2023年《圆及其方程课时2》教学设计

高中数学精编资源3/3《圆及其方程》教学设计课时2圆的一般方程必备知识学科能力学科素养高考考向圆的方程学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象数学运算【考查内容】1.掌握圆的标准方程和一般方程2.掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判断方法,能利用直线和圆的位置关系解决相关问题【考查题型】填空题,选择题,解答题直线与圆的位置关系数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模圆与圆的位置关系数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模一、本节内容分析圆是最常见、最简单、最重要的曲线之一,这节教材安排在学习了直线之后,学习三大圆锥曲线之前,旨在熟悉曲线和方程的理论为后续学习作好准备.同时有关圆的问题,特别是直线与圆的位置关系问题,也是解析几何中的基本问题,这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习,使学生确实掌握这单元的知识和方法.在学习中使学生进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力,是进一步学习圆锥曲线的基础,对于后续知识的学习具有相当重要的意义.另外,本部分的学习是通过由特殊到一般逐步展开的,可以进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理地思考及灵活处理问题的能力.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.圆的方程2.直线与圆的位置关系3.圆与圆的位置关系直观想象数学抽象逻辑推理数学运算数学建模核心素养二、学情整体分析圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究,本节之前又学习了建立平面直角坐标系求直线方程的方法,这些都为本节课的学习奠定了必要的基础.高一时,学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解,具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力.通过五种直线方程的学习,对坐标系下建立方程进行了反复训练,这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备.当然,由于学生对坐标法以及圆的标准方程认识还不深刻,在探究知识的形成与方程的运用时可能会遇到一些困难,在教学中一定要关注学生反馈的信息,循序渐进地开展教学.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.圆的标准方程2.圆的一般方程3.直线与圆的位置关系4.圆与圆的位置关系【教学目标设计】1.运用待定系数法求圆的方程.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.3.在探索圆和圆的位置关系的过程中,学会运用数形结合的思想解决问题.【教学策略设计】新课程下的教学,力求知识的形成过程,为克服课堂时间不足,需要学生做好课前预习,在教师的引导下,学生已经具备一定探究与研究问题的能力.所以在设计问题时应考虑周全和灵活性,师生共同探讨,共同研究,让学生积极思考,主动学习.在教学过程中采用讨论法,向学生提供具备启发式和思考性的问题.因此,要求学生在课上讨论,提高学生的探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,力求体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,讨论法,还有__________________________________________【教学重点难点】重点1.能运用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程.2.直线与圆的位置关系的代数判别法和几何判别法3.探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系.难点1.会根据不同的已知条件求圆的标准方程和圆的一般方程2.用待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解.3.用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题4.通过平移实验直观地探究圆和圆的位置关系,发展识图能力和动手操作能力.【教学材料准备】1.常规材料:圆规、多媒体课件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:自初中初步接触圆的概念和研究圆的几何性质以来,上节课我们又在平面直角坐标系中对圆的标准方程进行了定义和学习.师:请大家回忆圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是什么？生:(x−a)2+(y−b)2=r2.师:很好.如果圆的圆心在坐标原点,那么圆的标准方程是什么？生:x2+y2=r2.