01-数轴中的数形结合思想-七大类型

数轴中的数形结合思想-七大类型【类型一：利用数轴比大小】有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都代表有理数，如.利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.两个负有理数比较大小，绝对值大的反而小.【例1】有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系正确的是A． B． C． D．【例2】如图，数轴上点，，对应的有理数分别为，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是A．①②③ B．②③ C．①④ D．②③④【例3】已知、为有理数，且，，，那么，，，的大小关系是A． B． C． D．【类型二：距离问题】移动问题：往左移动减，往右移动加；距离问题：若A点的坐标为a,B点的坐标为b,则AB之间的距离为.【例4】在数轴上与表示数4的点距离2个单位长度的点表示的数是A． B．2 C．6 D．2或6【例5】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点到达的位置，则点表示的数是A． B． C． D．或【例6】在以为原点的数轴上，存在点，，满足，若点表示的数为8，则点表示的数为A．4 B．12 C．4或12 D．或【例7】如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是，已知点，是数轴上的点，请参照下图并思考，完成下列各题．（1）如果点表示数3，将点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是，，两点间的距离为（2）如果点表示数，将点向右移动68个单位长度，再向左移动156个单位长度，那么终点表示的数是，，两点间的距离是．（3）一般地，如果点表示数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，那么，请你猜想终点表示什么数？，两点间的距离为多少？【类型三：覆盖问题】一条n个单位长度的线段。能盖住的整点最多有n+1个，最少有n个.【例8】如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有个．【例9】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2020厘米的线段，则线段盖住的整点个数是A．2018或2019 B．2019或2020 C．2020或2021 D．2021或2022【类型四：确定点的位置】通常设最左边的数为x，用含x的式子依次表示其他数，列方程求解x.【例10】如图所示，数轴上标出四个点，且有一点是原点，已知每相邻的两点相距一个单位，点、、、对应的数为，，，，且，则数轴的原点应是A．点 B．点 C．点 D．点【例11】如图，数轴上、、、四点对应的整数分别是、、、，且有，那么，原点应是点A． B． C． D．【例12】点，，和原点在数轴上的位置如图所示，点，，对应的有理数为，，（对应顺序暂不确定）．如果，，，那么表示数的点为A．点 B．点 C．点 D．点【例13】在数轴上，点向右移动1个单位得到点，点向右移动2个单位得到点，点、、分别表示有理数、、．、、三点在数轴上的位置如图所示，、、三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则的值为A． B． C．或 D．或【例14】如图，在数轴上有、、、四个点，分别表示不同的四个数，若从这四点中选一点做原点，使得其余三点表示的数中有两个负数和一个正数，则这个点是A．点 B．点 C．点 D．点【例15】如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，，则原点是A．或 B．或 C．或 D．或【类型五：周期问题】周期是几就除以几，然后用余数比对，得到最终答案.【例16】正六边形在数轴上的位置如图，点、对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2，则连续翻转2021次后，数轴上2021这个数所对应的点是A．点 B．点 C．点 D．点【例17】如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字重合．A．0 B．1 C．2 D．3【类型六：数轴折叠】中点坐标公式：若a与c关于b对称，则.【例18】探究题：（1）若数轴上点与对应的数分别是1和5，则线段的中点对应的数是．（2）若数轴上点与对应的数分别是和5，则线段的中点对应的数是．（3）若数轴上点与对应的数分别是和，则线段的中点对应的数是．（4）若数轴上点与对应的数分别是和，则线段的中点对应的数是．【例19】在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数表示的点重合；（2）若表示的点与3表示的点重合，5表示的点与数表示的点重合；（3）若数轴上、两点之间的距离为个单位长度，点表示的有理数是，并且、两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【类型七：动点问题】移动问题：往左移动减，往右移动加；距离问题：若A点的坐标为a,B点的坐标为b,则AB之间的距离为.【解题步骤】确定动点坐标：用含有t的式子表示；涉及到距离问题：用绝对值表示距离，然后进行分类讨论；根据题目条件，建立方程：解含有t的一元一次方程，得到最终答案.【例20】如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，点以每秒3个单位长度的速度从点向左运动，点以每秒2个单位长度的速度从原点向左运动，其中点和点同时出发，经过秒，点、点到原点的距离相等．【例21】已知：是最大的负整数，是最小的正整数，且，请回答下列问题：（1）请直接写出，，的值：；；；（2），，在数轴上所对应的点分别为，，，请在如图的数轴上表示出，，三点；（3）在（2）的情况下．点，，开始在数轴上运动，若点，点以每秒1个单位的速度向左运动，同时，点以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．