江苏省辅仁高级中学2025届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

江苏省辅仁高级中学2025届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如果在一实验中，测得的四组数值分别是，则y与x之间的回归直线方程是（）A. B.C. D.2．现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，分别带着A、B、C、D、E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A. B.C. D.3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”.设分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线左、右两支于两点，若恰好是的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（）A. B.C.2 D.4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球5．已知直线与圆相交于两点，当的面积最大时，的值是（）A. B.C. D.6．函数的导函数为，若已知图象如图，则下列说法正确的是（）A.存在极大值点 B.在单调递增C.一定有最小值 D.不等式一定有解7．若双曲线的两个焦点为，点是上的一点，且，则双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是（）A. B.C. D.8．设的内角的对边分别为的面积，则（）A. B.C. D.9．若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（）A.0个 B.1个C.2个 D.3个10．在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，点是棱上的点且满足，则两异面直线，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.11．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（）A.1 B.2C. D.412．函数的图像大致是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若展开式的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项的值是__________.14．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为_________15．函数的单调递减区间是____16．若函数在处有极值，则的值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离18．（12分）已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.（1）求该抛物线的方程；（2）若点A在第一象限，且抛物线在点A处的切线交y轴于点M，求的面积.19．（12分）2021年7月29日，中国游泳队获得了女子米自由泳接力决赛冠军并打破世界纪录.受奥运精神的鼓舞，某游泳俱乐部组织100名游泳爱好者进行自由泳1500米测试，并记录他们的时间（单位：分钟），将所得数据分成5组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求出直方图中m的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计这100位游泳爱好者1500米自由泳测试时间的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）.20．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求点B到平面PCD的距离；（2）求二面角的平面角的余弦值.21．（12分）如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，（1）求证：∥平面；（2）求证：平面平面22．（10分）某校高二年级全体学生参加了一次数学测试，学校利用简单随机抽样方法从甲班、乙班各抽取五名同学的数学测试成绩（单位：分）得到如下茎叶图，若甲、乙两班数据的中位数相等且平均数也相等.（1）求出茎叶图中m和n的值：（2）若从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，求此两人都来自甲班的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据已知数据求样本中心点，由样本中心点在回归直线上，将其代入各选项的回归方程验证即可.【详解】由题设，，因为回归直线方程过样本点中心，A：，排除；B：，满足；C：，排除；D：，排除.故选：B2、D【解析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为.故选：D3、A【解析】根据双曲线的定义及直角三角形斜边的中线定理，再结合双曲线的离心率公式即可求解.【详解】如图所示由题意可知，根据双曲线的定义知，是的中点且.在中，是的中点，所以，因为直线的斜率为，所以，所以.所以是等边三角形，.在中，.由双曲线的定义，得，所以双曲线的离心率为.故选：A.4、C【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，逐项判断.【详解】A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，故错误；B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，故错误；C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，故错误；故选：C5、C【解析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，即可求出答案.【详解】圆心到直线的距离，弦长为..当，即时，取得最大值.故选：C.6、C【解析】根据图象可得的符号，从而可得的单调区间，再对选项进行逐一分析判断正误得出答案.