第3章不等式（章末题型归纳总结）

第3章不等式章末题型归纳总结目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题题型一：不等式的性质及应用题型二：利用不等式求值或范围题型三：利用基本不等式求最值题型四：证明不等式题型五：含参数与不含参数一元二次不等式的解法题型六：由一元二次不等式的解确定参数题型七：不等式在实际问题中的应用题型八：恒成立与有解问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题题型一：不等式的性质及应用【典例11】（2024·高一·福建福州·阶段练习）已知，则下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，，故选项A错误；当时，，故选项B错误；，，故选项C正确；当时，，故选项D错误.故选：C.【典例12】（2024·高一·上海·课堂例题）如果，那么下列不等式中成立的是（

）A．； B．； C．； D．.【答案】B【解析】对于A：由得，错误；对于B：由，则有，即，正确；对于C：由得，则根据不等式的性质有，即，由可得，错误；对于D：由得，则，即，错误.故选：B【变式11】（2024·高一·福建泉州·期中）若，且，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对A：当时，由不能推出，所以A错误；对B：当，时，由不能推出，所以B错误；对C：当时，由不能推出，所以C错误；对D：由，又，所以，所以D正确.故选：D【变式12】（2024·高一·全国·单元测试）下列说法错误的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【解析】对于A，因为，且，所以，故A正确；对于B，当时，满足，此时，不满足，故B错误；对于C，因为，所以，又，所以，故C正确；对于D，若，则，故D正确.故选：B.【变式13】（2024·高一·上海杨浦·期中）设为实数，则下列命题为真命题的是（

