《利用导数解决实际问题》教学设计

高中数学精选资源3/3《利用导数解决实际问题》教学设计教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图问题探究情境与问题如图所示,海中有一座油井,其离岸的距离,岸是笔直的,岸上有一座炼油厂,且.现要用输油管将油井与炼油厂连接起来,且输油管既可以铺设在水下,也可以铺设在陆地上,还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元,陆地的铺设成本为每千米30万元.那么,铺设输油管的最少花费是多少?尝试与发现分别计算下列两种铺法的铺设成本,然后尝试给出最优的铺设方案.（1）先沿铺设再沿铺设;（2）直接沿着线段铺设.答案如果先沿铺设,再沿铺设,则成本为(万元).又因为,，所以直接沿线段铺设,成本为(万元).如上图所示,在岸上取一点,设其离的距离为,则.设先沿铺设再沿铺设输油管时成本为万元,则.因此,当时,.令,可解得.可知在上递减,在上递增.从而在时取得最小值,而且最小值为50.从而可知最少花费是96万元.学生先自主思考，然后分组讨论.让学生计算两种方案所需的费用，进步总结解决最优化问题的方法和途径.培养学生审题的能力及建立函数模型的能力.概念形成解决最优化问题的基本思路：解决最优化问题的一般步骤：（1）审题：阅读理解题目中文字表达的含义，分清条件和结论，找出问题的主要关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；（4）作答：对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，确定其答案注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键.教师讲解解决最优化问题的基本思路和解题的一般步骤.通过师生互动，培养学生数学抽象的核心素养.同时让学生体会从特殊到一般的数学思想.应用举例例1如图,某海岛码头离岸边最近点的距离是,岸边的医药公司与点的距离为,现有一批药品要尽快送达海岛码头.已知与之间有一条公路,现要用海陆联运的方式运送这批药品,若汽车的时速为,快艇时速为.试在岸边选一点,先将药品用汽车从送到,再用快艇从运到海岛码头,则点选在何处可使运输时间最短?解设点与点的距离为,运输时间为,则.因为，令,可解得.因此可知在上递知,在上递增,从而在时取得最小值.这就是说,点选在离点为时可使运输时间最短.练习:位于两点处的甲、乙两村合用一个变压器,如图所示,若两村用同型号线架设输电线路,问变压器设在输电干线何处时,所需电线总长最短?解设,则.则所需电线总长,从而.令,即,解得或(舍去).因为在上使的点只有,所以根据实际意义,知就是我们所求的最小值点.即变压器设在之间离点的距离为处时,所输电线总长最短.例2如图所示,现有一块边长为的正方形铁板,如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形,然后做成一个长方体形的无盖容器,则容器的容积匙截下的小正方形边长的函数.（1）写的函数的解析数;（2）为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？解（1）根据题意可知,容器底面的边㐷为,高为,于是,又因为㭚然的长度必须小于原有正方形边长的一半,因此,所以.（2）由题意有.令,可解得.因此可知在上递增,在上递减.故在时取得极大值，而且在此时取得㖩大值.即截去的正方形边长为时,容器的容积最大.练习：如下图所示,用铁丝弯成一个上面是半圆、下面是矩形的图形,其面积为100,为使所用材料最省,半圆的直长应为多少?解设半圆的半径为,铁丝化为,则矩形的一边长为,设与其相邻的另一边长为,则,所以,所以,所以.令,得,所以,解得(负值舍去),故半圆的直径为时用料最省.例3已知某型号手机总成本元是月产量万件的函数,且.将看成能取区间内的每一个值,求月产量为多少时,才能使每件产品的平均成本最低?最低平均成本为多少?解记平均成本为元,则.因为时,有,令,可解得.因此可知在上递减,在上递增,从而在时取得极小值,而且在此时取得最小值.即当月产量为10万件时,每件产品的平均成本最低,最低为400元.练习:甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本(元)关于速度(千米/时)的函数关系是.（1）求全程运输成本(元)关于速度的函数关系式;（2）为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.解.（2）由(1)可得,令,则(舍去)或.当时,;当时,,所以千米/时时,全程运输成本取得极小值,而且在此时取得最小值，且（元）.教师操作课件，引导学生自己解决问题，让学生板演.学生自学例1，教师引导归纳.学生分组练习交流讨论，教师巡视，收集信息及时评价.学生自己寻找几何体与几何体的展开图中对应量的关系，然后表示出体积公式，教师指出学生易忽视的自变量应满足的条件.学生分组练习交流讨论，教师巡视，收集信息及时评价.让学生根据生活经验说出平均成本的表示方法，列出函数解析式.教师问：求函数的最值除了导数法还有哪些方法？生：基本不等式法、配方法、换元法、数形结合等.师：本例中构建的函数还适合用哪种方法求最值？生：基本不等式法.学生分组练习交流讨论，教师巡视，收集信息及时评价.此练习完成后教师出示教材第100页例3，让学生自主练习.学生完成后，集体核对答案.通过运输时间最短问题，让学生经历解决实际问题的一般步骤.借助于学生熟知的立体几何的体积问题，培养学生的数学建模能力.以生活中的经济成本为背景，提升学生将问题情境翻译为数学符号语言的意识.课堂小结本节课的重点内容：解决最优化问题的一般步骤.学生归纳小结，教师补充完善.引导学生构建知识框架，从整体上把握本节内容.布置作业教材第102页习题6-3A第1，2，5题.学生独立完成，教师批阅.通过练习巩固本节重点知识.板书设计6.3利用导数解决实际问题1.解决最优化问题的一般步骤：（1）审题：阅读理解题目中文字表达的含义，分清条件和结论，找出问题的主要关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；（4）作答：对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，确定其答案注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键2.应用举例例1例2例33.小结解决最