师:大家对知识点掌握得很好,下面我们看一个练习.【巩固练习】圆的标准方程判断下列方程是否表示圆,如果是,说出圆心和半径.(1)(x−1)2+(y−1)2=4;(2)(x+1)2+(y+2)2=m2;(3)x2+y2−2x−4y−4=0.【设情意巧激趣】以复习回顾的形式提出新问题,引出新课程,指出本节课的主要内容.采用质疑提问、小组讨论的形式,提高了学生学习的兴趣.师:(1)是不是圆？生:是,圆心是(1,1),半径是2.师:(2)是不是圆？生:当m=0时,不是;当m≠0时,是,圆心为(−1,−2),半径为|m|的圆.师:(3)是不是圆呢？这是一个二元二次方程,但很显然不是圆的标准形式,那么我们要判断是不是圆就要看它有没有圆心,有没有半径,能不能化成圆的标准方程的形式？生:通过配方能化成圆的标准方程的形式.师:好,我们配方之后得到(x−1)2+(y−2)2=9,可以看到它所表示的是一个圆心为(1,2),半径为3的圆.师:那么比较两个方程,一个叫做圆的标准方程,另一个就是我们今天要学习的−−−−圆的一般方程.教学精讲探究1圆的一般方程师:在上例中我们也可以看出圆的一般方程和标准方程之间的转化把一般情况下的圆的标准方程展开,看能得到什么样的式子.【教师板书,学生动手实践】生:(x−a)2+(y−b)2=r2,x2+y2−2ax−2by+a2+b2−r2=0,令D=−2a,E=−2b,F=a2+b2−r2,上式就变成x2+y2+Dx+Ey+F=0.师:那能不能说x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的一般方程呢？我们可以从直线方程上寻找启发,我们在讲直线方程的概念时说,直线方程必须满足两个条件:(1)直线上所有的点的坐标都必须满足方程:(2)以方程的所有实数解为坐标的点都必须在直线上.而我们考虑这个二元二次方程是不是圆的方程？注意到上面的圆的方程都可以化成这种二元二次方程的形式,那么这种形式所表示的图形是否一定是圆呢？生:不一定师:为什么？【学生思考讨论】【以学论教】学生动笔、思考,教师引导、启发,让学生学会独立分析问题,解决问题,初步体会数学的魅力.引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆,形成分类讨论、等价转化等数学思想,培养学生思维的多样性、创造性.师:我们可以把它配方,看满足什么条件才能是一个圆,【教师板书,学生动手实践】生:,.师:上式如果表示一个圆,那么,也即D2+E2−4F>0.【概括理解能力】通过对一个方程的讨论,得出圆的一般方程,并指出不是所有的方程都可以表示圆.条件不同,方程表示的图形不同,使得学生的认识不断加深,同时培养概括理解能力.【归纳总结】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的图形当D2+E2−4F>0时,方程表示的是一个圆,圆心为,半径为.当D2+E2−4F=0时,方程只有唯一的解,表示的是一个点.当D2+E2−4F<0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.师:也就是说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0要表示圆,必须带上一个条件,这个条件就是D2+E2−4F>0,这样我们可以得到圆的一般方程.【以学定教】师生共同总结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的图形后,教师提醒表示圆的附带条件,加强学生对该条件的认知.【要点知识】圆的一般方程当D2+E2−4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程.圆心为,半径为.师:观察圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0有何特点？【学生讨论,教师归纳总结】【归纳总结】圆的一般方程的特点1.(1)x2和y2的系数相同,都等于1.(2)没有xy这样的二次项.2.圆的一般方程中有三个特定的系数D,E,F,因此只要求出这三个系数,就能确定圆的一般方程.3.圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则是几何特征明显.【深度学习】归纳知识,有利于学生理清知识脉络.强调概念的本质,让学生理解记忆圆的一般方程的代数特征,深化学生对圆的一般方程的认识.师:圆的一般方程与二元二次方程相比较,圆的一般方程为二元二次方程,而二元二次方程的基本形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.如果一个上述二元二次方程表示的是一个圆,那么它需要满足哪些条件？生:(1)x2,y2前面的系数A=C≠0;(2)不存在xy项,即B=0;(3)D2+E2−4F>0.师:下面看一道例题.【典型例题】圆的一般方程例1判断下列方程是否表示圆,如果是,写出它的圆心坐标与半径;如果不是,说明理由.(1)2x2+y2−7x+5=0;(2)x2−xy+y2+6x+7y=0;(3)2x2+2y2−4x+8y+20=0;(4)x2+y2+4x−6y−12=0;(5)4x2+4y2−8x+4y−15=0;(6)x2+y2−2by−2b2=0.