2023高考数学基础强化训练六

2023高考数学基础强化专题训练（六）

函数与导数

1.（深圳市6校联盟2022-2023学年高三10月质量检测）

已知a=logs2log<）,50.4,c=0.50,',则a,b,c的大小关系为

A.a<Zc<ZbB.a<Zb<ZcC.b<Zc<C,aD.cVa

2.（湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）

函数/（力=寐/一—一人的大于0的零点为〃，函数8（X）=1111%一111%一1的大于I的零

点、为b,下列判断正确的是（提示：ln3«l.l）（）

A.b=eaB.\nb=eaC.—l—=1D.2<b<3

ab

3.（辽宁省大连市滨城联盟2022・2023学年高三上学期期中考试数学试题）

16.已知/（x）=，-eT+sinx-K+l,若/（。一21n（口1+1））+/（］）22恒成立，则实数a

的取值范围.

4.（深圳市宝安区202210月高三数学试卷）

Y2V3/2022

已知方程1+X—工+三一二十三二二0的所有实数根都在区间勾内（其

2342022

中a,bwZ）,则方一。的最小值为

高等数学背景下的导数压轴题

文/刘蒋巍

(根的存在性定理)：如果函数/(幻在闭区间句上连续，且/(a)・/S)vO,

那么在开区间(凡力内至少有一点使/4)=()

问题1:设函数/(x)=x-ln(x+M,其中常数m为整数.

(1)当m为何值时，/(x)>0

(2)当m>l时，方程/(幻=0在["〃'一肛/〃，一汨内有两个实数根

分析：解答本题第(2)问的实质是应用根的存在性定理。

(凸函数的性质)：设函数/(处在闭区间加上连续，在(。,。)内具有一阶和二

阶导数，如果/〃*)>0,那么/(幻在[为句上的图像是严格下凸的；反之，如果

/〃*)<0,那么f(x)在句上的图像是严格上凸的。

问题2:已知函数/(刈=虫6“

1-X

(1)设。>0,讨论y=f(x)的单调性：

(2)若对任意xc(0,l),恒有/(幻>1,求〃的取值范围.

分析：本题主要考察利用导数的方法判断函数的单调性、左端点求右极限的知识。

在此基础上结合严格上凸函数图像的特性，根据求使不等式成立的条件，进而求

出a的取值范围。

m+nm__nm._n

(两个不等式)：e：一V二二V二工(相>〃)

m—n7

其对数形式：^ab<b~a<^~(/?>tz>0),

]nb-]na2

r被,人▼1InZ?-Ina2,八、

又等价于：r=>------------>-------(Zz?>a>0)

ylabb-aa+b

1?11

引申：当ZeN•时，——<---------vln(k+l)—lnNv/v—,

攵+1欠+(左+1)《k(k+l)k

则£［二<£即(2+1)-1皿］<£］，即：^_L<］n(n+l)<^l不难发现

%=i&+1工.=1x=ikx-=ik+\k=ik

调和级数是发散的。

问题3:已知函数/*)="-⑪，其次a>0,在函数/(X)的图像上取两定点

A(xp/(x,)),B(X2,/(X2))(x1<x2),记直线AB的斜率为火，证明：存在

x0e(xpx2),使/'(x)=A恒成立.

，、必］/02)一/01)ex2-xi,、〜_标1

分析：k==----e----a,令(p(x)=k—f(x)=---------e”,

#2F叫一叫孙F

m+nem_nem.n

由不等式：e2<-----<------(ni>n),可知：

m—n9

X2+X1eX2+e«l

x

e2—e<(p(x)<-------因为项〈三，所以，(P(x2)<0,<p(xj>0,

考虑到函数的连续性，由零点存在定理，命题得证！

问题4:设函数/。)=d一以-2,求/(X)的单调区间。

答案：(1)当。(0时，函数/(X)在(-8,+8)上递增；

(2)当。〉0时，函数/(%)在(lna,+oo)上递增，在(—8,Ina)上递减。

请读者自作。

☆关于/(元)=〃加工+^2+6/+C(加工0)类型函数的压轴题

设A",/(x,»，,/(%,))(匹v与)是函数/(X)二用MX+〃/+及+C(〃?工0)

图像上任意两点，记直线AB的斜率为3则

k=加•电±一+a(x2+x)+b；而函数/(x)在4二♦处的导数

%一凡2

广("：*)=m------+a•(.G+1)+〃，则〃2.伙-+%)］>0恒成立.

