随机变量的数字特征教案

PAGEPAGE2EQEQEQ第四章随机变量的数字特征教学目标及基本要求（1）理解数学期望和方差的定义并且掌握它们的计算公式；（2）掌握数学期望和方差的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用期望或方差的性质计算某些随机变量函数的期望和方差。（3）熟记0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望和方差；（4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。教学内容数学期望离散型、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望的应用、数学期望的性质方差方差的概念及计算、方差的性质、常见分布的数学期望及方差简单归纳协方差与相关系数矩和协方差矩阵本章教学内容的重点和难点数学期望、方差的具体含义；数学期望、方差的性质，使用性质简化计算的技巧；特别是级数的求和运算。期望、方差的应用；本章教学内容的深化和拓宽将数学期望拓展到数学期望向量和数学期望矩阵；协方差及相关系数概念和公式拓宽到n维随机变量的协方差矩阵和相关系数矩阵。教学过程中应注意的问题一个随机变量并不一定存在数学期望和方差，也有可能数学期望存在，而方差不存在，如柯西分布是最著名的例子；数学期望的一个具体的数字，不是函数；由方差的定义知，方差是非负的；独立性和不相关性之间的关系，一般地，X与Y独立，则X与Y不相关，反之则不然，但对于正态分布，两者却是等价的；思考题和习题思考题：1.假定一个系统由5个电子元件组装而成，假定它们独立同服从于指数分布，将它们串接起来，求系统的平均寿命，若将它们并行连接，其系统的平均寿命是多少？并比较其优劣。2.方差的定义为什么不是？3.工程上经常遇到计算误差，它是否与方差是同一个概念？4．协方差与相关系数有什么本质上的区别？5．随机变量与独立可以推导，反之呢？对正态分布又如何呢？§4.1数学期望一、数学期望的概念数学期望又称均值，是反映随机变量平均状况的数字特征。平均值是日常生活中最常用的一个数字特征，它对评判事物、做出决策等具有重要的作用。例4-1甲乙两人进行打靶射击，各打100发子弹，他们打中的环数及次数如下：试问哪个技术好一点？解甲的平均环数为：乙的平均环数为：所以乙的射击技术好一点。从上面可以看到，这里采用了以频率为权重的加权平均，将这种方法应用到概率问题上就得到了离散型随机变量数学期望的概念。定义4-1若离散型随机变量X的分布律为，当级数绝对收敛时，则称X存在数学期望，且其数学期望为，记作EX，即EX=，数学期望简称为期望，又称均值。例4-2有一种博彩游戏，博彩者将本金1元押注在1到6的某个数字上，然后掷三枚骰子，若所压的数字出现i次（i=1,2,3），则下注者赢i元，否则没收1元本金。试问这样的游戏规则对下注者是否公平？解设X为一次下注的赢利，则其概率分布为：从上面可以看出：每平均玩216次，下注者必将输17元。故这一游戏规则对下注者来说是不公平的。由于连续型随机变量的取值充满某一个区间，所以对连续的函数，需要用到和的极限即定积分来进行计算。这样我们就得到了连续型随机变量的数学期望。定义4-2设X为一个连续型随机变量，概率密度为f(x)，当绝对收敛时，称X的数学期望存在，且数学期望为，记作EX，即EX=例4-3设是一随机变量，其概率密度为求.解根据定义4.2得二、常用离散型分布的数学期望退化分布离散型随机变量只取常数，即，因此，0-1分布离散型随机变量的概率分布为则3.个点上的均匀分布离散型随机变量的概率分布为，则4.二项分布，即离散型随机变量的概率分布为则5．几何分布离散型随机变量的概率分布为。利用幂级数求和公式，当时于是6．超几何分布离散型随机变量服从超几何分布，其概率分布为，可得7．泊松分布离散型随机变量的概率分布为则。三、常用连续型分布的数学期望1．均匀分布连续型随机变量服从区间上的均匀分布，其密度函数为则2．指数分布连续型随机变量服从参数为的指数分布，密度函数为则正态分布随机变量，其密度函数为则其期望为，（令）四、随机变量函数的数学期望我们已经熟悉了随机变量的数学期望，由定义，在求数学期望时应该先求出该随机变量的概率分布或密度函数。