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文档简介

第7讲分布列与数学期望高考预测一:求概率及随机变量的分布列的基本类型类型一:利用古典概型求概率1.10月1日,某品牌的两款最新手机(记为型号,型号)同时投放市场,手机厂商为了解这两款手机的销售情况,在10月1日当天,随机调查了5个手机店中这两款手机的销量(单位:部),得到如表手机店型号手机销量6613811型号手机销量1291364(Ⅰ)若在10月1日当天,从,这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部,求抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率;(Ⅱ)现从这5个手机店中任选3个举行促销活动,用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数,求随机变量的分布列和数学期望;(Ⅲ)经测算,型号手机的销售成本(百元)与销量(部满足关系.若表中型号手机销量的方差,试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值.(用表示,结论不要求证明)2.为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标和的数据,并制成如图,其中“”表示服药者,“”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标的值小于60的概率;(2)从图中,,,四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望;(3)试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小.(只需写出结论)3.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求的分布列和数学期望.类型二:利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率4.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“”表示第类电影得到人们喜欢.“”表示第类电影没有得到人们喜欢,2,3,4,5,.写出方差,,,,,的大小关系.5.设甲、乙两位同学上学期间,每天之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)设甲同学上学期间的三天中之前到校的天数为,求,,,时的概率,,,.(2)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”,求事件发生的概率.类型三:利用条件概率公式求概率6.如图所示,质点在正方形的四个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字.质点从点出发,规则如下:当正方体上底面出现的数字是1,质点前进一步(如由到;当正方体上底面出现的数字是2,质点前两步(如由到,当正方体上底面出现的数字是3,质点前进三步(如由到.在质点转一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷终止.(1)求点恰好返回到点的概率;(2)在点转一圈恰能返回到点的所有结果中,用随机变量表示点恰能返回到点的投掷次数,求的分布列及数学期望.7.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量(单位:对工期的影响如下表:降水量工期延误天数02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:工期延误天数的均值与方差;(Ⅱ)在降水量至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.类型四:利用统计图表中的数据求概率8.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温,,,,,,天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时,的数学期望达到最大值?9.某贫困地区共有1500户居民,其中平原地区1050户,山区450户.为调查该地区2017年家庭收入情况,从而更好地实施“精准扶贫”,采用分层抽样的方法,收集了150户家庭2017年年收入的样本数据(单位:万元).(1)应收集多少户山区家庭的样本数据?(2)根据这150个样本数据,得到2017年家庭收入的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为,,,,,,,,,,,.如果将频率视为概率,估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率;(3)样本数据中,有5户山区家庭的年收入超过2万元,请完成2017年家庭收入与地区的列联表,并判断是否有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”?超过2万元不超过2万元总计平原地区山区5总计附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828高考预测二:超几何分布和二项分布类型一:超几何分布10.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量的分布列与数学期望;设为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件发生的概率.11.是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.日均值在35微克立方米以下空气质量为一级;在35微克立方米微克立方米之间空气质量为二级;在75微克立方米以上空气质量为超标.石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的监测数据如茎叶图所示.(1)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天日均监测数据未超标的概率;(2)从所给10天的数据中任意抽取三天数据,记表示抽到监测数据超标的天数,求的分布列及期望.类型二:二项分布12.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出一个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获得一等奖;若只有1个红球,则获得二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为,求的分布列、数学期望和方差.13.近年来,空气质量成为人们越来越关注的话题,空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照大小分为六级,为优;为良;为轻度污染;为中度污染;为重度污染;大于300为严重污染.环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的的茎叶图如下:(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数;(按这个月总共30天计算)(2)现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究,求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率;(3)将频率视为概率,从本月中随机抽取3天,记空气质量优良的天数为,求的概率分布列和数学期望.高考预测三:概率与其他知识点交汇类型一:以其他知识为载体14.已知正四棱锥的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量的值:若这两条棱所在的直线相交,则的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制);若这两条棱所在的直线平行,则;若这两条棱所在的直线异面,则的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制).(1)求的值;(2)求随机变量的分布列及数学期望.15.