高等机构学-螺旋理论基础课件

螺旋理论基础基于螺旋理论的自由度分析原理空间机构的位置分析运动影响系数原理空间机构动力学基于约束螺旋理论的并联机构型综合空间机构的奇异分析本门课程的主要学习内容第1页/共105页空间直线的螺旋表示螺旋表示运动和作用力螺旋的相关性螺旋的相逆性螺旋理论基础第2页/共105页直线的矢量方程两个点：两点之间的距离或直线段的长度为第3页/共105页假设：L、M、N是有向线段S的方向数，而l、m、n是S的方向余弦，且满足则直线方程可写为：或S0称为矢量

S对原点的线矩直线的矢量方程第4页/共105页可写为行列式的形式展开，有其中P、Q、R为直线的矢量方程第5页/共105页若S是单位矢量,，则线矩S0的模表示直线到原点的距离；若矢量S过原点，其线矩为零：当S及S0给定后，直线在空间的方向及位置都被确定，而且它们是一一对应的；矢量S与其对原点之线矩S0是互为正交的：直线的矢量方程可知：第6页/共105页

决定直线的矢量方程中的两个参数S及S0是齐次坐标，标量

λ

构成的

λS及

λS0依然满足直线方程表示是同一条直线。

这种满足正交条件的齐次坐标(S;S0)

表示了直线在空间的位置及方向，(S;S0)称为直线的

Plücker坐标。直线的Plücker坐标第7页/共105页

直线的Plücker坐标(S;S0)中的两个矢量S

和S0

都可以用直角坐标系的三个分量表示，这样Plücker坐标的标量形式即为(L,M,N;P,Q,R)，L、M、N是有向线段S的方向数，P、Q、R是该线段S对原点的线矩在X、Y、Z三轴的分量。

这六个量L、M、N、P、Q、R

之间存在关系式

所以六个分量中只有五个是独立的，在三维空间中就有∞5

条不同方向、位置和长度的有向线段。直线的Plücker坐标第8页/共105页两个矢量S和S0决定了一条直线在空间的方向和位置（对偶矢量）空间的一条直线与一组对偶矢量(S;S0)有着一一对应的关系

为过原点的直线，方向为为一条不过原点平行

X轴的空间直线

且这是一条不过原点，方向为

的直线直线的Plücker坐标第9页/共105页直线的Plücker坐标第10页/共105页直线到原点的距离

若有过原点的矢量P垂直相交于直线(S;S0)，则矢量OP的模|P|是从原点O到直线的距离，由于矢量P的端点在直线上，即有将此等式两边左面叉乘S展开左边矢量的三重叉积，有即第11页/共105页直线到原点的距离解出P这里e是单位矢量，其方向由

决定，这样直线S到原点的距离为因为直线S与线矩相互垂直，上式可写为第12页/共105页直线到原点的距离当S0=0，则，直线到原点的距离为零，即直线过原点，此时直线的Plücker坐标可写为可知：或反之，若S=0，而为有限值，则，此时直线位于距原点无穷远的平面上，写成Plücker坐标为(0

;S0)。此时对于任何选择的原点，无穷远处的一个无穷小的矢量，它对原点的线矩皆为S0。S0与原点位置选择无关，这说明(0

;S0)为自由矢量。第13页/共105页两直线的互矩设空间有相错的两条直线，它们不平行也不相交若它们的公垂线矢量为

，其中为单位矢量，而其系数

是两线间的垂直距离，两线之间的扭向角记为A、B两点是两直线间公垂线的两个垂足

第14页/共105页两直线的互矩直线S2对S1线上垂足A点的线矩

与直线S1的点积，称为直线S2关于S1的矩同样，直线S1对直线S2上垂足B点的线矩与直线S2的点积，称为直线S1关于S2的矩显然此两点积是相等的第15页/共105页两直线的互矩两直线的互矩(mutualmoment)，记以Mm可以看出：两直线的互矩是由两直线Plücker坐标的两个矢量和两线矩交换下标后的点积之和展开此式并考虑到得到互矩的一般表达式为第16页/共105页两直线的互矩当S1和S2都是单位矢量时其中S1与S2间的扭向角