）.A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【解析】对于A项，显然正确；对于B项，当时，有，故B项错误；对于C项，当时，满足，但此时，故C项错误；对于D项，当时，满足，但此时，故D项错误，故选：A题型二：利用不等式求值或范围【典例21】（2024·高一·山东·专题练习）已知，则下列结论错误的是（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．取值范围为【答案】B【解析】因为，，所以，，，所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误；因为，，所以，，，所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确.故选：B【典例22】（2024·高一·全国·课后作业）已知，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可知，,所以.故选：D.【变式21】（2024·高一·全国·单元测试）已知，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设,即,所以解得,所以因为,所以,所以,即,故选：D.【变式22】（2024·高一·全国·假期作业）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，，又，所以.故选：D.【变式23】（2024·高一·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，所以，解得，即可得，因为，，所以，故选：A．题型三：利用基本不等式求最值【典例31】（2024·高一·广西·开学考试）已知，且，则的最小值是.【答案】9【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9，故答案为：9【典例32】（2024·高一·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为．【答案】【解析】正数，满足，，当且仅当即时取等号．故答案为：．【变式31】（2024·高一·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为.【答案】/【解析】因为，所以，又实数，，所以所以，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：.【变式32】（2024·高一·天津滨海新·阶段练习）已知函数，当时，取得最小值，则；．【答案】21【解析】因为,所以,所以，当且仅当,即x=2时等号成立，所以.故答案为：.【变式33】（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知实数、满足：.(1)求和的最大值；(2)求的最小值和最大值.【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴，当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为，∵，∴，∵，∴，∴，∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为；（2）∵，∴，∵，∴，即，当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为，又，∴，即，当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为.【变式34】（2024·高一·江苏·开学考试）（1）求函数的最大值；（2）求函数的最小值；（3）若，且，求的最小值.【解析】（1）由，得，因此，当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为.（2）由，得，因此，当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9.（3）因为，且，所以，当且仅当，即时取等号，此时，，所以的最小值为.【变式35】（2024·高一·天津滨海新·阶段练习）（1）若，求的最大值；（2）求在时的最小值．（3）已知，且，求的最小值．（4）已知正数满足．求的最大值．【解析】（1），，当且仅当，即x=2时等号成立，的最大值为12.（2）,令,则则可化为,当且仅当,即时等号成立,的最小值为.（3），即，解得或(舍),当且仅当且，即时等号武立，的最小值为6.（4）正数a,b,c满足，,即,,，，当且仅当且,即时等号成立,故的最大值为.【变式36】（2024·高三·全国·专题练习）（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，求函数的最大值；（3）当时，求函数的最小值；（4）当时，求函数的最大值；（5）设，求函数的值域．（6）①当时，求函数的最大值；②求函数的最大值；【解析】（1）因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为.（2）因为，所以，，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以函数的最大值为.（3）因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为.（4），令，则，所以，因为，所以，当且仅当，即，也即时，取得等号，所以，所以函数的最大值为.（5）,因为，所以，所以，当且仅当，即时，取得等号，所以，所以函数的值域为.（6）①令，因为，所以，所以，因为，当且仅当，即，也即时，取得等号，所以，所以函数的最大值为1.②令，则，所以，所以，因为函数在单调递增，所以当时，即时，有最小值为4，所以，所以函数的最大值为.题型四：证明不等式【典例41】已知实数，求证：．【解析】因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以，，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，综上，.【典例42】（2024·高一·上海·单元测试）（1）已知、是任意实数，求证：，并指出等号成立的条件；（2）已知，，求证：．【解析】（1），即，当且仅当时，等号成立．（2）因为（当且仅当时等号成立），从而得到，所以．【变式41】（2024·高一·河南新乡·阶段练习）选用恰当的证明方法，证明下列不等式.(1)已知均为正数，且，求证：；(2)已知，求证：.【解析】（1）证明：因为，所以，又因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以．（2）证明：，因为，所以，所以，所以，即．【变式42】（2024·高一·上海浦东新·期中）若实数、、满足，则称比远离．(1)若比远离，求的取值范围；(2)对任意正数，，证明：；(3)对任意两个不相等的正数，，证明：比远离．【解析】（1）由比远离，则，解得或，所以的取值范围是；（2）由，，则，，，当且仅当时，上述不等式等号成立，所以，当且仅当时等号成立；（3）若证比远离，即证，则，且，所以即证，即证，又，所以，即，即比远离.【变式43】（2024·高一·云南昆明·期中）基本不等式是高中数学的重要内容之一，我们可以应用其解决数学中的最值问题．(1)已知，R，证明；(2)已知，，，R，证明，并指出等号成立的条件；(3)已知，，，，证明：，并指出等号成立的条件.(4)应用（2）（3）两个结论解决以下两个问题：①已知，证明：；②已知，，且，求的最小值.【解析】（1）由可知，，当且仅当时取“”，所以.（2）因为，由（1）可得，当且仅当时取“”，则，所以，当且仅当时取“”.（3）当，，，时，因为，由（1）可得，当且仅当时取“”则，所以，当且仅当时取“”.（4）①由（2）可知，当且仅当时取“”，即，所以②因为，由（3）可得：，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.【变式44】（2024·高一·江西·阶段练习）（1）设，，比较，的大小；（2）若，根据性质“如果，，那么”，证明：.【解析】（1），所以.（2）因为，，所以，所以，即.又因为，所以.题型五：含参数与不含参数一元二次不等式的解法【典例51】（2024·高一·江苏淮安·开学考试）解不等式(1)；(2)(3)；(4)【解析】（1）因为，解得，所以不等式的解集为.（2）因为，解得，所以不等式的解集为.（3）不等式转化为，且，解得，所以不等式的解集为.（4）不等式转化为，解得，所以不等式的解集为.【典例52】（2024·高一·河南驻马店·开学考试）解下列不等式(1)(2)(3)【解析】（1）由可得，所以或，即不等式的解集为.（2）由可得，化简可得，解得或，即不等式的解集为.（3）由，当时，，解得，所以，当时，，解得，所以，当时，，解得，所以.综上，不等式的解集为.【变式51】（2024·高一·河南驻马店·开学考试）已知函数，．(1)解关于的不等式；(2)若方程有两个正实数根，，求的最小值．【解析】（1）不等式即为，∴，方程的两根分别为2和，当时，解不等式可得，当时，不等式无解，当时，解不等式可得，综上可知：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．（2）方程有两个正实数根，，即方程有两个正实数根，，则，解得，由韦达定理得，，，故，当时，，达到最小值，故的最小值为．【变式52】（2024·高一·北京石景山·期中）求下列关于x的不等式的解集：(1)；(2)【解析】（1）由不等式，可得，解得，即不等式的解集为.（2）由不等式，可得化为，若，不等式可化为，解得，即解集为；若，不等式可化为当时，不等式即为，解得或，即不等式的解集为或；当时，不等式即为，①当时，即时，解得，解集为；②当时，即时，解得，解集为；③当当时，即时，解得，解集为综上，当时，不等式的解集为或；当，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【变式53】（2024·高一·上海·单元测试）解关于的不等式（组）．(1)(2)．【解析】（1）由得，解得，由可得，即，解得或．故不等式组的解集为．（2）当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得或；当时，，不等式化为，解得；当时，不等式化为，此时无实数解；当时，，不等式化为，解得．综上，时，不等式的解集是；时，不等式的解集是或；时，不等式的解集是；时，不等式无实数解；时，不等式的解集是．【变式54】（2024·高一·上海·随堂练习）解关于的不等式．【解析】不等式可化为，即．即.①当，即时，不等式的解集为；②当，即时，不等式的解集为，③当，即时，不等式的解集为．【变式55】（2024·高一·上海·随堂练习）解下列关于的不等式：(1)；(2)．【解析】（1）原不等式等价于，即，．∵，∴原不等式的解集为．（2）∵的两根为，．①当即时，，即；②当即时，，即或；③当即时，，即或．综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．【变式56】（2024·高一·广东深圳·期末）（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围；（2）求关于的不等式的解集.【解析】（1）若对一切x∈R恒成立，当时，则有，满足题意；当时，则有，解得.综上所述，实数的取值范围是；（2）对于不等式，，