【学生回答问题,教师予以肯定】生:(1)不是,x2,y2前面的系数不相等;(2)不是,含有xy项;(3)不是,D2+E2−4F<0或把方程两边除以2,然后再配方得(x−1)2+(y+2)2=−5;(4)是,把方程整理配方得(x+2)2+(y−3)2=25,所以圆心坐标为(−2,3),半径为5;(5)是,把方程两边除以4,然后再配方得,所以圆心坐标为,半径为;(6)把方程整理配方得x2+(y−b)2=3b2,当b=0时,仅表示点(0,0),不是圆的方程;当b≠0时,表示圆的方程,圆心坐标为(0,b),半径为|b|.【自主学习】通过例1加深理解二元二次方程表示圆的条件,这里让学生通过练习切实分清概念,为今后学习扫清障碍.【分析计算能力】通过学生动手实践,把圆的一般方程转化为标准方程,培养了学生的分析计算能力.探究2求圆的方程的一般步骤师:下面这道题目可以从几何和代数两个角度来求圆心坐标.根据这个例题,我们总结一下应用待定系数法求圆的方程的一般步骤.【典型例题】求圆心和半径例2已知点A(0,5),B(1,−2),C(−3,−4)都在⊙P上,求⊙P的方程,并求其半径长和圆心坐标.【概括理解能力】进一步熟悉圆的一般方程.通过本题的练习,使学生掌握待定系数法求解圆的一般方程的步骤,培养学生概括理解的能力.【学生讨论并作答,教师指导,讲解,板书,公布答案】师:圆的一般方程只需确定三个系数D,E,F,而条件给出了三个坐标,不妨试着先写出圆的一般方程.师解:(方法一)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵A(0,5),B(1,−2),C(−3,−4)都在⊙P上,∴它们的坐标是方程的解,代入方程得到:,即D=6,E=−2,F=−15,∴所求⊙P的方程为x2+y2+6x−2y−15=0,,∴⊙P的半径为5,圆心坐标为(−3,1)【或将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为圆的标准方程:(x+3)2+(y−1)2=25,从而得出⊙P的半径为5,圆心坐标为(−3,1)】师:由于题目还要求出⊙P的半径和圆心坐标,所以可设标准方程,师解:(方法二)设圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2,∵A(0,5),B(1,−2),C(−3,−4)都在⊙P上,∴它们的坐标是方程的解,代入方程得到,即a=−3,b=1,r2=25,∴所求⊙P的方程为(x+3)2+(y−1)2=25,半径为5,圆心坐标为(−3,1).师:本题实际上是求△ABC的外接圆方程,根据垂径定理可知圆心在圆中弦的垂直平分线上,所以利用中点坐标公式分别求出弦AC和BC(或AB)的中点坐标和各自的斜率,然后根据两直线垂直时斜率乘积为−1求出弦AC和BC的垂直平分线的方程,再联立两直线方程求出交点坐标即为圆心P的坐标,从而利用两点间距离公式求出r=|AP|.【以学论教】方法二巩固圆的标准方程,通过对比方法一与方法二,让学生体会圆的一般方程与标准方程在解题中的不同之处,培养学生的运算能力.师解:(方法三)AC的中点坐标为E,直线AC的斜率为.∴直线AC的垂直平分线方程为,即x+3y=0,①同理,BC的中点坐标为D(−1,−3),直线BC的斜率,∴直线BC的垂直平分线方程为y+3=−2(x+1),即2x+y+5=0,②联立①②解得x=−3,y=1.∴圆心P(−3,1),半径r=|AP|==5,∴⊙P的方程为(x+3)2+(y−1)2=25,半径r=5,圆心P坐标为(−3,1).师:下面来总结用待定系数法求圆的方程的一般步骤.【以学论教】方法三从“形”的角度,利用圆的几何性质得圆的标准方程.在具体应用中可根据题目条件的实际情况,在这三种解法中选择适当的,培养学生思维的灵活性.【要点知识】利用待定系数法求圆的方程的一般步骤1.根据条件,选择是标准方程还是一般方程.2.根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组.3.解出a,b,r或D,E,F并将其代入其相关方程.师:有了以上探究方法,那么对于一般的动点轨迹,我们该如何来求呢？【概括理解能力】总结题目方法,提炼出解决一般问题的方法,形成类型题的方法.强调方法的本质,加深学生对方法的理解应用提升概括理解能力.【典型例题】求动点的轨迹方程例3已知,点A在圆上(x+1)2+y2=4运动,点B的坐标是(5,4),求线段AB的中点M的轨迹方程.【教师讲解,学生听课做笔记】师:如图点A在圆上运动,点A运动引起点M运动,而点A的坐标满足圆的方程(x+1)2+y2=4,根据条件“点M是线段AB的中点”建立点M与点A的关系,就可以找到点M的坐标满足的条件,也就得到了M的轨迹方程.师解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0),由于点B的坐标是(5,4),且M是线段AB的中点,所以有,①于是有x0=2x−5,y0=2y−4,①因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4,②把①代入②,得(2x−5+1)2+(2y−4)2=4,整理,得(x−2)2+(y−2)2=1,所以点M的轨迹是以(2,2)为圆心,半径为1的圆.师:点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式,轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在求动点的轨迹方程时,若给出相关点的轨迹方程,通常采用代入法求得,根据上面的例题,我们总结一下求动点轨迹方程的一般步骤.