的值是以

为正向，按右手螺旋方向度量互矩Mm还可写为则第17页/共105页两直线的互矩若两直线的S及S0均以标量表示互矩还可以写成代数式互矩的几种表达形式第18页/共105页两直线的互矩互矩只与两直线间的距离及扭向角有关，与原点位置的选择无关，即互距与坐标系的选择无关。如果两直线平行，或者说两直线相交于无穷远处，

则它们的互矩为零。如果两直线相交，其垂直距离

就等于零，它们的互矩也为零所以空间两直线相交于有限远处、无限远处，或说两直线共面，则两直线的互矩为零。由互矩表达式可以看出：第19页/共105页线矢量和螺旋线矢量：如果空间一个单位矢量被约束在一条方向、位置固定的直线上，这个被直线约束的矢量定义为线矢量，简称线矢，也记以

(S;S0)。在前面建立的空间直线矢量方程的基础上，进一步引申在表示线矢量的对偶矢量(S;S0)中

S是单位矢量，而

S0一般不是单位矢量这个线矢量在空间的位置和方向，可由矢量

S和其上一点矢径

r来决定。这里矢径

r反映在“线矩”S0中，即

，显然

S与

S0为正交，第20页/共105页线矢量和螺旋线矢量在几何上反映了一直线在空间的方向和位置。矢量

S表示直线的方向，它与原点的位置无关；而线矩S0则与原点的位置有关。若原点的位置改变，由B点移至A点，而矢量

S对点

A之线矩SA则转变为第21页/共105页线矢量和螺旋螺旋：原部矢量和对偶部矢量点积不为零的对偶矢量

在数学上定义为螺旋，（也称旋量）。记为

$当对偶矢量(S;S0)中的两个矢量不满足矢量的正交条件，则可以得到更一般的情况在表示螺旋的对偶矢量(S;S0)中

S是单位矢量，而

S0一般不是单位矢量这样，线矢量就可看成是螺旋的特殊情况，当组成螺旋的两对偶矢量的点积为零时，螺旋退化为线矢量。为了能够清楚地区分线矢量和螺旋，将

的螺旋的对偶部矢量以

S0

标记，以表示与线矢量的区别第22页/共105页线矢量和螺旋在螺旋的两矢量中，S与原点的选择无关，而矢量S0却是与原点的位置有关。当将原点由

B移至

A时，螺旋

变为

，依然满足将上式两边点乘

S，得到虽然

S0与原点位置有关，但

与原点的位置无关，是原点不变量。第23页/共105页线矢量和螺旋螺旋的节距pitch（原点不变量）如果某旋量的原级矢量S为单位矢量，

，这是单位旋量，此时第24页/共105页线矢量和螺旋线矢量在空间对应一条确定的直线；同样，一个旋量，

在空间也对应有一条确定的轴线将S0

分解为垂直和平行于

S的两个分量，hS

和

S0

-hS第25页/共105页线矢量和螺旋其中

S0

–hS是垂直于S的，这是因为因此螺旋的轴线方程即是由此第26页/共105页线矢量和螺旋影响螺旋的四个因素：（1）螺旋轴线的位置（2）螺旋的节距（3）螺旋的方向（4）螺旋的大小如果是单位螺旋，则只包含前三个因素螺旋可以写为第27页/共105页线矢量和螺旋对于螺旋，当节距h变化时螺旋线矢量偶量零螺旋若h=0，螺旋变为