当时，即当时，不等式的解集为R；当时，即当或时，方程的根为，此时，不等式的解集为或；综上所述，当时，不等式的解集为R；当或时，不等式的解集为或.题型六：由一元二次不等式的解确定参数【典例61】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知不等式的解集为，则=，=【答案】【解析】依题意，不等式的解集为，所以，解得.故答案为：；【典例62】（2024·高二·陕西宝鸡·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为.【答案】【解析】因为不等式的解集为，所以是的两个根，且a>0，可得，所以，所以得，即，由得，所以,所以或，则不等式的解集为.故答案为：.【变式61】（2024·高二·福建龙岩·阶段练习）若不等式的解集为，则．【答案】5【解析】由题意可知：为方程的两根，则，即，所以.故答案为：5.【变式62】（2024·高一·上海·随堂练习）已知不等式的解集为，则，此时不等式的解集为．【答案】【解析】根据题意可知，的两根分别为和，则，，解得，，所以，而可化为，解得，故答案为：，．【变式63】（2024·高一·安徽安庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为．【答案】【解析】由已知，不等式的解集为，故，且，为方程的两根，所以，解得，故不等式为，即，解得或.故答案为：．【变式64】（2024·高一·江西萍乡·期末）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为．【答案】2+3/【解析】因为区间是关于的一元二次不等式的解集，则a，b是关于的一元二次方程的两个不同的实数根，则有，，，，所以，且a，b是两个不同的正数，则有，当且仅当时即，等号成立，满足，故的最小值是.故答案为：.【变式65】（2024·高一·广东潮州·期中）若关于的不等式的解集为或，则的值为.【答案】【解析】根据题意，方程的两根为和，故可得，解得.故答案为：.题型七：不等式在实际问题中的应用【典例71】（2024·高一·全国·课后作业）经观测，某公路在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系：．在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量y最大？【解析】因为，又，所以，当且仅当，即时等号成立．所以当汽车的平均速度千米/小时时，车流量y最大．【典例72】（2024·高一·上海·随堂练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，假设①甲、乙各加同一种汽油两次；②两人第一次加油的油价均为x，第二次加油的油价均为y且；③乙每次加满油箱加入的油量都为a升．就加油两次来说，甲、乙谁更合算？【解析】两次加油的油价分别是元/升且，甲加两次油的平均单价为元/升,乙每次加油a升，加两次油的平均单价为元/升，即甲的平均单价低，甲更合算．【变式71】（2024·高一·上海·随堂练习）有一批材料，可以建成长为的围墙，如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可以取得最大面积？

