专题04立体几何中空间线、面位置关系的判定(3)(原卷版+解析)

专题04立体几何中空间线、面位置关系的判定(3)【方法总结】平面图形折叠问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，翻折前后位于同一个半平面内的直线间的位置关系、数量关系不变，翻折前后分别位于两个半平面内(非交线)的直线位置关系、数量关系一般发生变化，解翻折问题的关键是辨析清楚“不变的位置关系和数量关系”“变的位置关系和数量关系”．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．【例题选讲】[例1](1)如图是一个正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与BE平行；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①②③④解析由题意画出该正方体的图形如图所示，连接BE，BN，显然①②正确；对于③，连接AN，易得AN∥BM，∠ANC＝60°，所以CN与BM成60°角，所以③正确；对于④，易知DM⊥平面BCN，所以DM⊥BN正确．(2)已知四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3．沿AC将△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面ABC，F是AD′的中点，E是AC上一点，给出下列结论：①存在点E，使得EF∥平面BCD′；②存在点E，使得EF⊥平面ABC；③存在点E，使得D′E⊥平面ABC；④存在点E，使得AC⊥平面BD′E．其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．答案①②③解析对于①，存在AC的中点E，使得EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′；对于②，过点F作EF⊥AC，垂足为E，利用面面垂直的性质定理可得EF⊥平面ABC；对于③，过点D′作D′E⊥AC，垂足为E，利用面面垂直的性质定理可得D′E⊥平面ABC；对于④，因为ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥平面BD′E．(3)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心答案A解析由题意可知PA、PE、PF两两垂直，所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．故选A．(4)(多选)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2eq\r(3)．则()A．平面PED⊥平面EBCDB．PC⊥EDC．二面角P－DC－B的大小为45°D．PC与平面PED所成角的正切值为eq\r(2)答案AC解析A项，PD＝AD＝eq\r(AE2＋DE2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，在三角形PDC中，PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又CD⊥DE，可得CD⊥平面PED，CD⊂平面EBCD，所以平面PED⊥平面EBCD，正确；B项，若PC⊥ED，又ED⊥CD，可得ED⊥平面PDC，则ED⊥PD，而∠EDP＝∠EDA＝45°，显然矛盾，故错误；C项，二面角P－DC－B的平面角为∠PDE，又∠PDE＝∠ADE＝45°，故正确；D项，由上面分析可知，∠CPD为直线PC与平面PED所成的角，在Rt△PCD中，tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(2),2)，故错误．故选AC．(5)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是________．(填序号)①BM是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．答案③解析取DC的中点F，连接MF，BF，则MF∥A1D且MF＝eq\f(1,2)A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE．由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得①②正确；由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；若存在某个位置，使DE⊥A1C，则因为DE2＋CE2＝CD2，即CE⊥DE，因为A1C∩CE＝C，则DE⊥平面A1CE，所以DE⊥A1E，与DA1⊥A1E矛盾，故③不正确．(6)等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD的侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：①四面体E－BCD的体积有最大值和最小值；②存在某个位置，使得AE⊥BD；③设二面角D－AB－E的平面角为θ，则θ≥∠DAE；④AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆．其中，正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4答案D解析根据正四面体的特征，以及等腰直角三角形的特征，可以得到当直角边AE绕斜边AB旋转的过程中，存在着最高点和最低点，并且最低点在底面的上方，所以四面体E－BCD的体积有最大值和最小值，故①正确；要想使AE⊥BD，就要使AE落在竖直方向的平面内，而转到这个位置的时候，使得AE⊥BD，且满足是等腰直角三角形，所以②正确；利用二面角的平面角的定义，找到其平面角，设二面角D－AB－E的平面角为θ，则θ≥∠DAE，所以③是正确的；根据平面截圆锥所得的截面可以断定，AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆，所以④正确．故正确的命题的个数是4，故选D．(7)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是()A．点F的轨迹是一条线段B．A1F与BE是异面直线C．A1F与D1E不可能平行D．三棱锥F－ABC1的体积为定值答案C解析由题知A1F∥平面D1AE，分别取B1C1，BB1的中点H，G，连接HG，A1H，A1G，BC1，可得HG∥BC1∥AD1，A1G∥D1E，故平面A1HG∥平面AD1E，故点F的轨迹为线段HG，A正确；由异面直线的判定定理可知A1F与BE是异面直线，故B正确；当F是BB1的中点时，A1F与D1E平行，故C不正确；∵HG∥平面ABC1，∴F点到平面ABC1的距离不变，故三棱锥F－ABC1的体积为定值，故D正确．(8)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P－AD1－C的大小不变；④若M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1．其中真命题的序号是________．答案①③④解析①＝＝eq\f(1,3)×eq\f(B1C,2)×eq\f(1,2)为定值；②因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面AD1C，因此P到平面AD1C的距离不变，但AP长度变化，因此直线AP与平面ACD1所成的角的大小变化；③二面角P－AD1－C的大小就是平面ABC1D1与平面AD1C所成二面角的大小，因此不变；④到点D和C1距离相等的点在平面A1BCD1上，所以M点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1．综上，真命题的序号是①③④．【对点精练】1．将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角2．