若h=∞，第28页/共105页线矢量和螺旋例：

表示什么样的螺旋？螺旋大小螺旋方向螺旋节距螺旋轴线表示节距为

a，轴线过原点的螺旋第29页/共105页线矢量和螺旋例：

表示什么样的螺旋？螺旋大小螺旋方向螺旋节距螺旋轴线表示节距为1，轴线过原点的单位螺旋第30页/共105页线矢量和螺旋例：

表示什么样的螺旋？螺旋大小螺旋方向螺旋节距螺旋轴线这也是一个轴线过原点沿方向

节距为1的单位螺旋第31页/共105页线矢量和螺旋例：

表示什么样的螺旋？螺旋大小螺旋方向螺旋节距螺旋轴线表示节距为1/2，不过原点的非单位螺旋第32页/共105页螺旋的代数运算螺旋可以用一对对偶矢量来表示其中

被称为对偶标识符，且有

螺旋的对偶矢量表示第33页/共105页螺旋的代数运算两个螺旋的原部和对偶部分别求和，称为两螺旋的代数和。两个节距为非零有限值的螺旋之和一般仍然是节距为非零有限值的螺旋，但也可能出现节距为零的线矢量。不共面的两线矢之和一般为节距不为零的螺旋，螺旋的代数和第34页/共105页螺旋的代数运算若两线矢共面，且两原部之和非零时，其和依然为线矢量。对于线矢量(S1;S01)和(S2;S02)，由于原部和对偶部矢量满足正交性，有又已知两直线共面，则其互矩为零则两线矢之和满足证明：证毕第35页/共105页螺旋的代数运算对于共面的两线矢量，和线矢过两线矢的交点由于共面两线矢的和仍为线矢量，其矢量方程为若以

r1表示两线矢交点的矢径。

r1应分别在两线矢上，即同时满足两线矢方程将两式相加有证明：此式表明两线矢的交点

满足和线矢作用线方程，所以和线矢过两线矢的交点。证毕第36页/共105页螺旋的代数运算

两螺旋的原部矢量与对偶矢量下标交换后做点积之和称为两螺旋的互易积互易积是螺旋理论中最有意义的一种运算。若$1及$2

是两线矢量，则可以看出，两线矢的互易积就是两直线的互矩。两线矢共面的充要条件就是其互易积为零螺旋的互易积第37页/共105页螺旋的代数运算两个螺旋，它们的互易积与原点的选择无关这两个新的螺旋的互易积为当原点从点O移动到点A，这两个螺旋变成证明：证毕第38页/共105页刚体的瞬时螺旋运动在三维空间里刚体最一般的运动形式为螺旋运动，即同时存在刚体绕轴的转动与沿同轴方向的移动。刚体的纯转动和纯移动都只是螺旋运动的特殊情况。第39页/共105页刚体的瞬时螺旋运动若刚体2相对刚体1做绕

S轴的瞬时转动，转动角速度为

刚体的瞬时转动但转动轴线的空间位置还并不明确。所以应采用角速度线矢量来表示物体的转动运动，即角速度的大小与一个表示旋转轴作用线的单位线矢之积其中ω

为标量，S为单位矢量。其中S0为S对原点的线矩，与S正交。第40页/共105页刚体的瞬时螺旋运动转动轴线方程可写为可以看出，转动线矢量的第二项是刚体上与原点O重合的点的速度，也即是做旋转运动的物体上产生的原点重合点的切向速度角速度线矢的第二项可以展开为第41页/共105页刚体的瞬时螺旋运动构成刚体的转动线矢的对偶矢量是包括角速度矢量

ω和刚体上与坐标原点重合点的线速度矢量v0当坐标系原点与转轴重合时，，转动线矢变为刚体的瞬时转动运动的Plücker坐标为

第42页/共105页刚体的瞬时螺旋运动若刚体2相对刚体1做移动运动，速度v沿单位矢量S方向，速度矢量可以表示为刚体的瞬时移动此单位矢量S通常是选在移动副导路的中心方向。当S平行移动后，不会改变刚体的运动状态，因此这样的移动速度矢量是自由矢量。第43页/共105页刚体的瞬时螺旋运动刚体的瞬时移动也可以看作是绕一个无穷远处的轴线的瞬时转动由于无穷远处的轴线与S正交，且位于无穷远处，则此轴线的Plücker坐标为(0;S)，绕此轴的瞬时转动，就可以表示为v(0;S)或(0;v)第44页/共105页刚体的瞬时螺旋运动若刚体2相对刚体1既有相对转动又有相对移动刚体通过回转副1绕轴S1