从集合,2,3,4,5,6,7,8,中抽取三个不同的元素构成子集,,.(1)求对任意的和,2,3,,2,3,满足的概率;(2)若,,成等差数列,设其公差为,求随机变量的分布列与数学期望.类型二:构造递推关系求概率问题16.为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为.(1)求的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,,1,,表示“甲药的累计得分为时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则,,,2,,,其中,,.假设,.证明:,1,2,,为等比数列;求,并根据的值解释这种试验方案的合理性.17.从原点出发的某质点,按向量移动的概率为,按向量移动的概率为,设可到达点,,2,3,的概率为.(1)求和的值;(2)求证:;(3)求的表达式.类型三:利用导数研究概率问题18.某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为,且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点(即取最大值时对应的的值).(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的作为的值,已知每件产品的检验费用为3元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为求;以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?19.某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装,每箱80个,每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测,如检测出不合格品,则更换为合格品.检测时,先从这一箱水果中任取10个作检测,再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测.设每个水果为不合格品的概率都为,且各个水果是否为不合格品相互独立.(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为,求取最大值时的值;(Ⅱ)现对一箱水果检验了10个,结果恰有2个不合格,以(Ⅰ)中确定的作为的值.已知每个水果的检测费用为1.5元,若有不合格水果进入顾客手中,则种植基地要对每个不合格水果支付元的赔偿费用.(ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验,这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为,求;(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时,将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验?高考预测三:决策问题20.某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购买机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个300元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到下面柱状图.以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求的分布列;(2)若要求,试确定的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个?高考预测四:正态分布21.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:.根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.(1)假设生产状态正常,记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得,,其中为抽取的第个零件的尺寸,,2,,16.用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到.附:若随机变量服从正态分布,则,,.22.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如图频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差(同一组的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差①利用该正态分布,求②某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用①的结果,求附:,若,则,.第7讲分布列与数学期望高考预测一:求概率及随机变量的分布列的基本类型类型一:利用古典概型求概率1.10月1日,某品牌的两款最新手机(记为型号,型号)同时投放市场,手机厂商为了解这两款手机的销售情况,在10月1日当天,随机调查了5个手机店中这两款手机的销量(单位:部),得到如表手机店型号手机销量6613811型号手机销量1291364(Ⅰ)若在10月1日当天,从,这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部,求抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率;(Ⅱ)现从这5个手机店中任选3个举行促销活动,用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数,求随机变量的分布列和数学期望;(Ⅲ)经测算,型号手机的销售成本(百元)与销量(部满足关系.若表中型号手机销量的方差,试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值.(用表示,结论不要求证明)【解析】解:设事件为从店售出的手机中随机抽取1部手机,抽取的手机为型号手机,设事件为从店售出的手机中随机抽取1部手机,抽取的手机为型号手机,则事件,相互独立,且,,抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率为.由表格可知型号手机销售量超过型号手机的店有2个,故的可能取值有0,1,2.且,,.的分布列为:012数学期望为.,,.2.为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标和的数据,并制成如图,其中“”表示服药者,“”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标的值小于60的概率;(2)从图中,,,四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望;(3)试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小.(只需写出结论)【解析】解:(1)由图知:在50名服药患者中,有15名患者指标的值小于60,答:从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标小于60的概率为:.(2)由图知:、两人指标的值大于1.7,而、两人则小于1.7,可知在四人中随机选项出的2人中指标的值大于1.7的人数的可能取值为0,1,2,,,,的分布列如下:012答:.(3)答:由图知100名患者中服药者指标数据的方差比未服药者指标数据的方差大.3.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求的分布列和数学期望.【解析】解:(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件,则(A);(2)的可能取值为200,300,400,,,;所以的分布列为:200300400数学期望为.类型二:利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率4.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“”表示第类电影得到人们喜欢.