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．3．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD拆成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′－BCD的体积为eq\f(1,3)5．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFHB．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF6．(多选)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，翻折△ABD和△ACD，使得平面ABD⊥平面ACD．下列结论正确的是()A．BD⊥ACB．△BAC是等边三角形C．三棱锥D－ABC是正三棱锥D．平面ADC⊥平面ABC7．如图所示，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝eq\r(3)BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述：①AB与DE所成的角的正切值是eq\r(2)；②AB∥CE；③VB－ACE＝eq\f(a3,6)；④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的有________．(填写你认为正确的序号)8．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD．9．在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC所成的角的范围(包含初始状态)为()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))10．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1)．将四边形ADEF沿AD折起，连接AC，CF，BE，BF，CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法错误的是()A．AC∥平面BEFB．B，C，E，F四点不可能共面C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCDD．平面BCE与平面BEF可能垂直11．在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M为BC的中点，N为AC的中点，D为BC边上一个动点，△ABD沿AD翻折使BD⊥DC，点A在平面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是()A．线段NO为定长B．CO∈[1，eq\r(2))C．∠AMO＋∠ADB＞180°D．点O的轨迹是圆弧12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点．有下列判断：①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱锥E—AA1O的体积为定值；④AE＋EC1的最小值为2eq\r(2)．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．413．如图，已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1)．设平面MEF∩平面MPQ＝l，现有下列结论：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直线l与平面BCC1B1不垂直；④当x变化时，l不是定直线．其中成立的结论是________．(写出所有成立结论的序号)14．(多选)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱CC1上，则下列结论正确的是()A．直线BM与平面ADD1A1平行B．平面BMD1截正方体所得的截面为三角形C．异面直线AD1与A1C1所成的角为eq\f(π,3)D．MB＋MD1的最小值为eq\r(5)15．(多选)如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论正确的是()A．三棱锥A－D1PC的体积不变B．A1P∥平面ACD1C．DP⊥BC1D．平面PDB1⊥平面ACD116．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝6，AA1＝2，M为棱BC的中点，动点P满足∠APD＝∠CPM，则点P的轨迹与长方体的面DCC1D1的交线长等于()A．eq\f(2π,3)B．πC．eq\f(4π,3)D．eq\r(2)π更多精品资料请关注微信公众号：超级高中生专题04立体几何中空间线、面位置关系的判定(3)【方法总结】平面图形折叠问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，翻折前后位于同一个半平面内的直线间的位置关系、数量关系不变，翻折前后分别位于两个半平面内(非交线)的直线位置关系、数量关系一般发生变化，解翻折问题的关键是辨析清楚“不变的位置关系和数量关系”“变的位置关系和数量关系”．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．【例题选讲】[例1](1)如图是一个正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与BE平行；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①②③④解析由题意画出该正方体的图形如图所示，连接BE，BN，显然①②正确；对于③，连接AN，易得AN∥BM，∠ANC＝60°，所以CN与BM成60°角，所以③正确；对于④，易知DM⊥平面BCN，所以DM⊥BN正确．(2)已知四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3．沿AC将△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面ABC，F是AD′的中点，E是AC上一点，给出下列结论：①存在点E，使得EF∥平面BCD′；②存在点E，使得EF⊥平面ABC；③存在点E，使得D′E⊥平面ABC；④存在点E，使得AC⊥平面BD′E．其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．答案①②③解析对于①，存在AC的中点E，使得EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′；对于②，过点F作EF⊥AC，垂足为E，利用面面垂直的性质定理可得EF⊥平面ABC；对于③，过点D′作D′E⊥AC，垂足为E，利用面面垂直的性质定理可得D′E⊥平面ABC；对于④，因为ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥平面BD′E．(3)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心答案A解析由题意可知PA、PE、PF两两垂直，所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．故选A．(4)(多选)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2eq\r(3)．则()A．平面PED⊥平面EBCDB．PC⊥EDC．二面角P－DC－B的大小为45°D．