但在求随机变量函数的数学期望时，可以不必求的概率分布或密度函数，而只要直接利用原随机变量的概率分布或密度函数就可以了，这对简化计算是有利的，为此需要下面的定理。定理4-1设为连续函数，（1）若离散型随机变量的分布律为，若级数绝对收敛，则随机变量的数学期望为（2）若连续型随机变量的密度函数为，若积分绝对收敛，则随机变量的数学期望为求随机变量X的函数Y=g（X）的数学期望，当然可以先求出Y的概率分布，再根据定义求出Y的数学期望，可当函数关系g(x)复杂时，计算很麻烦。利用上述给出的公式直接由X的分布求Y=g（X）的期望可以简化计算。例4-4设随机变量的概率分布为求。解例4-5设服从参数的指数分布，求.解由题设知，的密度函数为且，又因为从而五、二维随机变量函数的数学期望若二维随机变量（X,Y）的两个分量X，Y都具有数学期望E(X)，E(Y)，则称(E(X),E(Y))，为二维随机变量（X，Y）的数学期望。从定义可以看出，二维随机变量的数学期望是一维情形的推广，所以我们研究更重要的Z=g（X,Y）的数学期望的计算定理4-2已知二维随机变量（X,Y）的数学期望，而Z=g（X，Y），其中为连续函数。（1）设X为离散型随机变量，其概率分布为P{X=,Y=}=,i,j=1,2…若绝对收敛则E(Z)=E[g(X,Y)]=（2）设（X,Y）为连续型随机变量，其概率密度函数为f(x,y)若绝对收敛则E(Z)=E[g(X,Y)]=例4-6假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X（单位吨），它服从[2000，4000]均匀分布，设每售出这种商品一吨可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，问题是要确定应组织多少货源，才能使国家的收益最大。解以y记预备某年出口的此种商品量（显然可以考虑20004000的情况），则收益（单位：万元）而===+=[]对上式求导，并令=0，可得当y=3500时达到最大值，因此组织3500吨此种商品是最好的决策。六、数学期望的性质数学期望是随机变量的最重要和最基本的数字特征，本章所介绍的其他随机变量的数字特征，均使用了对随机变量的函数求数学期望的运算，下面介绍数学期望的一些运算性质。（1）设c为常数，则Ec=c（2）设c为常数，则E（cE）=cEX（3）设X、Y是任意两个随机变量，则E（X±Y）=EX±EY（4）设X与Y相互独立，则E（XY）=EX·EY例4-7求超几何分布m=0，1，…，n的数学期望。解此题当然可以用定义直接求出，但也可以用下面方法计算设想一个相应的不放回抽样，令则因此，而表示几次抽样中抽出的废品数，它服从超几何分布，利用性质(3)得到§4.2方差对随机变量，数学期望反应了其取值集中的位置，但有的随机变量取值相对集中，有的相对分散，因此需要引入另外一个反映这种集中或分散程度的数字特征，这就是方差。方差是表示随机变量在其数学期望附近分散程度的一个指标，一个随机变量的取值愈集中于它的数学期望，则方差愈小。一、方差的概念什么量能够度量随机变量相对于的偏离程度，我们想到了，但这样做常常造成正负抵消，即从而掩盖了偏差的大小，为了排除这个缺陷，可用来代替，但绝对值不利于计算，故通常用作为随机变量与其数学期望偏离程度的指标。定义4-3设是一个随机变量，其数学期望为，则称为随机变量的方差，记为，或，并称为的标准差。考虑到方差实际上为随机变量函数的数学期望：，因此若为离散型随机变量，概率分布为，则若为连续型随机变量，概率密度函数为，则在很多场合，计算方差经常用到如下公式：例4-8设随机变量具有概率密度，求解于是常用离散型分布的方差1．退化分布：离散型随机变量只取常数，即，因此，2．0-1分布：离散型随机变量的概率分布为则3．个点上的均匀分布：离散型随机变量的概率分布为，则4．二项分布：，即离散型随机变量的概率分布为则5．几何分布：离散型随机变量的概率分布为利用幂级数求和公式，当时于是当时于是6．超几何分布：离散型随机变量服从超几何分布，其分布列为，可得7．泊松分布：离散型随机变量的概率分布为则。常用连续型分布的方差1．均匀分布：连续型随机变量服从区间上的均匀分布，其密度函数为则而从而2．指数分布：连续型随机变量服从参数为的指数分布，密度函数为则而从而3．