2023-2024学年北京十三中高三（上）期中数学试题和答案

高中PAGE1试题2023北京十三中高三（上）期中数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第3页至第6页，答题纸第1页至第3页．共150分，考试时间120分钟．请在答题纸上侧密封线内书写班级、姓名、准考证号．考试束后，将本试卷的答题纸交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数是纯虚数，则在复平面中，复数的共轭复数对应的点坐标是（）A. B. C. D.3.已知向量满足，且，则（）A. B.3 C. D.14.已知函数，则（）A.是奇函数，且在上是减函数 B.是奇函数，且在上是增函数C.是偶函数，且在上是减函数 D.是偶函数，且在上是增函数5.已知的展开式中，的系数为80，则（）A. B. C. D.26.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.7.如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则的值不可能是（）A. B. C. D.8.已知均为第一象限的角，那么是的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”．图1是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑（wŭ）殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面题矩形，，四边形是两个全等的等腰梯形，是两个全等的等腰三角形．若，则该几何体的体积为（）（图1）（图2）A.90 B. C. D.13510.已知等差数列的公差为；集合，若，则（）A. B.0 C. D.1第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.直线的倾斜角的大小为_______．12.在数列中，，则______；的前项和______．13.近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失．在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度（单位：米）是影响疏散的重要因素．在特定条件下，疏散的影响程度与能见度满足函数关系：（是常数）如图记录了两次实验的数据，则根据上述函数模型和所得实验数据可得______．（参考数据：）14.在平面直角坐标系中，若，则满足的一个的值可以是______．15.科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”．例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同的反相位声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线，且经过点．下述四个结论：①函数是奇函数；②函数在区间上单调递减；③存在正整数，使得；④对于任意实数，存在常数使得．其中所有正确结论的编号是______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．16.如图，在四棱锥中，平面，，点为的中点．（1）证明平面；（2）求二面角的余弦值．17.已知函数，．在下列关于函数与图像的三个条件中选择一个作为已知，使函数唯一确定，并求解下列问题．（1）求函数的解析式；（2）若对于，存在唯一的，使得，求的取值范围．条件①：两函数图像在内有且仅有两个交点；条件②：两函数图像的相邻两交点的水平距离为；条件③：两函数图像最高点间的最小水平距离为．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．18.某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：（1）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；（3）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（结论不要求证明）19.已知椭圆过点，且离心率为．(I)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的零点个数；（3）若对于任意，恒成立，求的取值范围．21.已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）.（1）若，求及；（2）若，求证：互不相同；（3）已知，若对任意的正整数都有或，求的值.

参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1.【答案】C【分析】根据题意先解出集合，再由集合的交集运算求解即可.【详解】依题意，则.故选：C.2.【答案】A【分析】利用复数除法计算出，从而得到，求出答案.【详解】，则，解得，则，故共轭复数对应的坐标为.故选：A3.【答案】B【分析】根据数量积的运算律以及坐标运算求解.【详解】因为，解得.故选：B.4.【答案】D【分析】首先判断函数的奇偶性，再结合对数函数的性质说明函数在上的单调性，即可判断.【详解】函数定义域为，且，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，当时，因为与在上单调递增，所以在上单调递增.故选：D5.【答案】B【分析】利用二项展开式的通项，由指定项的系数，求的值.【详解】展开式的通项为，当，有，则展开式中的系数为，所以，解得.故选：B6.【答案】A【分析】由垂径定理得到不等式，求出圆心到直线的距离的范围，从而求出的取值范围【详解】的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，由垂径定理得，因为，所以，解得，即，解得，故的取值范围是.故选：A7.【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出范围，进而求出的范围.【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如图：设棱长为1，则，设，所以，，，所以.下证：，即证，因为所以，要证，即证平方化简得，即证，令,，则在上单调递增，故,所以得证.对比各选项，C项不可能.故选：C8.【答案】D【详解】均为第一象限的角，满足，但，因此不充分；均为第一象限的角，满足，但，因此不必要；所以选D.9.【答案】B【分析】将该五面体分割为四棱锥和三棱柱，结合棱柱和棱锥的体积公式求其体积．