PC与平面PED所成角的正切值为eq\r(2)答案AC解析A项，PD＝AD＝eq\r(AE2＋DE2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，在三角形PDC中，PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又CD⊥DE，可得CD⊥平面PED，CD⊂平面EBCD，所以平面PED⊥平面EBCD，正确；B项，若PC⊥ED，又ED⊥CD，可得ED⊥平面PDC，则ED⊥PD，而∠EDP＝∠EDA＝45°，显然矛盾，故错误；C项，二面角P－DC－B的平面角为∠PDE，又∠PDE＝∠ADE＝45°，故正确；D项，由上面分析可知，∠CPD为直线PC与平面PED所成的角，在Rt△PCD中，tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(2),2)，故错误．故选AC．(5)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是________．(填序号)①BM是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．答案③解析取DC的中点F，连接MF，BF，则MF∥A1D且MF＝eq\f(1,2)A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE．由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得①②正确；由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；若存在某个位置，使DE⊥A1C，则因为DE2＋CE2＝CD2，即CE⊥DE，因为A1C∩CE＝C，则DE⊥平面A1CE，所以DE⊥A1E，与DA1⊥A1E矛盾，故③不正确．(6)等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD的侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：①四面体E－BCD的体积有最大值和最小值；②存在某个位置，使得AE⊥BD；③设二面角D－AB－E的平面角为θ，则θ≥∠DAE；④AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆．其中，正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4答案D解析根据正四面体的特征，以及等腰直角三角形的特征，可以得到当直角边AE绕斜边AB旋转的过程中，存在着最高点和最低点，并且最低点在底面的上方，所以四面体E－BCD的体积有最大值和最小值，故①正确；要想使AE⊥BD，就要使AE落在竖直方向的平面内，而转到这个位置的时候，使得AE⊥BD，且满足是等腰直角三角形，所以②正确；利用二面角的平面角的定义，找到其平面角，设二面角D－AB－E的平面角为θ，则θ≥∠DAE，所以③是正确的；根据平面截圆锥所得的截面可以断定，AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆，所以④正确．故正确的命题的个数是4，故选D．(7)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是()A．点F的轨迹是一条线段B．A1F与BE是异面直线C．A1F与D1E不可能平行D．三棱锥F－ABC1的体积为定值答案C解析由题知A1F∥平面D1AE，分别取B1C1，BB1的中点H，G，连接HG，A1H，A1G，BC1，可得HG∥BC1∥AD1，A1G∥D1E，故平面A1HG∥平面AD1E，故点F的轨迹为线段HG，A正确；由异面直线的判定定理可知A1F与BE是异面直线，故B正确；当F是BB1的中点时，A1F与D1E平行，故C不正确；∵HG∥平面ABC1，∴F点到平面ABC1的距离不变，故三棱锥F－ABC1的体积为定值，故D正确．(8)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P－AD1－C的大小不变；④若M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1．其中真命题的序号是________．答案①③④解析①＝＝eq\f(1,3)×eq\f(B1C,2)×eq\f(1,2)为定值；②因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面AD1C，因此P到平面AD1C的距离不变，但AP长度变化，因此直线AP与平面ACD1所成的角的大小变化；③二面角P－AD1－C的大小就是平面ABC1D1与平面AD1C所成二面角的大小，因此不变；④到点D和C1距离相等的点在平面A1BCD1上，所以M点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1．综上，真命题的序号是①③④．【对点精练】1．将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角1．答案D解析如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠ECD即为异面直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°．2．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．2．答案②③④解析把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN．3．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．答案B解析将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B．4．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD拆成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′－BCD的体积为eq\f(1,3)4．答案B解析若A成立可得BD⊥A′D，产生矛盾，故A不正确；由题干知△BA′D为等腰直角三角形，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥A′C，于是B正确；由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D＝45°知C不正确；VA′－BCD＝VC－A′BD＝eq\f(1,6)，D不正确，故选B．5．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFHB．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF5．答案B解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，得AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B．6．(多选)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，翻折△ABD和△ACD，使得平面ABD⊥平面ACD．下列结论正确的是()A．BD⊥ACB．△BAC是等边三角形C．三棱锥D－ABC是正三棱锥D．平面ADC⊥平面ABC6．答案ABC解析由题意易知，BD⊥平面ADC，又AC⊂平面ADC，故BD⊥AC，A中结论正确；设等腰直角三角形ABC的腰为a，则BC＝eq\r(2)a，由A知BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，∴BD⊥CD，又BD＝CD＝eq\f(\r(2),2)a，∴由勾股定理得BC＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)a＝a，∴AB＝AC＝BC，则△BAC是等边三角形，B中结论正确；易知DA＝DB＝DC，又由B可知C中结论正确，D中结论错误．7．