正态分布：随机变量，其密度函数为方差为（令）方差的性质根据数学期望和方差的定义，容易导出方差的一些基本性质。设的方差存在，为任意常数，则（1）；（2）；（3）；（4）若与独立，则；可推广为：若相互独立，则*五、切比雪夫不等式切比雪夫不等式是一个十分常用的不等式，它给出了随机变量对其数学期望绝对偏差的概率估计。定理4-3对随机变量，设均存在，则对任意，有或者不等式表明，越小，事件的概率越小，这表明方差用来刻画随机变量的取值相对于的偏离程度。例4-9设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.6，而假定各盏灯开、关彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在5800至6200之间的概率。解表示同时开着的灯数，则，，于是，由切比雪夫不等式得例4-10在每次实验中，时间发生的概率为0.5，（1）利用切比雪夫不等式估计1000次独立实验中，事件发生的次数在400到500之间的概率；（2）要使出现的频率在0.35到0.65之间的概率不小于0.95，至少需要多少次重复实验？解（1）设表示1000次独立实验中事件发生的次数，则于是由切比雪夫不等式得（2）设需要做n次独立实验，则求n使得成立，由切比雪夫不等式得只要故至少需要做223次独立实验。§4.3协方差和相关系数对于二维随机变量，除了讨论与的数学期望、方差以外，还需讨论两个随机变量与之间的关联程度，即协方差和相关系数。协方差1.协方差的概念对二维随机变量来说，数学期望，只反映了与各自的平均值，方差，只反映了各自的偏离程度，它们对与之间的相互联系不提供任何信息。如同数学期望与方差一样，当然也希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系。在本章第二节方差性质中，我们已经看到，如果两个随机变量和是相互独立的，则这意味着当时，和不相互独立，而是存在一定的关系。定义4-4若存在，则称它为随机变量与的协方差（covariance）。记为，即.“协”即“协同”的意思。的方差是与的乘积的期望，如今把一个换成，其形式接近方差，又有与二者的参与，由此得出协方差的名称。由定义易见与、的次序无关，即，.由上述定义及方差性质可知，对于任意两个随机变量与，下列等式成立：.将的定义式展开，易得.我们常常利用这一式子计算协方差。当时，称与正相关；当时，称与负相关；当时，称与不相关。由协方差的定义及方差的性质可知，对任意两个随机变量与，下面事实是等价的：（1）（2）与不相关（3）（4）显然，与相互独立，必有与不相关。但与不相关，却不能保证与相互独立。进一步，将会了解到与不相关，仅能说明与无线性意义上的关联。例4-11设的分布律为XY14-201/41/4-1121/41/40001/41/41/41/41/21/21易知，，，于是，与不相关。这表示与不存在线性关系。但，知与不是相互独立的。事实上，与具有关系：，的值完全可由的值所确定。2.协方差的性质协方差具有下述性质：（1），是常数。（2）.（3）柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式.证明性质（1）和（2）由计算公式容易证明。这里只证明性质（3）。考虑实变量的二次函数.因为对一切实变量，有，即，故二次方程不能有两个不同的实根，由此得它的判别式非正，即，故.例4-12设二维随机变量的联合密度函数为求。解先计算，，的值：，，，利用协方差的计算公式，有.例4-13设二维随机变量的联合密度函数为，求。解先计算，，的值：，，，利用协方差的计算公式，有.二、相关系数1.相关系数的概念协方差的数值虽然在一定程度上反映了与相互间的联系，但它还受与本身的数值大小的影响。比如，与同时增大到原来的倍，即，。这时，尽管与间的相互联系和与间的相互联系从直观上看并无差别，但由于与间的协方差是与协方差的倍，即.为了克服这一缺点及消除量纲的影响，自然的一种想法就是在计算随机变量与的协方差之前，先对与进行“标准化”，就得到了一个新的概念——相关系数。定义4-5设是二维随机变量，且，则称为随机变量与的相关系数(correlationcoefficent)。形式上可以把相关系数视为“标准尺度下的协方差”。