第4讲 函数间的互相联系

第4讲函数间的互相联系【要点提炼】函数的对称性、奇偶性、周期性及单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，求解时要研究函数各性质间的相互联系，对性质进行综合、灵活地应用．【典例1】已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，设a＝ln

eq\f(1,π)，b＝(lnπ)2，c＝lneq\r(π)，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则()A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(b)【答案】D【解析】依题意得，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且其图象关于y轴对称，则f(a)＝f(－a)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－ln\f(1,π)))＝f(lnπ)，f(c)＝f(lneq\r(π))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lnπ))，而0<eq\f(1,2)lnπ<lnπ<(lnπ)2，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lnπ))>f(lnπ)>f[(lnπ)2]，即f(c)>f(a)>f(b)．【典例2】(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)为偶函数，且在区间[2,3]上单调递增，则()A．f(x)的周期为2B．f(－1)是函数f(x)的最小值C．函数f(x)的图象的一个对称中心为(4,0)D．f(x＋16)＝f(x－12)【解析】由f(x＋1)为偶函数，可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)为奇函数，∴－f(－x)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝4，故A错；f(x)在[2,3]上单调递增，且T＝4，∴f(x)在[－2，－1]上单调递增，∴f(－1)不是f(x)的最小值，故B错；又f(x)关于(0,0)对称，且T＝4，∴f(x)的图象关于(4,0)对称，故C正确；∵T＝4，∴f(x＋16)＝f(x)，f(x－12)＝f(x)，∴f(x＋16)＝f(x－12)，故D正确．【典例3】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.【解析】∵f(x)是奇函数且f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(x)＝f(4－x)且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，并且此函数是周期为8的周期函数．∵f(x)在[0,2]上是增函数，∴f(x)在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上是减函数．据此可画出y＝f(x)图象的草图(如图)(设x1<x2<x3<x4)：其图象也关于直线x＝－6对称，∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8.【方法总结】函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定函数在另一个区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．【典例4】已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，g(x)为偶函数．∴g(－log25.1)＝g(log25.1)．∵f(x)在R上单调递增，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增．而20.8<2<log25.1<3，∴g(20.8)<g(log25.1)<g(3)，∴b<a<c.【典例5】(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称，则以下关于f(x)的结论正确的是()A．f(x)是周期函数B．f(x)满足f(x)＝f(4－x)C．f(x)在(0,2)上单调递减D．f(x)＝coseq\f(πx,2)是满足条件的一个函数【解析】因为f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，其图象关于点(1,0)对称，则f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的函数，故A正确；因为f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)，把x替换成－x可得f(x)＝f(4－x)，故B正确；f(x)＝coseq\f(πx,2)是定义在R上的偶函数，(1,0)是它的一个对称中心，可得D正确；又因为取f(x)＝－coseq\f(πx,2)时也满足题意，但f(x)在(0,2)上单调递增，故C错误．【典例6】已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A．B．C．D．【解析】：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.【典例7】函数的部分图像大致为（） ABCD【解析】本题主要考查通过函数的性质来判断函数的图象,意在考查考生的识图能力以及数形结合思想.易知函数g(x)=x+是奇函数,其函数图象关于原点对称,所以函数y=1+x+的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度,结合选项知选D.【典例8】设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是()A. B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))【解析】由f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|)．当x＞0时，f(x)＝ln(1＋x)－eq\f(1,1＋x2)，得f′(x)＝eq\f(1,1＋x)＋eq\f(2x,（1＋x2）2)＞0，所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，平方得3x2－4x＋1＜0，解得eq\f(1,3)＜x＜1，故选A.【典例9】下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2x【解析】由f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，可知A为奇函数，B为偶函数，C定义域不关于原点对称，D为非奇非偶函数．【典例10】下列函数中为奇函数的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝exC．y＝cosx D．y＝ex－e－x【解析】由奇函数定义易知y＝ex－e－x为奇函数，故选D.【典例11】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosxC．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x2＋sinx【解析】对于A，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，为偶函数；对于C，f(－x)＝2－x＋eq\f(1,2－x)＝2x＋eq\f(1,2x)＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sinx既不是偶函数也不是奇函数，故选D.【典例12】函数的单调递增区间是（）A.B.C.D.