如图所示，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝eq\r(3)BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述：①AB与DE所成的角的正切值是eq\r(2)；②AB∥CE；③VB－ACE＝eq\f(a3,6)；④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的有________．(填写你认为正确的序号)7．答案①③④解析作出折叠后的几何体直观图如图所示．∵A点在平面BCDE上的射影为点D，∴AD⊥平面BCDE．∵BC⊂平面BCDE，∴AD⊥BC．∵四边形BCDE是正方形，∴BC⊥CD，又AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ACD，∴BC⊥平面ADC．又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故④正确；∵DE∥BC，∴∠ABC或其补角为AB与DE所成的角，∵BC⊥平面ADC，AC⊂平面ADC，∴BC⊥AC，∵AB＝eq\r(3)BC，BC＝a，∴在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(2)a，∴tan∠ABC＝eq\f(AC,BC)＝eq\r(2)，故①正确；连接BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，∴CE⊥AD．又BD∩AD＝D，BD，AD⊂平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，∴CE⊥AB．故②错误；在Rt△ABE中，AB＝eq\r(3)a，BE＝a，∴AE＝eq\r(2)a，又DE＝a，AD⊥DE，∴AD＝a，∴三棱锥B－ACE的体积VB－ACE＝VA－BCE＝eq\f(1,3)S△BCE·AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a2×a＝eq\f(a3,6)，故③正确．8．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD．8．答案①②④解析由已知，在未折叠的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE＝AD，折叠后如图所示．①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP．因为M，N分别是AD，BE的中点，所以点P为AE的中点，故NP∥EC．又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，所以AE⊥MP，AE⊥NP，又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，又MN⊂平面MNP，所以MN⊥AE，②正确；③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，③错误；④当EC⊥ED时，EC⊥AD．因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，所以EC⊥平面AED，AD⊂平面AED，所以EC⊥AD，④正确．9．在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC所成的角的范围(包含初始状态)为()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))9．答案C解析由题意，初始状态直线AD与直线BC所成的角为0，当DB＝eq\r(2)时，AD⊥DB，AD⊥DC，又DC∩DB＝D，∴AD⊥平面DBC，又BC⊂平面DBC，所以AD⊥BC，直线AD与直线BC所成的角为eq\f(π,2)，∴在翻折过程中直线AD与直线BC所成角的范围(包含初始状态)为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．10．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1)．将四边形ADEF沿AD折起，连接AC，CF，BE，BF，CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法错误的是()A．AC∥平面BEFB．B，C，E，F四点不可能共面C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCDD．平面BCE与平面BEF可能垂直10．答案D解析A选项，连接BD，交AC于点O，取BE的中点M，连接OM，FM，则四边形AOMF是平行四边形，所以AO∥FM，因为FM⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，所以AC∥平面BEF；B选项，若B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，所以BC∥平面ADEF，又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；C选项，连接FD，在平面ADEF内，由勾股定理可得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF与AD相交，所以CD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD；D选项，延长AF至G，使AF＝FG，连接BG，EG，可得平面BCE⊥平面ABF，且平面BCE∩平面ABF＝BG，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾．11．在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M为BC的中点，N为AC的中点，D为BC边上一个动点，△ABD沿AD翻折使BD⊥DC，点A在平面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是()A．线段NO为定长B．CO∈[1，eq\r(2))C．∠AMO＋∠ADB＞180°D．点O的轨迹是圆弧11．答案C解析如图所示，对于A，△AOC为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，ON＝eq\f(1,2)AC为定长，即A正确；对于B，D在M时，AO＝1，CO＝1，∴CO∈[1，eq\r(2))，即B正确；对于D，由A可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确，故选C．12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点．有下列判断：①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱锥E—AA1O的体积为定值；④AE＋EC1的最小值为2eq\r(2)．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．412．答案C解析①因为点A∉平面BB1C1C，所以直线AC与直线C1E是异面直线；②当A1E⊥AB1时，直线A1E⊥平面AB1C1，所以A1E⊥AC1，错误；③球心O是直线AC1，A1C的交点，底面OAA1面积不变，直线BB1∥平面AA1O，所以点E到底面的距离不变，体积为定值；④将矩形AA1B1B和矩形BB1C1C展开到一个面内，当点E为AC1与BB1的交点时，AE＋EC1取得最小值2eq\r(2)，故选C．13．如图，已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1)．设平面MEF∩平面MPQ＝l，现有下列结论：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直线l与平面BCC1B1不垂直；④当x变化时，l不是定直线．其中成立的结论是________．(写出所有成立结论的序号)13．答案①②③解析连接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