“”表示第类电影没有得到人们喜欢,2,3,4,5,.写出方差,,,,,的大小关系.【解析】解:(Ⅰ)设事件表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影”,总的电影部数为部,第四类电影中获得好评的电影有:部,从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为:(A).(Ⅱ)设事件表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”,第四类获得好评的有:部,第五类获得好评的有:部,则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率:(B).(Ⅲ)由题意知,定义随机变量如下:,则服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影:100.40.6,.第二类电影:100.20.8,.第三类电影:100.150.85,.第四类电影:100.250.75,.第五类电影:100.20.8,.第六类电影:100.10.9,.方差,,,,,的大小关系为:.5.设甲、乙两位同学上学期间,每天之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)设甲同学上学期间的三天中之前到校的天数为,求,,,时的概率,,,.(2)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”,求事件发生的概率.【解析】解:(1),,,.(2)设乙同学上学期间的三天中在之前到校的天数为,则,,,,.类型三:利用条件概率公式求概率6.如图所示,质点在正方形的四个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字.质点从点出发,规则如下:当正方体上底面出现的数字是1,质点前进一步(如由到;当正方体上底面出现的数字是2,质点前两步(如由到,当正方体上底面出现的数字是3,质点前进三步(如由到.在质点转一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷终止.(1)求点恰好返回到点的概率;(2)在点转一圈恰能返回到点的所有结果中,用随机变量表示点恰能返回到点的投掷次数,求的分布列及数学期望.【解析】解:(1)投掷一次正方体玩具,因每个数字在上底面出现是等可能的,故其概率.易知只投掷一次不可能返回到点.①若投掷两次质点就恰好能返回到点,则上底面出现的两个数字,应依次为:、、三种结果,其概率为.②若投掷三次质点恰能返回到点,则上底面出现的三个数字,应依次为:,1,、,2,、,1,三种结果,其概率为.③若投掷四次质点恰能返回到点,则上底面出现的四个数字应依次为:,1,1,,其概率为.所以,质点恰好返回到点的概率为:.(2)由(1)知,质点转一圈恰能返回到点的所有结果共有以上问题中的7种情况,且的可能取值为2,3,4.则,,,故的分布列为:234所以,.7.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量(单位:对工期的影响如下表:降水量工期延误天数02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:工期延误天数的均值与方差;(Ⅱ)在降水量至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.【解析】由题意,,,,的分布列为026100.30.40.20.1工期延误天数的均值为3,方差为9.8;(Ⅱ),由条件概率可得.类型四:利用统计图表中的数据求概率8.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温,,,,,,天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时,的数学期望达到最大值?【解析】解:(1)由题意知的可能取值为200,300,500,,,,的分布列为:2003005000.20.40.4(2)由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,只需考虑,当时,若最高气温不低于25,则;若最高气温位于区间,,则;若最高气温低于20,则,,当时,若最高气温不低于20,则,若最高气温低于20,则,.时,的数学期望达到最大值,最大值为520元.9.某贫困地区共有1500户居民,其中平原地区1050户,山区450户.为调查该地区2017年家庭收入情况,从而更好地实施“精准扶贫”,采用分层抽样的方法,收集了150户家庭2017年年收入的样本数据(单位:万元).(1)应收集多少户山区家庭的样本数据?(2)根据这150个样本数据,得到2017年家庭收入的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为,,,,,,,,,,,.如果将频率视为概率,估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率;(3)样本数据中,有5户山区家庭的年收入超过2万元,请完成2017年家庭收入与地区的列联表,并判断是否有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”?超过2万元不超过2万元总计平原地区山区5总计附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【解析】解:(1)由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1,故应收集手机户山区家庭的样本数据.(2)由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为.(3)样本数据中,年收入超过2万元的户数为户.而样本数据中,有5户山区家庭的年收入超过2万元,故列联表如下:超过2万元不超过2万元总计平原地区2580105山区54045总计30120150所以,有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”.高考预测二:超几何分布和二项分布类型一:超几何分布10.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量的分布列与数学期望;设为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件发生的概率.【解析】解:(Ⅰ)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.人数比为:,从中抽取7人现,应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3,2,2人.(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,随机变量的取值为:0,1,2,3,,,1,2,3.所以随机变量的分布列为:0123随机变量的数学期望;设为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,设事件为:抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人,事件为抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人,则:,且(B),(C),故(A).所以事件发生的概率:.11.是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.日均值在35微克立方米以下空气质量为一级;在35微克立方米微克立方米之间空气质量为二级;在75微克立方米以上空气质量为超标.石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的监测数据如茎叶图所示.(1)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天日均监测数据未超标的概率;(2)从所给10天的数据中任意抽取三天数据,记表示抽到监测数据超标的天数,求的分布列及期望.【解析】解:(1)记“当天日均监测数据未超标”为事件,因为有天日均值在75微克立方米以下,故(A).(2)的可能值为0,1,2,3.