16完全平方公式（分层练习）

第一章整式的乘除1.6完全平方公式精选练习基础篇基础篇一、单选题1．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）已知、不同的两个实数，且满足、，当为整数时，的值为（

）A．或 B．1 C． D．或【答案】C【分析】根据已知条件，得到，然后由为整数，进而得出结论．【详解】∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，解得，∵，∴，∴，∵为整数，∴为平方数，∴，解得，故选：C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形，正确掌握做题的方法是解题的关键．2．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用完全平方公式去括号，再求值即可．【详解】解：故选：C．【点睛】本题考查整式的混合运算，解题关键是掌握完全平方公式．3．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知则的值为（）A． B．3 C．﹣ D．5【答案】C【分析】根据完全平方公式得，代入即可求出答案．【详解】解：将两边平方得：，把代入得：，即，故选：C．【点睛】此题考查了完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式是解题的关键．4．（2021春·山东青岛·七年级华东师范大学青岛实验中学校考期中）若，，在下列判断结果正确是（

）．A． B． C． D．无法判断【答案】C【分析】根据完全平方公式的变形，将b化简，进而与a比较即可求解【详解】解：，，故．故选C．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．5．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】此图形中，一个大正方形的面积小正方形的面积=四个矩形的面积．【详解】解：如图，大正方形的面积，小正方形的面积，四个长方形的面积，则由图形知，大正方形的面积小正方形的面积四个矩形的面积，即．故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．6．（2022秋·全国·八年级期末）图（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．【详解】解：中间部分的四边形是正方形，边长是，则面积是．故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．二、填空题7．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）若，那么的值为________．【答案】4【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】，当，原式，故答案为：4．【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．8．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）计算____________．【答案】【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟记乘法公式是解题关键．9．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）是完全平方式，则____________．【答案】【分析】根据完全平方公式即可得．【详解】解：是完全平方式，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方式，熟记公式是解题关键．10．（2021春·贵州贵阳·八年级贵阳市第十七中学校考期中）如果，那么______．【答案】【分析】把右边的完全平方公式展开，根据多项式相等，比较两边对应项的系数，即可求得m的值．【详解】解：，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式，两个多项式的相等，应用完全平方公式展开是关键．三、解答题11．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算法则展开，再合并同类项即可．（2）根据乘法公式展开，再合并同类项即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．12．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：原式当时，原式．【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．提升篇提升篇一、填空题1．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）已知，，则________，______，__________．【答案】

5

4

17【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则，即可求出和的值，再根据完全平方公式即可求出的值．【详解】解：∵，，∴，，∴，故答案为：5，4，17．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方运算法则，完全平方公式，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；完全平方公式．2．（2022秋·湖北·八年级统考期末）已知：，，则＝_____．【答案】【分析】将代入计算可得．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了代数求值，解题的关键是掌握完全平方公式及其变形．3．（2022秋·广东江门·八年级统考期末）若是完全平方式，则的值为______．【答案】或##或【分析】根据完全平方公式的特点：首平方，尾平方，首尾两数积的两倍在中央求解即可．【详解】解：∵是完全平方式，∴，整理得：或，解得或，故答案为：或．【点睛】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．4．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知，则______．【答案】61【分析】根据可得，，然后将原分式适当变形后整体代入计算即可．【详解】解：∵，∴，，∴，∴．故答案为：61．【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题关键．在本题中还需理解．5．（2022秋·天津和平·八年级天津一中校考期末）（1）已知，，则的值为______．（2）已知，，则的值为______．（3）已知x满足，则的值为______．【答案】

39

5

5【分析】（1）将变形为，再代入已知条件计算即可；（2）将变形为，再代入已知条件，即可求出值，将变形为，代入即可求解．（3）将变形为，则，将看做成一个整体，化简即可求得的值．【详解】解：（1）∵，，∴，故答案为：39；（2）∵∴∵，∴，∴，故答案为：5；（3）∵，∴，，，，，故答案为：5．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握利用完全平方公式变形求代数式值是解题的关键．二、解答题6．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用完全平方差公式变形即可求解；（2）利用完全平方公式变形，将式子用含、的式子表示，再代入求解．【详解】（1）解：（2）解：【点睛】本题考查了完全平方公式及其变形式，根据公式的特征进行变形是求解的关键．7．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）（1）证明：相邻两个奇数的平方的差是8的倍数．（注释：两个奇数的平方的差：两个奇数各自平方，然后相减）（2）证明：任意两个奇数的平方的差是4的倍数．（3）已知，求的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2【分析】（1）表示出相邻两个奇数为：，，列出他们平方的差进行计算即可；（2）表示相互两个奇数为：，，列出他们平方的差进行计算即可；（3）将，转化为底数为3的形式，再利用幂的乘方和同底数幂的乘方运算即可．【详解】（1）证明：相邻两个奇数的平方的差是8的倍数．（注释：两个奇数的平方的差：两个奇数各自平方，然后相减）设：这两个奇数为：，（注：设为2n1，2n+1也可以）则：是8的倍数，∴相邻两个奇数的平方的差是8的倍数．（2）证明：任意两个奇数的平方的差是4的倍数．设：这两个奇数为：，则：是4的倍数，∴任意两个奇数的平方的差是4的倍数．（3）已知，求的值．．【点睛】本题考查完全平方公式的运算及同底数幂的乘法和幂的乘方的运算，熟练运用公式及法则是解决问题的关键．8．（2022秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块完全一样的小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的正方形的边长是______；(2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，并写出三个代数式，，之间的等量关系；(3)根据（2）中的等量关系，解决问题：若，，求的值；(4)根据（2）中的等量关系，直接写出和之间的关系；若，分别求出和的值．【答案】(1)(2)方法一：，方法二：，或(3)(4)的值为4，的值为12【分析】（1）图2中，大正方形的边长为：，横着看，是由两个b和阴影正方形的边长构成，相减便得阴影正方形边长；（2）方法一：图1中已求出阴影正方形的边长，边长乘边长即为面积；方法二：图2长方形面积减图2非阴影部分面积，即为阴影部分面积；（3）运用（2）中关系可得，代入求解即可；（4）将m视为a，视为b，按照上述结论即可解决．【详解】（1）解：阴影部