【简单问题解决能力】通过对直线方程、圆的方程的初步学习,可以让学生慢慢接触轨迹问题,通过例题让学生更好地理解利用代数法解决几何问题,体会利用坐标法求满足一定条件的动点的轨迹方程的用途,在解题过程中提升简单问题解决能力.【归纳总结】利用代入法求动点轨迹方程的一般步骤1.建立适当的平面直角坐标系,用有序数对(x,y)表示曲线上任意一,点M的坐标.2.写出适合条件的点M的集合.3.列出方程f(x,y)=0.4.化方程f(x,y)=0为最简形式.师:下面我们来总结一下本节课学了哪些知识.【意义学习】进一步熟悉圆的一般方程,掌握运用代入法求解动,点的轨迹方程的步骤,培养学生运用知识的能力.【课堂小结】圆的一般方程1.对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的讨论和圆的一般方程的代数特征的理解.2.圆的一般方程和标准方程的互化.3.利用待定系数法求圆的一般方程.4.利用代入法求动点的轨迹方程.【设计意图】总结归纳,把方法系统化,形成能力.启发引导学生进行归纳整理,培养宏观掌握知识的能力.教学评价本讲所涉及的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各个部分,正是它们构成了解析几何问题的基础,又是解决这些问题的重要工具之一.本部分具体知识如下:(1)有关圆的问题解答时,应注意利用圆的平面几何性质,如圆与直线相切、相交的性质,圆与圆相切的性质等,这样可以使问题简化.(2)要注意学习如何借助于坐标系,用代数方法来研究几何问题,体会这种数形结合思想的用途.应用所学知识,完成下面各题:1.已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(4,1),B(6,−3),C(−3,0),求△ABC外接圆的方程.【设计意图】通过评价学习巩固学习效果,同时回顾了学生已有相关知识和方法,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律.点拨:求圆的方程,常用待定系数法,根据条件设出标准方程或一般方程.有时利用几何特征,解答更为简便.解析:解法一:设所求圆的方程是(x−a)2+(y−b)2=r2.①∵A(4,1),B(6,−3),C(−3,0)都在圆上,∴它们的坐标都满足方程①,于是,解得∴△ABC的外接圆的方程是(x−1)2+(y+3)2=25.解法二:∵△ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,∴先求AB,BC的垂直平分线方程,求得的交点E的坐标就是圆心坐标.∵,线段AB的中点为(5,−1),线段BC的中点为,∴AB的垂直平分线方程为①BC的垂直平分线方程为.②解由①②联立的方程组可得∴△ABC外接圆的圆心为E(1,−3),半径.【综合问题解决能力】会求复杂条件下的圆的方程,培养学生综合分析问题,利用多个条件灵活消元的能力.【分析计算能力】通过对两圆位置关系的应用,落实圆的一般方程、两圆外切、内切、公共弦问题,培养学生分析问题、解决问题的能力和分析计算的能力.2.圆C与y轴相切,且圆心在直线x−3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为2,求圆C的方程.点拔:在解决求圆的方程这类问题时,应当注意以下几点:(1)首先明确是标准方程还是一般方程;(2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得a,b,r或D,E,F;(3)待定系数法的应用,解答中要尽量减少未知量的个数.解析:因圆C与y轴相切,且圆心在直线x−3y=0上,故设圆方程为(x−3b)2+(y−b)2=9b2.又因为直线y=x截圆所得弦长为2,则有,解得b=±1.故所求圆方程为(x−3)2+(y−1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.【综合问题解决能力】教师应帮助学生经历如下的过程:首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题:分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法.从而提升综合问题解决能力.3.已知两圆x2+y2−2x−6y−1=0,x2+y2−10x−12y+m=0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)当m=45时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.点拨:判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系.而两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.解析:因为两圆的标准方程分别为(x−1)2+(y−3)2=11,(x−5)2+(y−6)2=61−m,所以两圆的圆心分别为(1,3),(5,6),半径分别为.(1)当两圆外切时,由解得.(2)当两圆内切时,因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5,所以,解得.(3)当m=45时,由(x2+y2−2x−6y