑自行车比开小车平均通行时间至少会多耗费5分钟D．若选择骑自行车和开小车的概率相等,则平均通行时间为28.5分钟【答案】D【解析】对于A,由频率分布表可知中位数在内,若设中位数为,则有,解得,所以A错误；对于B,由频率分布表可知开小车出行两天的总通行时间少于40分钟的概率为1,所以B错误；对于C,由频率分布表可得开小车平均通行时间为,所以选择骑自行车比开小车平均通行时间至少会多耗费3分钟,所以C错误；对于D,由上面的计算可知平均通行时间为,所以D正确,故选D12．（2021湖北省武汉市高三下学期4月质量检测）一组数据由10个数组成,将其中一个数由4改为1,另一个数由6改为9,其余数不变,得到新的10个数,则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】一个数由4改为1,另一个数由6改为9,故该组数据的平均数不变,设没有改变的八个数分别为,原先一组数的方差,新数据的方差所以,故选B.二、多选题13．（2021福建省厦门市高三三模）记考试成绩的均值为,方差为,若满足,则认为考试试卷设置合理．在某次考试后,从20000名考生中随机抽取1000名考生的成绩进行统计,得到成绩的均值为63.5,方差为169,将数据分成7组,得到如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体,则（）A．本次考试成绩不低于80分的考生约为5000人B．C．本次考试成绩的中位数约为70D．本次考试试卷设置合理【答案】BC【解析】由频率分布直方图可得,故,故B正确.不低于80分的考生的频率为,故本次考试成绩不低于80分的考生约为人,故A错.由频率分布直方图可得前4组的频率和为,故中位数约为70,故C正确.由频率分布直方图可得：,故本次考试试卷设置不合理,故D错误.故选BC.14．（2021广东省佛山市高三下学期二模）百年大计,教育为本.十四五发展纲要中,教育作为一个专章被提出.近日,教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下,根据图中信息,下列论断正确的有（）（名词解释：高中阶段毛入学率≡在校生规模÷适龄青少年总人数×100%）

A．近六年,高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B．近六年,高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C．2019年,未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D．2020年,普通高中的在校生超过2470万人【答案】BD【解析】对A,在前四年有下降的过程,故A错误；对B,六年的在校生总数为24037,平均值为4006以上,故B正确；对C,,未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上,故C错误；对D,,故D正确.故选BD15．（2021湖北省武汉市高三下学期5月质量检测）某学校为了促进学生德､智､体､美､劳全面发展,制订了一套量化评价标准.下表是该校甲､乙两个班级在某次活动中的德､智､体､美､劳的评价得分(得分越高,说明该项教育越好).下列说法正确的是（）德智体美劳甲班9.59.599.58乙班9.599.598.5A．甲班五项得分的极差为1.5B．甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数C．甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数D．甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差【答案】AC【解析】甲班的极差为,故A正确；甲班的平均数,乙班的平均数,故B错误；甲班的成绩从低到高：8,9,9.5,9.5,9.5,中位数为9.5,乙班的成绩从低到高排列：8.5,9,9,9.5,9.5,中位数9,故C正确；甲班的成绩的方差为,乙班的成绩的方差为,,故D错误.故选AC.16．（2021江苏省南通等七市2021届高三下学期2月第一次调研）冬末春初,乍暖还寒,人们容易感冒发热.若发生群体性发热,则会影响到人们的身体健康,干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续天,每天不超过人体温高于,则称没有发生群体性发热.下列连续天体温高于人数的统计特征数中,能判定该公司没有发生群体性发热的为（）A．中位数为,众数为 B．均值小于,中位数为C．均值为,众数为 D．均值为,标准差为【答案】BD【解析】将个数由小到大依次记为、、、、、、.对于A选项,反例：、、、、、、,满足中位数为,众数为,与题意矛盾,A选项不合乎要求；对于B选项,假设,即该公司发生了群体性发热,因中位数为,则,平均数为,矛盾,故假设不成立,即该公司没有发生群体性发热,B选项合乎要求；对于C选项,反例：、、、、、、,满足众数为,均值为,与题意矛盾,C选项不合乎要求；对于D选项,假设,即该公司发生群体性发热,若均值为,则方差为,即,与D选项矛盾,故假设不成立,即该公司没有发生群体性发热,D选项合乎要求.故选BD.三、填空题17．（2021山东省济南市高三二模）习近平总书记在党史学习教育动员大会上强调：“回望过往的奋斗路,眺望前方的奋进路,必须把党的历史学习好、总结好,把党的成功经验传承好、发扬好．”某党小组为响应习总书记号召,重温百年奋斗的恢弘史诗,以信仰之光照亮前行之路,组织开展党史学习教育知识竞赛活动,其中名党员在这次活动中的成绩统计如图所示．则这个成绩的中位数所对应的党员是______．【答案】甲【解析】根据条形图可知,名党员的成绩由高到低依次为：庚、丙、戊、甲、丁、己、乙,因此,这个成绩的中位数所对应的党员是甲.1