旋转刚体同时又通过移动副2沿S2做相对移动刚体的瞬时转动和瞬时移动的合成刚体的绝对瞬时运动应是此两个运动的合成，按螺旋代数和计算第45页/共105页刚体的瞬时螺旋运动其中下角标i表示合成的绝对瞬时运动，其原部及对偶部分别是可以看出与一般不满足正交的条件，为一般螺旋运动第46页/共105页刚体的瞬时螺旋运动则合成运动的节距为可以看出若转动和移动的夹角，则合运动螺旋的节距为零，说明合成后依然是一个纯转动，但转动的轴线发生偏移，偏移量大小与v2大小有关。合成运动的轴线为，

将前面得到的、hi

代入可得第47页/共105页刚体的瞬时螺旋运动此时合成运动可表示为如下两项右侧第一项：是绕轴线

Si的纯转动括号中的对偶矢量部分只表示原点重合点的切向速度分量则合成运动的轴线方程为右侧第二项

：是纯移动分量，移动速度大小为

而移动速度的方向也是沿

Si

方向第48页/共105页刚体的瞬时螺旋运动总之，刚体最一般的运动形式为螺旋运动，表示螺旋运动的物理量是运动螺旋（twist），记为螺旋的节矩还可表示为螺旋轴线为这样合成运动的对偶矢量部分仍表示物体上原点重合点的速度

（转动切向速度+沿螺旋轴移动速度）第49页/共105页刚体的瞬时螺旋运动对偶部矢量表示刚体上原点重合点的线速度矢量，既包含由转动产生的线速度也包含沿轴线的线速度，假设沿轴线移动速度为vi，是与绕轴线的转动无关的量。由于存在关系式，可知，即运动螺旋的节距还等于与螺旋轴线共线的速度vi除以角速度ωi当ωi为零时，，运动螺旋变为可见纯移动也可看作节距无穷大的螺旋运动第50页/共105页刚体的瞬时螺旋运动例：已知一刚体的角速度矢为

ω

，其上一点的线速度矢为

vP，两者方向不同。试求螺旋运动的节距及轴线。与

ω共轴的线速度分量为则螺旋轴线为将线速度为vP的点选做坐标原点，则vP即是物体上原点重合点的线速度，则螺旋节距为由于第51页/共105页力螺旋与表示刚体瞬时运动相似，刚体上的作用力也可以用螺旋来表示。刚体上的作用力此力对坐标原点之矩C0可表示为，标量

f与单矢量

S的线矩S0

之积，如刚体上有一作用力f，它可写为标量

f与单位矢量S之积第52页/共105页力螺旋C0是力

f

对原点之矩，即此时表示此力的

Plücker坐标为当力f过原点时，力对原点之矩为零，或所以作用在刚体上的力如以单位线矢量表示第53页/共105页力螺旋在刚体上作用两个大小相等方向相反的平行力f1、f2

刚体上的作用力偶自由矢量的齐次坐标为(0;S)，因此力偶可表示为显然此力偶矢量

C是沿力偶平面的法线方向。力偶是自由矢量，它在刚体内自由地平行移动而不会改变它对刚体作用的效果。第54页/共105页力螺旋这样力偶旋量

C$也可以认为是一个作用在刚体上的

“无限远处的”“无限小的力”引起对原点的矩，该力的作用线与力矩的方向

S正交。此无限远处的力所在轴线的

Plücker坐标为(0;S)所以由这个力产生的力偶旋量可表示为第55页/共105页力螺旋一般情况下作用于一个刚体上的空间力系都可以简化为一个力

和一个力偶刚体上的作用力和作用力偶的合成此力线矢及力偶螺旋又可按旋量代数和结合为一个和旋量这里S1及S2都是单位矢量。此力和力偶可能有不同的方向式中

Si为单位矢量，第56页/共105页力螺旋根据螺旋代数和的规则，合成力的原部和对偶部分别为可以看出与一般不满足正交的条件，则为一个力螺旋第57页/共105页力螺旋力螺旋的节距hi