2x2+x12

问题5:已知函数/(x)=山工-ar?+(2-。)工

(1)设。>0,证明：当Ovxv，时，/(-+x)>/(--x)

aaa

(2)若函数y=/(幻的图像与I轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为

证明：/'(/)<o

分析：(1)将m=1,Xj=--X,X=J_+x代入到机.伙一,(玉土乜)]>0中，

aa2

1/(-+x)-/(--x)

得:>//(-)=0,即：—生------------>0,

a2x

所以/(_L+X)>/(J__X)

三沪.代入到〃z.伙一/，(小学！)]>()中，得：/'(厮)"

(2)将加=1,k=0,x0

问题6：设函数/(x)=lnx+五一1,证明：当X>1时，/(X)<|(X-1)

/«-/(1)Inx-lnl13

分析;，从而，(x)

x-1x-\y/~X+1y[xy/-X+12

引申:当1VX|V%2时,

f(x2)-f(xx)Inx2-In%1113

拓展：当然,本题还可以使用拉格朗日中值定理求解。

f(x)--⑴Inx-lnlVx-Vl113

获，，其中y44Vx

x-1

问题7:设函数/(x)=x-'-alnx,若/(x)的两个极值点不和x2,记过点

x

八(*]"(芍))，3(“2，/(”2))的直线的斜率■为h问：是否存在*4交得k=2-a?

若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由。

、，i1ax1-ax+\"/、，1

分析：/(x)=l+—一一=-----——,x>0,令g(x)二厂一忒+1,△=/—4,

x~xx

因为/’(%)的两个极值点X1和亲2，所以方程g(x)=0在(0,+8)上有两个相异实根,

则△=.?一4>0且。>0,得：a>2

易得「心"人"—一〃]^g=2一〃”

了2一七%方2马一须/一须

若％=2—%则hfTn.二],又因为电工二g</==],所以1<1,矛

“2—M工2―为yjXxX2

盾！所以不存在符合条件的实数a.

问题8：已知函数/(x)=xe'(x£R+),若占w%2，且/(M)=/(W)，证明：

X]+*2>2

、>ii”.Inx>—In再，

=

分析：Inf(x)=]nx—xf因为/(x.)=f(x2),所以---------=1

“2一司

-c心In修-Inx.21,

又因为——------L>------,所以七十七>2

x2-X[X]+x2

☆常见的对数不等式：lnx>L(x—L),(0<x<l);

2x

Inx<—(x)f(x>1);

2x

lnx<2(£zl),(O<X<1):

x+1

lnx>2(X-1),(X>1).

x+1

构造函数/(©=inx—生二»(x>l),显然/'(x)=L-一二=(D：>0,

x+1x(1+x)x(l+x)

所以⑴=0,即：lnx>2(4-1),(X>1)

x+1

2(三-1)

不妨设X,>X2>o,令X=土，则In土〉—-----,即：电臼~强>---

%占五十1占一占M+%

x2

问题9:已知函数f(x)=Inx-g(xwR)

若函数/(X)有两个不同的零点冬，x2,求证：国12>0

分析：因为函数“X）有两个不同的零点

所以

InX]—rnxl=Inx2—nix2=0,InX|4-Inx2=m(x14-x2).