【详解】由所给的图象，可得当时，，当时，，当时，，当时，，可得在递减，递增；在递减，在递增，B错误，且知，所以存在极小值和，无极大值，A错误，同时无论是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定为负数，故C正确，D错误.故选：C.7、B【解析】由条件结合双曲线的定义可得，然后可得，然后可求出的范围即可.【详解】由双曲线的定义可得，结合可得当点不为双曲线的顶点时，可得，即当点为双曲线的顶点时，可得，即所以，所以，所以所以双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是故选：B8、A【解析】利用三角形面积公式、二倍角正弦公式有，再由三角形内角的性质及余弦定理化简求即可.【详解】由，∴，在中，，∴，解得.故选：A.9、C【解析】由条件，可得，利用不等式的性质和基本不等式可判断①、②、③、④中不等式的正误，得出答案.【详解】因为，所以.因此，且，且②、③不正确.所以，所以①正确，由得、均为正数，所以，（由条件，所以等号不成立），所以④正确.故选：C.10、A【解析】建立空间直角坐标系，写出点、、、和向量的、坐标，运用求异面直线余弦值的公式即可求出.【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则，，，，故,,，故两异面直线，所成角的余弦值是.故选：A.【点睛】本题考查求异面直线所成角的余弦值，属于中档题.11、B【解析】根据抛物线定义，转化，要使有最小值，只需最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程与抛物线方程，求出斜率，然后求出点坐标，即可求解.【详解】由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知.由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切.设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：，整理得：则，解得即，解得，代入得或，再利用焦半径公式得故选：B.关键点睛：本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，解题的关键是要将取最小值转化为直线斜率最大，再转化为抛物线的切线，考查学生的转化思想与运算求解能力，属于中档题.12、B【解析】由导数判断函数的单调性及指数的增长趋势即可判断.【详解】当时，，∴在上单调递增，当时，，∴在上单调递减，排除A、D；又由指数函数增长趋势，排除C.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】首先利用展开式的二项式系数和是求出，然后即可求出二项式的常数项.【详解】由题知展开式的二项式系数之和是，故有，可得，知当时有.故展开式中的常数项为.故答案为：.【点睛】本题考查了利用二项式的系数和求参数，求二项式的常数项，属于基础题.14、【解析】因为，所以，即，故15、【解析】求导，根据可得答案.【详解】由题意，可得，令，即，解得，即函数的递减区间为.故答案为：.【点睛】本题考查运用导函数的符号，研究函数的单调性，属于基础题.16、2或6【解析】由解析式得到导函数，结合是函数极值点，即可求的值.【详解】由，得，因为函数在处有极值，所以，即，解得2或6.经检验，2或6满足题意.故答案为：2或6.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）设与交点为，延长交的延长线于点，进而根据证明，再结合底面得，进而证明平面即可证明结论；（2）由得点到平面的距离等于点到平面的距离的，进而过作，垂足为，结合（1）得点到平面的距离等于，再在中根据等面积法求解即可.【小问1详解】证明：设与交点为，延长交的延长线于点，因为四棱锥的底面为直角梯形，，所以，所以，因为为的中点，所以，因为所以，所以，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，所以又因为底面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面【小问2详解】解：由于，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离的，因为平面平面，平面平面故过作，垂足为，所以，平面，所以点到平面的距离等于在中，，所以，点到平面的距离等于.18、（1）;（2）10.【解析】（1）由根据抛物线的定义求出可得抛物线方程；（2）求出抛物线过点A的切线，得出点M的坐标即可求三角形面积.【小问1详解】由抛物线的定义可知，即，抛物线的方程为.【小问2详解】，且A在第一象限，，即A(4,4)，显然切线的斜率存在，故可设其方程为，由，消去得，即，令，解得，切线方程为.令x=0，得，即,又，，.19、（1）（2），【解析】（1）利用频率之和也即各矩形的面积和为1即可求解.（2）利用平均数和中位数的计算方法求解即可.【小问1详解】由，可得.【小问2详解】平均数为：，设中位数为，则，解得.20、（1）（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案；（2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可.【小问1详解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又两两互相垂直,所以，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，D(3,6,0),A(0,6,0)设平面的一个法向量所以n⋅PD令，可得记点到平面的距离为，则d=【小问2详解】由(1)可知平面的一个法向量为平面的一个法向量为设二面角的平面角为由图可知，21、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）根据线面平行的判定，证明即可；（2）过C作，垂足为M，根据勾股定理证明，再根据线面垂直的性质与判定证明平面BCE即可【小问1详解】证明：因为四边形ABEF为矩形，所以，又平面BCE，平面BCE，所以平面BCE【小问2详解】过C作，垂足为M，则四边形ADCM为矩形因为，，所以，，，，所以，所以因为平面ABCD，，所以平面ABCD，所以又平面BCE，平面BCE，，所以平面BCE，又平面ACF，所以平面平面BCE22、（1），（2）【解析】（1）根据茎叶图得甲班中位数为，由此能求出，根据由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，