为可以看出若力和力偶的夹角，则合力螺旋的节距为零，说明合成后依然是一个作用力，但力的作用线发生偏移，偏移量大小与C2大小有关。合力螺旋的轴线为，将前面得到的、

hi

代入可得第58页/共105页力螺旋此时合力螺旋可表示为如下两项右侧第一项：是一个纯作用力，沿轴线

S1方向

，表示

对原点之矩。合成后作用力的作用轴线为右侧第二项

：是纯力偶，力偶大小为

而力偶的作用方向也是沿

S1

方向第59页/共105页力螺旋刚体上作用的空间任意力系，最后可以合成为一个有确定位置的力螺旋（wrench），即一个力线矢

和与其共线的力偶矢

之和力螺旋的节矩还可表示为螺旋轴线为力螺旋的对偶矢量部分表示或者说是整个力系对原点之矩（线矢力产生的矩+沿线矢力方向力偶矩）第60页/共105页力螺旋假设力螺旋的对偶部矢量中沿线矢力轴线方向的力偶分量为Ci，这是线矢力大小fi无关的量。由于存在关系式，可知，即力螺旋的节距还等于与螺旋轴线共线的力偶Ci除以力的大小fi当fi为零时，，力螺旋变为可见纯力偶也可看作节距无穷大的力螺旋第61页/共105页运动螺旋和力螺旋的对比比较运动学中的运动螺旋及静力学中的力螺旋，看到两者都可以用一个数量与一个单位旋量的乘积表示，有相似的数学关系。运动螺旋和力螺旋的节矩都是原点不变量，都是沿螺旋方向的两个量之比。运动螺旋的节矩力螺旋的节矩第62页/共105页运动螺旋和力螺旋的对比

节距运动学静力学螺旋运动螺旋

力螺旋

线矢量角速度线矢

力线矢自由矢量移动速度

力偶矢

运动学及静力学中的物理量对比第63页/共105页螺旋系及其相关性螺旋系（screwsystem）的概念可以从运动学引出螺旋系因此，决定刚体运动的所有螺旋所组成的集合就是螺旋系。对于一个开链机构，或开链机器人，末端刚体的运动可以表示为诸构件运动的叠加；当每个运动表示为螺旋时，末端的运动就是诸螺旋的线性组合。适合线性组合规则的诸螺旋构成一个螺旋系。第64页/共105页螺旋系及其相关性线性无关的螺旋最多只有六个。按螺旋的数目螺旋系可分为：仅含一个螺旋的单螺旋系，含两个线性无关螺旋的双螺旋系，也称螺旋2系或2系螺旋；含3个线性无关螺旋的3系螺旋，以及4系螺旋，5系螺旋和6系螺旋等等在这些螺旋系中螺旋2系及螺旋3系是最重要又是最基本的，研究的也比较充分第65页/共105页螺旋系及其相关性例：一个串联机械臂的螺旋系