所以，InXj+Inx2=—^L^l.(Xj+x2)>2,即履/〉，

演一“2

问题10:已知函数/(1)=加+(1-2a)x-lnx(awR)

记函数y=/(X)的图像为曲线C,设点A*”％),3(*2,%)是曲线C上不

同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作工轴的垂线交曲线C于点N。试

问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB?并说明理由。

答案：不平行。请读者自作。

]+XY

问题11:若0<xvl时，In-->%(x+=)恒成立，求上的最大值.

\-x3

1.xj.32〃+1

命题背景：In1+'的泰勒展开式为In---=2(x+—+...+-----+...)

1-x1-x32/1+1

32n+,3

xxx

当0<x<1时，2(兀+—+...+----+...)>k(x+—)

32/1+13

x5x2n+[x5X2H+1、

2,(—+...+-----+...)2•(—+...+-----+…J

miloI_____5、u1；~52〃+1'sL_o口n,

0“-2,k<2

一类高考导数压轴题原创题(2023届)

(1稿)问题1：已知定义在R上的函数/(/),其导函数为g(N),且满足

Y

2f'(x)+.rg'(x)>l.求证：

修正为：(2稿)问题1：已知定义在R上的函数/*),其导函数为g(x),且满足

x2

2f(X)+Xg\x)>\,求证：X[/(X)-/(0)]>y

(1稿)问题2：已知定义在R上的函数/(x),其导函数为g(x),且满足

tanx•-/(%)]>1-2fr(x)»求证：sinx-/(x)+cosx>/(0)x+l

修正为：(2稿)问题2：已知定义在R上的函数/(幻，其导函数为g(x),且满足

sinx•[^'(x)-/(%)][1-2f\x)]•cosx»求证：sinx-/(x)+cosx>/(0)x+l

问题3：已知定义在R上的函数/(X),其导函数为g(x),且满足

(炉—二)•"(x)+g\x)]>[1-2ff(x)](ex+e-x),

求证：G-)/(x)-(ex+e-x)>2[/(0)x-1]

注：以上3个问题为我们研究中发现的“副产品”，有深刻的出题背景，供大家探究。

说明：问题1,问题2的1稿有误，已在2稿修正。主要问题是1稿的结论两边不能同除以

x；2稿的条件，两边不能同除以cosx。

命题很难一步到位，难免会出错误。保留1稿，并说明修正的问题，也是科学的研究态度。

(刘蒋巍提供)

三角函数

1.(深圳市6校联盟2022—2023学年高三10月质量检测)

如图.在△ABC中，。为边BC上一点，AD=3,且sinZADB=73sinB.

(1)求AB的长；

(2)若ADJ_AC,BC=33D.求△ABC的面积.

BD

2.（2022•江苏苏州期中）

（木题满分12分）

在等腰直角三角形A5C中，已知/ACB=90。，点D,E分别在边AB,上，CD=4.

（1）若。为A8的中点，三角形CDE的面积为4,求证：E为C8的中点；

⑵若8。=2AO,求&44C的面积.

解析几何

1.（成都七中2022-2023高三上半学期文数试题）

22

20.（12分）已知椭圆C：―2+—1（。＞力0）的短轴长为2-\/J，左顶点力到右焦点厂的距离

为3.

（1）求椭圆C的方程及离心率:

（2）设直线/与椭圆C交于不同两点MN（不同于J）,且直线和AN的斜率之积

与椭圆的离心率互为相反数，求证:/经过定点.

2.(极点极线)已知椭圆C：1+&=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi和F2,下顶

点为A,直线AFi与椭圆的另一个交点为B,4ABF2的周长为8,直线AFi被

圆O:x2+y2=b?截得的弦长为3.