协方差作为的均值，依赖于，的度量单位，选择适当单位使，的方差都为，则协方差就是相关系数。这样就能更好地反映，之间的关系，不受所用单位的影响。例4-14设二维随机变量的联合密度函数为求。解根据例2可知，，，.再计算，，得，，则.2.相关系数的性质定理4-4设二维随机变量的两个分量与的相关系数为，则有的充要条件是存在常数与，使得.证明（1）由协方差的性质柯西-施瓦茨不等式，得.（2）在柯西-施瓦茨不等式的证明过程中，注意到的充分必要条件是不等式的等号成立。又成立的充分必要条件是只有一个二重根（不妨用表示），即的充分必要条件是，亦即.关于定理有几点需注意：当，称，“不相关”。若，独立，则它们不相关，但反之不然，即由不一定有、独立。（如例4-1）相关系数也常称为“线性相关系数”。这是因为，实际上相关系数并不是刻画了，之间“一般”相关关系的程度，而只是“线性”相关关系的程度。这种说法的根据之一就在于，当且仅当，有严格的线性关系时，才有达到最大值1。即使与有某种严格的函数关系但非线性关系，不仅不必为1，还可以为0。如果，则称与有“一定程度”的线性相关关系而非严格的线性相关关系。越接近于1，则线性相关程度越高；越接近于0，则线性相关程度越低。而协方差则看不出这一点。总之，相关系数在某种意义上度量了两个随机变量与之间的线性关系的程度，随着从0增加到1,这种线性关系的程度越来越高。例4-15设随机变量与独立同服从参数为的泊松分布，令，。求和的协方差及相关系数。解因为，所以由此得.例4-16已知二维随机变量的联合密度函数为求和的协方差及相关系数。解先计算两个边际密度函数，再分别计算、、、、、及。最后得协方差和相关系数为=－=0.0471.§4.4随机变量的矩和维随机向量一、随机变量的原点矩和中心矩矩是随机变量的重要数字特征之一，数学期望和方差都是矩的特例，即矩是数学期望和方差的自然补充。在数理统计中，将会看到矩的重要应用，下面给出矩的概念。定义4-6设为随机变量，为常数，为正整数。则称为关于点的阶矩。比较重要的有两种情况：当时，称为的阶原点矩。当时，称为的阶中心矩。显然，一阶原点矩就是数学期望。一阶中心矩，二阶中心矩就是的方差。*二、维随机向量的概念定义4-7设为一维向量，其每个分量都是一维随机变量，则称是一个维随机向量或维随机变量。与一维随机变量一样，维随机变量也分为离散型和连续型。如果每一个分量都是一维离散型随机变量，则称是离散的。如果的取值可以视为维欧式空间中的一个点，且的全部取值能充满中的某一区域，则称它是连续的。定义4-8设维随机向量的联合密度函数为，而的（边缘）密度函数为，。如果就称随机变量相互独立。*三、维随机向量的协方差矩阵下面介绍维随机向量的协方差矩阵，先从二维随机向量介绍。二维随机向量有四个二阶中心矩（设它们都存在），分别记为将它们排成矩阵的形式：称该矩阵为随机向量的协方差矩阵。设维随机向量的协方差都存在，则称为维随机向量的协方差矩阵。由于，故上述协方差矩阵为对称矩阵。例4-17设二维随机向量，求与协方差矩阵。解因为所以与协方差矩阵.习题四（A）1、r个人在楼的底层进入电梯，楼上有n层，每个乘客在任一层下电梯的概率相同。如果某一层无乘客下电梯，电梯就不停车，求直到乘客都下完时电梯停车次数X的数学期望。2、设随机变量X的分布律为X1.601.651.701.751.771.80P求D(X)3、一卡车装运水泥，设每袋水泥的重量为Ｘ，且设Ｘ服从正态分布，其数学期望为50kg，均方差为2.5kg，若一卡车装水泥100袋，（１）求这车水泥的总重量Ｙ的方差。（２）求这车水泥的总重量Ｙ超过500kg的概率。4、已知连续型随机变量X的概率密度为，求随机变量X的数学期望和方差。（1997）5、已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P{X=K}=k=0，1，2，…，求随机变量Z=3X－2的数学期望E（Z）。（1999）6、设X，Y是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量，求随机变量的数学期望。（1996）7、设二维随机变量（X，Y）在区域D：0<x<1,|y|<x内服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度及随机变量Z=2X+