由茎叶图可知:空气质量为一级的有2天,空气质量为二级的有4天,只有这6天空气质量不超标,而其余4天都超标.,,,.的分布列如下表:0123.类型二:二项分布12.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出一个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获得一等奖;若只有1个红球,则获得二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为,求的分布列、数学期望和方差.【解析】解:(1)设顾客抽奖1次能中奖的概率为.,(2)设该顾客在一次抽奖中获一等奖的概率为,,故而.,,,.故的分布列为0123数学期望,方差.13.近年来,空气质量成为人们越来越关注的话题,空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照大小分为六级,为优;为良;为轻度污染;为中度污染;为重度污染;大于300为严重污染.环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的的茎叶图如下:(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数;(按这个月总共30天计算)(2)现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究,求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率;(3)将频率视为概率,从本月中随机抽取3天,记空气质量优良的天数为,求的概率分布列和数学期望.【解析】解:(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2,空气质量良的天数为4,故该样本中空气质量优良的频率为,从而估计该月空气质量优良的天数为(2)现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究,基本事件总数,抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优,抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率:.(3)由(1)估计某天空气质量优良的概率为,的所有可能取值为0,1,2,3,且,,,,,故的分布列为:0123,.高考预测三:概率与其他知识点交汇类型一:以其他知识为载体14.已知正四棱锥的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量的值:若这两条棱所在的直线相交,则的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制);若这两条棱所在的直线平行,则;若这两条棱所在的直线异面,则的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制).(1)求的值;(2)求随机变量的分布列及数学期望.【解析】解:(1)根据题意,该四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,,为等腰直角三角形.的可能取值为:0,,,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条基本事件总数种情况,当时有2种,当时有种,当时有种..(2).,.随机变量的分布列如下表:0.15.从集合,2,3,4,5,6,7,8,中抽取三个不同的元素构成子集,,.(1)求对任意的和,2,3,,2,3,满足的概率;(2)若,,成等差数列,设其公差为,求随机变量的分布列与数学期望.【解析】解:(1)由题意知基本事件数为,而满足条件,即取出的元素不相邻,则用插空法有种,故所求事件的概率为;(2)分析,,成等差数列的情况:的情况有7种:,2,,,3,,,4,,,5,,,6,,,7,,,8,,的情况有5种:,3,,,4,,,5,,,6,,,7,.的情况有3种:,4,,,5,,,6,.的情况有1种:,5,.故的分布列如下:1234所以.类型二:构造递推关系求概率问题16.为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为.(1)求的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,,1,,表示“甲药的累计得分为时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则,,,2,,,其中,,.假设,.证明:,1,2,,为等比数列;求,并根据的值解释这种试验方案的合理性.【解析】(1)解:的所有可能取值为,0,1.,,,的分布列为:01(2)证明:,,由(1)得,,,.因此,2,,,故,即,又,,1,2,,为公比为4,首项为的等比数列;解:由可得,,,,.表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.17.从原点出发的某质点,按向量移动的概率为,按向量移动的概率为,设可到达点,,2,3,的概率为.(1)求和的值;(2)求证:;(3)求的表达式.【解析】解:(1),(2)证明:点到达点有两种情况①从点按向量移动②从点按向量移动问题得证.(3)数列是以为首项,为公比的等比数列又因为.类型三:利用导数研究概率问题18.某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为,且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点(即取最大值时对应的的值).(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的作为的值,已知每件产品的检验费用为3元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为求;以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?【解析】解:(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,则,,令,得,当时,,当时,,的最大值点.(2)由(1)知,令表示余下的180件产品中的不合格品数,依题意知,,即,.如果对余下的产品作检验,由这一箱产品所需要的检验费为600元,,应该对余下的产品不进行检验.19.某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装,每箱80个,每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测,如检测出不合格品,则更换为合格品.检测时,先从这一箱水果中任取10个作检测,再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测.设每个水果为不合格品的概率都为,且各个水果是否为不合格品相互独立.(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为,求取最大值时的值;(Ⅱ)现对一箱水果检验了10个,结果恰有2个不合格,以(Ⅰ)中确定的作为的值.已知每个水果的检测费用为1.5元,若有不合格水果进入顾客手中,则种植基地要对每个不合格水果支付元的赔偿费用.(ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验,这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为,求;(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时,将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验?【解析】解:(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格的概率为,则,,由,得.且当时,当时,,的最大值点.(Ⅱ)由(Ⅰ)知.(ⅰ)令表示余下的70个水果中的不合格数,依题意,..(ⅱ)如果对余下的水果作检验,则这箱水果的检验费为120元,由,得,且

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