⑴求桶圆C的方程；

(H)若过点P(l,3)的动直线1与圆。相交于不同的两点C,D,在线段CD上取一点

Q满足：T=UT,T二一，入邦且杼±1.求证：点Q总在某定直线上。

CPPDCQQD

九22

分析：⑴:+一=1

43

PC0C77

(2),所以尸、Q关于圆0：r+y=3调和共机。所以，点Q

的轨迹是点P的极线x+3y=3

变式：把条件“动直线/与圆0相交于两个不同点C,D"改为“动直线/与椭圆相交

于两个不同点C,D"，其他条件不变，求证:点Q在某定直线上。

、，.PCQC

分析："二万=05，所以尸、Q关于椭圆C调和共朝。所以，点Q的轨迹是

点尸的极线上^+三2=1,x+4y=4

43

(变式题由刘蒋巍提供)

排列组合

1.(2022•江苏连云港期中)(多选题)

已知数据沏，必，…，X60的平均数为小方差为儿中位数为c,极差为d.由这组数据得到

新数据?，”，…，泗0，其中yi=2xj+1(/—1,2,…，60),则

A.新数据的平均数是2a+lB.新数据的方差是劭

C.新数据的中位数是2cD.新数据的极差是2d

2.（2022•江苏金陵中学期中）

移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使

用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到2x2列联表如下：

35岁以下（含35岁）35岁以上合计

使用移动支付4050

不使用移动支付40

合计100

（1）将上2x2列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付

方式与年龄是否有关?

（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这

10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X,求X的分

布列及期望.

Pgk)

0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

K0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc)2

（参考公式：=(其中n=a+b+c+d')

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

统计概率

1.（2022•江苏南通海安市期中）

已知某校高三女生的身高X（单位：cm）近似地服从正态分布N（163,5）若随机选择一名该

校的女生，则P（XW168）=.

注：若X~N@,标），则户0.6827

2.（2022•江苏南通如东县期中）

（本小题满分12分）已知的展开式中，第4项的系数与倒数笫4项的系数之比为今

⑴求tn的值；

（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；

（3）将展开式中所有项重新排列,求有理项不相邻的概率.

立体几何

L（湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）

正方体A3CO-AqC|R的棱长为4,点尸分别为棱，上的动点，且满足

D}E=BFf则以下命题正确的有（）

A.三角形AE”的面积始终保持不变B.直线AC始终在平面内

c.三棱锥G-AE尸体积始终不变D.直线可能与平面AE尸垂直

2.（辽宁省大连市滨城联盟20221023学年高三上学期期中考试数学试题）

如图所示，斜三棱柱48C-力冉，中，点旦为棱4G（不4?

包括端点）上的点./

（1）当生L等于何值时，皮；〃平面///

D"＜一

（2）设多面体4BC/R的体积为匕,三棱柱ABC-48c

的体积为匕，求5；

（3）若N844=NC44=N84C=60。，AB=AC=AA.=2,求异面直线力用与8G所成

角的余弦值.

数列

1.（湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）

数列｛凡｝满足4=2,a2=-4,且对任意正整数",有an+2=2an+l-an+lt则an的最小

值为（）

A-16B.-17C.—18D.-19

2.（辽宁省大连市滨城联盟2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）

己知｛%｝的前n项和为S,,勺=2,且满足,现有以下条件:

①24+22q+232+…+2*4@Sn=2an-2.③S“「2S〃=2

请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题:

（1）求数列S”｝的通项公式；

（2）若…log2a…求”的前〃项和人并证明：

"4

3.（深圳市宝安区202210月高三数学试卷）

18.（12分）已知等差数列｛叫的前〃项和为S〃，a2=l,S7=14,数列也｝满足

可也也..3=22,

（1）求数列应｝和也｝的通项公式；

（2）若数列｛c〃｝满足c"="cos（4K）,求数列｛%｝的前2〃项和弓”.

【二阶常系数线性齐次递推式】

递推式%+2-P%+l十夕玛(〃身为常数，＜7^0)是一种非常重要的递推关系，

我们把这样的递推式称为：二阶常系数线性齐次递推式。

把对应于二阶常系数线性齐次递推关系对+2=pan+l+4%的方程

2

x=px+q

称为其特