【例22】如图，在数轴上，点表示，点表示11，点表示18．动点从点出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为秒．（1）当为何值时，、两点相遇？相遇点所对应的数是多少？（2）在点出发后到达点之前，求为何值时，点到点的距离与点到点的距离相等；（3）在点向右运动的过程中，是的中点，在点到达点之前，求的值．【例23】如图，在数轴上，点表示的数是1，现将点沿数轴做如下移动，第一次点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是；第二次将点向右移动6个单位长度到达点，点表示的数是；第三次将点向左移动9个单位长度到达点，点表示的数是；（1）数轴上分别用点把、、表示出来（2）按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于20，那么的最小值是．【例24】对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点，，表示的数分别是1，4，5，此时点是点，的“倍分点”．（1）当点表示数，点表示数2时，下列各数，0，1，4是点、的“倍分点”的是；（2）当点表示数，点表示数30时，为数轴上一个动点，①若点是点，的“倍分点”，求此时点表示的数；②若点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点表示的数．

数轴中的数形结合思想-七大类型（解析版）【类型一：利用数轴比大小】有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都代表有理数，如.利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.两个负有理数比较大小，绝对值大的反而小.【例1】有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，1的大小关系正确的是A． B． C． D．【解答】解：由数轴，得，，，故选：．【例2】如图，数轴上点，，对应的有理数分别为，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是A．①②③ B．②③ C．①④ D．②③④【解答】解：由数轴可得：，，故①错误；，，中两负一正，，故②正确；，，，，故③正确；，，故④正确．综上，可知，正确的有3个．故选：．【例3】已知、为有理数，且，，，那么，，，的大小关系是A． B． C． D．【解答】解：、为有理数，且，，，，，，的大小关系是，故选：．【类型二：距离问题】移动问题：往左移动减，往右移动加；距离问题：若A点的坐标为a,B点的坐标为b,则AB之间的距离为.【例4】在数轴上与表示数4的点距离2个单位长度的点表示的数是A． B．2 C．6 D．2或6【解答】解：当点在表示4的点的左边时，此时数为：，当点在表示4的点的右边时，此时数为：，故选：．【例5】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点到达的位置，则点表示的数是A． B． C． D．或【解答】解：圆的直径为1个单位长度，此圆的周长，当圆向左滚动时点表示的数是；故选：．【例6】在以为原点的数轴上，存在点，，满足，若点表示的数为8，则点表示的数为A．4 B．12 C．4或12 D．或【解答】解：点表示的数是0，点表示的数是8，，又，，①点在的右边，其坐标应为；②点在的左边，其坐标应为．故选：．【例7】如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是，已知点，是数轴上的点，请参照下图并思考，完成下列各题．（1）如果点表示数3，将点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是，，两点间的距离为（2）如果点表示数，将点向右移动68个单位长度，再向左移动156个单位长度，那么终点表示的数是，，两点间的距离是．（3）一般地，如果点表示数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，那么，请你猜想终点表示什么数？，两点间的距离为多少？【解答】解：（1）点表示数3，将点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是，，两点间的距离为；故答案为：1，2；（2）点表示数，将点向右移动68个单位长度，再向左移动156个单位长度，那么终点表示的数是，、两点间的距离是；故答案为：，88；（3）点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，那么点表示的数为，，两点间的距离为．【类型三：覆盖问题】一条n个单位长度的线段。能盖住的整点最多有n+1个，最少有n个.【例8】如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有个．【解答】解：原点左边盖住的整数有，，，，原点右边盖住的数有2，3，4，5，因此共有8个；故答案为：8．【例9】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2020厘米的线段，则线段盖住的整点个数是A．2018或2019 B．2019或2020 C．2020或2021 D．2021或2022【解答】解：若线段的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若线段的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点．，厘米的线段盖住2020或2021个整点．故选：．【类型四：确定点的位置】通常设最左边的数为x，用含x的式子依次表示其他数，列方程求解x.【例10】如图所示，数轴上标出四个点，且有一点是原点，已知每相邻的两点相距一个单位，点、、、对应的数为，，，，且，则数轴的原点应是A．点 B．点 C．点 D．点【解答】解：若原点是，则，，此时，和已知不符，排除；若原点是点，则，，此时，和已知相符，正确；若原点是，则，，此时，和已知不符，排除；若原点是，则，，此时，和已知不符，排除；故数轴的原点应是点．