【解析】如图，设每个小矩形的长为，宽为，由题可知，所以．当且仅当时，等号成立，所以，.【变式72】（2024·高一·江苏徐州·期中）如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为(1)求关于的函数表达式(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少?【解析】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，所以有，整理得.（2）由（1）知，即，因为，所以由基本不等式可得，令，则，解得（舍去）或.所以，当且仅当，即时等号成立，所以海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为.【变式73】（2024·高一·湖北黄冈·期中）小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片其中的周长为他把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点他在思索一个问题：如果改变AB的长度(周长保持不变)，的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由?【解析】由题意可知，矩形的周长为，设，则设，则，，而为直角三角形，，当且仅当，即时取等，此时，满足，故时，取最大面积【变式74】（2024·高一·广东阳江·阶段练习）辆货车从站匀速驶往相距千米的站，其时速都是千米/时，为安全起见，要求每两辆货车的间隔等于千米（为常数，，货车长度忽略不计）.(1)将第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站所需时间表示成的函数；(2)当取何值时，有最小值.【解析】（1）因为辆货车从站匀速驶往相距千米的站，其时速都是千米/时，且每两辆货车的间隔等于千米，第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站，最后一辆车行驶的总路程为千米，所以，.（2）因为，其中，由基本不等式可得，当且仅当时，即当千米/时，等号成立，所以，当千米/时，取最小值.【变式75】（2024·高一·江苏·期中）某学校准备购买手套和帽子用于奖励在秋季运动会中获奖的运动员，其中手套的单价为元，帽子的单价为元，且.现有两种购买方案.方案一：手套的购买数量为件，帽子的购买数量为个；方案二：手套的购买数量为件，帽子的购买数量为个；(1)采用方案一需花费，采用方案二需花费，试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由；(2)若，，，满足，，求这两种方案花费的差值的最小值.（注：差值）【解析】（1）方案一的总费用为，方案二的总费用为，则，因为，，所以，即，所以采用方案二花费更少.（2）由（1）可知，因为，令，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，令，则，所以，当时,即，等号成立，所以差值的最小值为，当且仅当，，，时，等号成立.故两种方案花费的差值的最小值为54.题型八：恒成立与有解问题【典例81】（2024·高一·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题：(1)解关于的不等式；(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，当时，即时，原不等式可化为，解得，所以原不等式的解集为；当时，即时，原不等式可化为，当时，即时，，因为，所以原不等式的解集为；当时，即时，，因为，所以原不等式的解集为；（2）因为，即，因为恒成立，所以，故，令，因为，所以，所以对于一切恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以，所以，且仅当时取等号，即实数的取值范围为.【典例82】（2024·高一·上海·随堂练习）已知等式恒成立，求常数、的值．【解析】等式恒成立，即，由得：.【变式81】（2024·高一·上海·随堂练习）关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．【解析】设，，则的最大值小于等于0．而，∴对称轴，而当时，；当时，，∴的最大值为，即，故实数的取值范围是．【变式82】（2024·高一·全国·阶段练习）已知，，且.(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的最大值.【解析】（1）由，得，又，，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为8；（2）由恒成立，得恒成立，又，所以，由（1）可知，所以，当且仅当，即，时等号成立，即，故的最大值是4.【变式83】（2024·高一·山东济南·期中）（1）对任意，函数的值恒大于0，求实数的取值范围；（2）不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意，当时，恒成立，则，因为，所以，所以，由单调递减，知当时，，即.（2）因为对于任意的成立，所以对于任意的成立.即恒成立，由二次不等式的性质可得，，所以，解得.故实数入的取值范围为.【变式84】（2024·高一·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若对任意，恒成立，求的取值范围．【解析】由，则，当且仅当时，等号成立，所以，故的取值范围为．【变式85】（2024·高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为或.(1)求，的值；(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.【解析】（1）因为不等式的解集为或，所以1和是方程的两个实数根，且，所以，解得，即，.（2）由（1）知，于是有，故，当且仅当，结合，即时，等号成立，依题意有，即，得，即，所以的取值范围为.【变式86】（2024·高一·河南省直辖县级单位·阶段练习）设函数(1)若不等式的解集为，实数a，b的值；(2)若该函数过点，且对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）由题意不等式的解集为，可知的两根是1，1，所以，解得，.（2）把代入函数得，即，对任意实数x恒成立，化为在R上恒成立，①当时，，则，不合题意；②当时，需满足，解得综上可得，.

模块三：数学思想方法①分类讨论思想【典例91】（2024·江苏南通·高一海门市第一中学校联考期中）关于的不等式任意两个解得差不超过14，则的最大值与最小值的差是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】不等式，时解集为，时解集为，时解集为，由题意可得时，时，解得，则的最大值与最小值的差为4，故选：B.【典例92】（2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可知，可以异号，可以同正，当异号时，必有，故可以推出；当同正时，即，由基本不等式知，则当时，有，解得，故充分性成立；当时，满足，但此时，即“”不能推出“”，故必要性不成立；所以，“”是“”的充分不必要条件.故选：A【变式91】（2024·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）对于任意实数，不等式恒成立，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】分类讨论和两种情况，分别计算结果，并取并集.（1）当，即时，原不等式可化为，显然恒成立．（2）当时，不等式恒成立，利用二次函数性质可知，即，解得．综上可知，故a的取值范围是．故选：A．【变式92】（2024·高一课时练习）若关于的不等式的解中，恰有3个整数，则实数应满足（

）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】由，得由解中恰有3个整数∴当时，，得；当时，，得，综上所述，或故选：D②转化与化归思想【典例101】（2024·浙江·高二校联考开学考试）已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，且，故，当且仅当，即时取得等号