当所有运动副都表示为螺旋时，按理论力学，其末端件的运动是所有连接构件运动的叠加，在这里也就是所有螺旋的线性组合，这些螺旋就构成一个典型的螺旋系。

由于每个运动副有一个相对转动角速度

ωi，运动可以用一个螺旋$i

表示，那么这个运动副的相对运动就可以表示为

ωi$i。第66页/共105页螺旋系及其相关性例：一个串联机械臂的螺旋系末端件的瞬时运动可以由下面的螺旋方程求得这里的

n个螺旋，$1,$2,…,$n，就构成了一个螺旋系。当

n≤6时，它们线性无关，构成一个n系螺旋。其中第67页/共105页螺旋系及其相关性对于

n个螺旋

，

，

若可以找到一组不全为零的实数

ωi，使得和螺旋为零，

，则这

n个螺旋为线性相关螺旋的相关性按螺旋的加法规则，则这些螺旋的原部和对偶部的和分别为零，即第68页/共105页螺旋系及其相关性螺旋系的线性相关可以由用Plücker坐标所表示的螺旋矩阵的秩来判断。如前所述螺旋的Plücker坐标可以表示为这样的6个元素（lmn;pqr）。n个螺旋系的相关性，就可以由螺旋系的Plücker坐标表示的矩阵的秩来判断螺旋的Plücker坐标有6个分量，显然三维空间中线性无关的螺旋的数目最多6个。第69页/共105页螺旋系及其相关性螺旋的相关性与坐标系的选择无关设有n个螺旋，其原部和对偶部对于坐标系O表示为已知这n个螺旋是线性相关的，按螺旋线性相关的定义，必可找到一组不全为零的数

ωi

，使得和螺旋为零当坐标系由O点移至A点后，各螺旋相应地表示为证明：第70页/共105页螺旋系及其相关性螺旋的相关性与坐标系的选择无关按螺旋做和原理和螺旋为证明（续）：和螺旋原部及对偶部三项均为零，所以仍保持有证毕第71页/共105页螺旋系及其相关性将空间直线的相关性按其表达螺旋的秩来分类Grassmann线几何原理（线矢量的相关性）线簇秩为1时，在3维空间仅有一条直线。线簇秩为2时，有两种情况：(a)空间相错的两条直线(b)平面汇交的线束第72页/共105页螺旋系及其相关性线簇秩为3时，常见有四种情况。(a)空间不平行不相交的三条直线（单叶双曲面）(b)汇交点在两个平面的交线上的两个平面线束(c)空间共点线束(d)共面线束第73页/共105页螺旋系及其相关性线簇秩为4时，也称为线汇，常见有四种情况。(4a)四条相互在空间不平行不相交的直线(4b)能同时与另两条直线相交的若干条直线(4c)有1条公共交线的3个平面线束(4d)包括共点及共面的直线簇，而且汇交点在其平面上第74页/共105页螺旋系及其相关性线簇秩为5时，也称为线性丛，常见有两种情况。(5a)一般线性丛，线性无关的空间五条不相交的直线(5b)特殊线性丛，所有直线能与一条直线相交（因为选该公共交线为Z轴时，所有直线对Z轴的线矩为零）第75页/共105页螺旋系及其相关性偶量的相关性偶量的情况比较简单，由于偶量为自由矢量，方向相同的偶量都是线性相关的，因此只有如下三种情况：(a)相同方向的偶量只有一个是独立的(b)平面中存在两个独立的偶量(c)三维空间中存在三个独立的偶量第76页/共105页螺旋系及其相关性线矢量和偶量的混合螺旋系两平行线矢和一法向偶量

如果某物体承受了3个螺旋，$1，$2和$3

。前2个是节距为零的线矢量，第3个是节距为无穷大的偶量，而且后者与前2个螺旋轴线组成的平面相垂直可以看出：线性无关的只有两个第77页/共105页螺旋系及其相关性线矢量和偶量的混合螺旋系共面三线矢和一法向偶量

如果空间有四个螺旋，$1，$2，$3和$4

。前3个是节距为零的线矢量且它们共面，第4个是节距为无穷大的偶量，而且与前3个螺旋轴线所在的平面相垂直可以看出：线性无关的只有三个第78页/共105页螺旋系及其相关性线矢量和偶量的混合螺旋系空间平行三线矢及一个相垂直的偶量