【详解】过点作，，又，，平面，所以平面，过点作，，又，，平面，所以平面，因为底面，平面，平面平面，所以，同理，所以，，，，平面，平面，平面，平面，所以，，因为，与是全等的等腰三角形，由对称性可得，，所以，连接点与的中点，则，所以，又，所以三棱柱的体积为，因为平面，平面，所以，又，，平面，，所以平面，又矩形的面积为，所以四棱锥的体积为，由对称性可得四棱锥的体积为，所以五面体的体积为．故选：B10.【答案】B【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合正弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答即可.【详解】等差数列的公差为，，，最小正周期要使集合只有两个元素,则，即，不妨取，则，，所以.故选:B.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】【分析】由直线一般式转化为斜截式，得到斜率，再由倾斜角和斜率的关系得出结果.【详解】由，得，得直线的斜率为，设其倾斜角为，则，得，故答案为：12.【答案】①.②.【分析】由题意可得数列是公差为的等差数列，由等差数列的性质求出数列的通项公式，即可求出；再由等差数列的前项和公式求出.【详解】由可得：，所以数列是公差为的等差数列，所以，所以，所以，所以的前项和.故答案为：；13.【答案】【分析】代入两点坐标得到和，两方程整理后作比即可求解.【详解】当时，有，即①当时，有，即②①比②得，所以，则.故答案为：14.【答案】（答案不唯一）【分析】由可得，对上式平方相加可得：，即可求出答案.【详解】因为，所以，由可得：，则，对上式平方相加可得：，所以，故，即，所以或，所以或.令，的一个值可为.故答案为：（答案不唯一）15.【答案】①②④【分析】由经过可求出的解析式，利用正弦函数的对称性可判断①；.利用正弦函数的单调性可判断②；求的值，可判断④，利用，分、、三种情况求的化简式可判断③.【详解】因为经过，所以，即，解得，又，所以，则.对于①，，故为奇函数，①正确；对于②，时，，结合正弦函数的图象可知时，单调递减，②正确；对于④，，所以恒为0，故④正确；对于③，当时，，当时，，当时，，故③错误；故答案为：①②④.三、解答题：本大题共6小题，共85分．16.【答案】（1）证明见解析（2）．【分析】（1）由面面平行的判定定理、性质定理证明即可；（2）以两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面和平面法向量，由向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】证明：取的中点为，连接．因为，所以．因为平面，所以，，平面，平面，所以平面，因为点为的中点，所以．平面，平面，所以平面，平面，且，所以平面平面．又因为平面，所以平面．【小问2详解】因为平面平面，所以，又因为为的中点，，所以，所以平面，，所以平面，所以两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系．由题意可知．所以．显然是平面的一个法向量．假设平面的一个法向量为，则，即，令，得，所以．所以，由图可知二面角为钝角，故所求二面角的余弦值为．17.【答案】（1）（2）．【分析】（1）选条件①：函数不确定；选条件②，设两个相邻的交点分别为，且，结合题意可得，即可求出；选条件③：设两函数图像最高点，由题意可得，结合题意可求出；将代入，由二倍角的正弦和余弦公式化简；（2）由题意可得函数图像的对称轴有且仅有一条落在区间上，则，解不等式即可得出答案.【小问1详解】选条件①：由两函数图象在内有且仅有两个交点，无法确定的周期，所以求不出，所以函数不确定．选条件②：（法一）因为，所以，所以，即，假设两个相邻的交点分别为，且．所以由题意可知，故．（法二）因为，所以，所以，即，假设两个相邻的交点分别为，且．所以由题意可知，故．选条件③：由题意可知，两函数图像最高点应该满足如下关系：，所以两函数图像最高点间的距离为又因为两函数图像最高点间的最小距离为，所以．由可知【小问2详解】因为对于，存在唯一的，使得，所以函数图像的对称轴有且仅有一条落在区间上．因为，所以，因为图像的对称轴有且仅有一条落在区间上．所以，即．故的取值范围为．18.【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）3月3日.【分析】（1）根据古典概型求解即可；（2）的可能取值为0,1,2，分别求出每种情况的概率，再写出分布列并求期望即可；（3）根据频率分布直方图算出每个步数区间内的人数，再结合甲乙二人的排名，确定甲乙各自步数的范围，进而确定日期.【小问1详解】设“职工甲和职工乙微信计步数都不低于10000”为事件从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以．【小问2详解】由图可知，7天中乙的步数不低于10000步的天数共4天.的所有可能取值为，，的分布列为012【小问3详解】3月3日由直方图知，微信记步数落在（单位：千步）区间内的人数依次为，.由甲的排名为第68，可知当天甲的微信步数在15000-20000之间，据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000-10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日.所以只有3月3日符合要求．19.【答案】(1)(2)，或【详解】试题分析：（Ⅰ）由椭圆过点，可得，再由离心率为结合，可求得，从而可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，则，，由得，由韦达定理、弦长公式结合，可得，解方程即可求得的值.试题解析：（Ⅰ）由题意得，，所以．因为，所以，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）若四边形是平行四边形，则，且.所以直线的方程为，所以，．设，．由得，由，得．且，．所以.．因为，所以．整理得，解得，或．经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去．所以，或．20.【答案】（1）（2）有且仅有两个零点（3）【分析】（1）把代入得切点坐标，代入得切线斜率，利用导数的几何意义，求曲线在点处的切线方程；（2）利用导数求函数单调性，结合函数极值，求零点个数；（3）由函数的极小值，恒成立，当时，可得恒成立；当时，若，不成立，可得的取值范围．【小问1详解】函数，因为，所以切点为，由，得，即曲线在点处的切线斜率为0，所以曲线在点处的切线方程为．【小问2详解】由（1）可知，因为，所以，令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增；又因为，，所以，由零点存在定理可知