【解析】函数有意义，则：，解得：或，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为.【典例13】已知函数，则（）A．在（0，2）单调递增B．在（0，2）单调递减C．y=的图像关于直线x=1对称D．y=的图像关于点（1，0）对称【典例14】若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是（）A.B.C.D.【解析】由A,令,,则在R上单调递增,具有M性质,故选A.【典例15】函数的图像大致为()A．B．C．D．【解析】：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.【典例16】函数的图像大致为A．B．C．D．【解析】：函数过定点，排除，求得函数的导数，由得，得或，此时函数单调递增，排除，故选D.【典例17】函数y=sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．【解析】：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.【典例18】已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，当x＞eq\f(1,2)时，＝.则f(6)＝()A.－2 B.－1C.0 D.2【解析】当x＞eq\f(1,2)时，＝，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1).当x＜0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)－[(－1)3－1]＝2，故选D.【典例19】设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是()A. B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))【解析】由f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|)．当x＞0时，f(x)＝ln(1＋x)－eq\f(1,1＋x2)，得f′(x)＝eq\f(1,1＋x)＋eq\f(2x,（1＋x2）2)＞0，所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，平方得3x2－4x＋1＜0，解得eq\f(1,3)＜x＜1，故选A.【典例20】下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2x【解析】由f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，可知A为奇函数，B为偶函数，C定义域不关于原点对称，D为非奇非偶函数．【典例21】下列函数中为奇函数的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝exC．y＝cosx D．y＝ex－e－x【解析】由奇函数定义易知y＝ex－e－x为奇函数，故选D.【典例22】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosxC．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x2＋sinx【解析】对于A，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，为偶函数；对于C，f(－x)＝2－x＋eq\f(1,2－x)＝2x＋eq\f(1,2x)＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sinx既不是偶函数也不是奇函数，故选D.【典例23】函数满足，且在区间上，则的值为____．【解析】由得函数的周期为4，所以因此【典例24】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当时,,则f(919)=.【解析】∵f(x+4)=f(x-2),∴f(x)的周期为6,∵919=153×6+1,∴f(919)=f(1).又f(x)为偶函数,∴f(919)=f(1)=f(-1)=6【典例25】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，【典例26】已知函数,其中e是自然对数的底数.,则实数的取值范围是.【解析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性等性质以及导数与函数单调性的关系,考查运算求解能力.由f(x)=x3-2x+ex-,得f(-x)=-x3+2x+-ex=-f(x),所以f(x)是R上的奇函数,又f'(x)=3x2-2+ex+≥3x2-2+2=3x2≥0,当且仅当x=0时取等号,所以f(x)在其定义域内单调递增,所以不等式f(a-1)+f(2a2)≤0⇔f(a-1)≤-f(2a2)=f(-2a2)⇔a-1≤-2a2,解得-1≤a≤,故实数a的取值范围是[-1,].【典例27】已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝eqx\s\up6(\f(2,3))，则f(－8)的值是________．【解析】因为y＝f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝eqx\s\up6(\f(2,3))，所以f(－8)＝－f(8)＝－eq8\s\up6(\f(2,3))＝－4.【典例28】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－eq\r(2))，则a的取值范围为________．【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－eq\r(2))＝f(eq\r(2))，所以f(2|a－1|)＞f(eq\r(2))，即为2|a－1|＜eq\r(2)＝2eq\f(1,2)，所以|a－1|＜eq\f(1,2)，即－eq\f(1,2)＜a－1＜eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)＜a＜eq\f(3,2).所以a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))).【典例29】黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)，当x＝\f(q,p)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p，q都是正整数，\f(q,p)是既约真分数))，,0，当x＝0，1或0，1上的无理数.))若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)＝R(x)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)))＋f(lg30)＝________.【解析】由于函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，所以函数y＝f(x)是以2为周期的周期函数，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)－4))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))＝－Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))＝－eq\f(1,5)，f(lg30)＝f(lg3＋lg10)＝f(lg3＋1)＝f(lg3－1)＝－f(1－lg3)＝－R(1－lg3)＝0，因此feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)))＋f(lg30)＝－eq\f(1,5).【典例30】已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)＋2eq\r(2)，若函数f(x－1)的图象