这四个螺旋，$1，$2，$3和$4

中，前3个是节距为零且相互平行的线矢量，它们分布在空间不同的平行平面上，第

4个是节距为无穷大的偶量，而且后者与前3个螺旋轴线相垂直。可以看出：线性无关的只有三个第79页/共105页螺旋系及其相关性序号几何特点图示线矢偶量1共轴112平面平行213平面汇交224空间平行315共面326空间共点33第80页/共105页螺旋系及其相关性序号几何特点图示线矢偶量7单页双曲面上不相交的直线3-8（a）有公共交线，且交角为一定；（b）有一条公共交线；（c）有两条公共交线；（d）有三条公共交线；4543----9平行平面，且无公垂线5-10三维空间任意情况63第81页/共105页螺旋系及其相关性序号几何特点图示线矢偶量11两平行线矢和一法向偶量212平面3线矢和一法向偶量313空间平行3线矢及一个相垂直的偶量3第82页/共105页螺旋的相逆性反螺旋刚体被一个螺旋副约束，只允许沿着螺旋

作螺旋运动，其运动螺旋为

有一力螺旋

沿着单位螺旋

作用于物体。在运动副所允许的位移上，此力螺旋对物体所做的瞬时功率应等于力

f2

和力矩

C2

引起的瞬时功率之和第83页/共105页螺旋的相逆性瞬时功率为展开并整理进一步化简第84页/共105页螺旋的相逆性另外，此运动螺旋与力螺旋的互易积可表示为展开并整理进一步化简第85页/共105页螺旋的相逆性通过对比前两页结果，可以得到一个重要结论：

表示力螺旋和运动螺旋的互易积正是该两螺旋产生的瞬时功率如果所研究的两螺旋

互易积为零这表示力螺旋对作螺旋运动物体的瞬时功率为零这里称这个与螺旋1构成互易积为零的螺旋2为螺旋1的反螺旋第86页/共105页螺旋的相逆性当两个螺旋的互易积为零时：（1）若一个螺旋表示了机械系统的约束反力，另一个则是为机械系统所允许的运动；（2）反之，若一个螺旋表示了物体的运动，另一个则是机械系统所产生的约束。当两个螺旋的互易积不为零时：（1）若物体发生了运动，则这个做功的力就是物体的驱动力；（2）若该力螺旋表示机械系统的约束反力，则满足互易积不为零的运动螺旋就是被系统约束的运动。第87页/共105页螺旋的相逆性两螺旋互易积为零的解析式还可以写为可知：螺旋的相逆性只与两个螺旋的参数有关，而与坐标系的选择无关。由于第88页/共105页螺旋的相逆性线矢量和偶量的相逆性概括如下：（1）两线矢量相逆的充要条件是他们共面，不共面的两线矢量必不相逆；（2）两个偶量必相逆；（3）线矢量与偶量仅当垂直才相逆，不垂直不相逆；（4）线矢量和偶量皆自逆；第89页/共105页螺旋的相逆性两个线矢量两线矢量相逆的充要条件是他们共面（相交或平行）可知根据前面的互易积公式，有第90页/共105页螺旋的相逆性两个偶量可知，此式恒等于零两个偶量必相逆。根据前面的互易积公式，有第91页/共105页螺旋的相逆性一个线矢量和一个偶量根据互易积公式，有线矢与偶量仅当垂直才相逆可知互逆的条件为第92页/共105页螺旋的相逆性由于满足线矢量和偶量皆自逆一个线矢量和一个偶量第93页/共105页螺旋的相逆性一般螺旋的相逆性概括如下：（1）任何垂直相交的两旋量必相逆，与节距大小无关；（2）共面时节距大小相等而符号相反的两旋量才相逆；（3）同轴时节距大小相等而符号相反的两旋量也相逆；（4）当给出节距为h1的旋量，在与其相错的空间另一条确定的直线上，存在唯一的节距为h2的反螺旋；第94页/共105页螺旋的相逆性例：有一单位螺旋，有一直线求过

$2与$1相逆的反螺旋$r?由于$r经过$2，则直线$2为$r的轴线，有式中只有h2是未知的，且可以根据下式进行求解螺旋相逆性条件（4）