故选：．【例11】如图，数轴上、、、四点对应的整数分别是、、、，且有，那么，原点应是点A． B． C． D．【解答】解：由数轴可得，若原点在点，则，若原点在点，则，若原点在点，则，若原点在点，则，数轴上、、、四点对应的整数分别是、、、，且有，原点应是点，故选：．【例12】点，，和原点在数轴上的位置如图所示，点，，对应的有理数为，，（对应顺序暂不确定）．如果，，，那么表示数的点为A．点 B．点 C．点 D．点【解答】解：，，数表示点，数表示点或数表示点，数表示点，则数表示点，由数轴可得，，又，，数表示点，数表示点，即表示数的点为．故选：．【例13】在数轴上，点向右移动1个单位得到点，点向右移动2个单位得到点，点、、分别表示有理数、、．、、三点在数轴上的位置如图所示，、、三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则的值为A． B． C．或 D．或【解答】解：设的值为，则的值为，的值为，当时，，，，，，不合题意；当时，，，，，，不合题意；当时，，，，，，符合题意，故选：．【例14】如图，在数轴上有、、、四个点，分别表示不同的四个数，若从这四点中选一点做原点，使得其余三点表示的数中有两个负数和一个正数，则这个点是A．点 B．点 C．点 D．点【解答】解：．当为原点，则剩余三个点表示的数均是正数，故不合题意．．当为原点，则表示负数，与表示正数，故不符合题意．．当为原点，则与表示负数，表示正数，故符合题意．．当为原点，、与表示负数，故不符合题意．故选：．【例15】如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，，则原点是A．或 B．或 C．或 D．或【解答】解：，、两个数之间的距离小于3，，原点不在、两个数之间，即原点不在或，原点是或．故选：．【类型五：周期问题】周期是几就除以几，然后用余数比对，得到最终答案.【例16】正六边形在数轴上的位置如图，点、对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2，则连续翻转2021次后，数轴上2021这个数所对应的点是A．点 B．点 C．点 D．点【解答】解：当正六边形在转动第一周的过程中，、、、、、分别对应的点为0、1、2、3、4、5，次一循环，，数轴上2021这个数所对应的点是点．故选：．【例17】如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字重合．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由题意知：圆的周长为4个单位长度．到共有2022个单位长度，当，则数轴上的数将与圆周上的数字2重合．故选：．【类型六：数轴折叠】中点坐标公式：若a与c关于b对称，则.【例18】探究题：（1）若数轴上点与对应的数分别是1和5，则线段的中点对应的数是．（2）若数轴上点与对应的数分别是和5，则线段的中点对应的数是．（3）若数轴上点与对应的数分别是和，则线段的中点对应的数是．（4）若数轴上点与对应的数分别是和，则线段的中点对应的数是．【解答】解：（1）如图1．点与对应的数分别是1和5，．为线段的中点，．对应的数为．故答案为：3．（2）如图2．点与对应的数分别是和5，．为线段的中点，对应的数为．故答案为：2．（3）如图3．点与对应的数分别是和，．为线段的中点，．对应的数为．故答案为：．（4）与（1）（2）（3）同理：当，对应的数为；当，对应的数为．综上：对应的数为．故答案为：．【例19】在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数表示的点重合；（2）若表示的点与3表示的点重合，5表示的点与数表示的点重合；（3）若数轴上、两点之间的距离为个单位长度，点表示的有理数是，并且、两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【解答】解：（1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与2表示的点重合；（2）若表示的点与3表示的点重合，5表示的点与表示的点重合；（3）若数轴上、两点之间的距离为个单位长度，点表示的有理数是，并且、两点经折叠后重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是或．【类型七：动点问题】移动问题：往左移动减，往右移动加；距离问题：若A点的坐标为a,B点的坐标为b,则AB之间的距离为.【解题步骤】确定动点坐标：用含有t的式子表示；涉及到距离问题：用绝对值表示距离，然后进行分类讨论；根据题目条件，建立方程：解含有t的一元一次方程，得到最终答案.【例20】如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，点以每秒3个单位长度的速度从点向左运动，点以每秒2个单位长度的速度从原点向左运动，其中点和点同时出发，经过秒，点、点到原点的距离相等．【解答】解：设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，则点所表示的数为，点所表示的数为，①当点是的中点时，有，解得；②当点、点重合时，有，解得．故经过3或15秒，点、点到原点的距离相等．故答案为：3或15．【例21】已知：是最大的负整数，是最小的正整数，且，请回答下列问题：（1）请直接写出，，的值：；；；（2），，在数轴上所对应的点分别为，，，请在如图的数轴上表示出，，三点；（3）在（2）的情况下．点，，开始在数轴上运动，若点，点以每秒1个单位的速度向左运动，同时，点以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．【解答】解：（1）由题意可得，，（2）（3）的值不会随着时间的变化而改变，的值为1．【例22】如图，在数轴上，点表示，点表示11，点表示18．动点从点出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为秒．（1）当为何值时，、两点相遇？相遇点所对应的数是多少？（2）在点出发后到达点之前，求为何值时，点到点的距离与点到点的距离相等；（3）在点向右运动的过程中，是的中点，在点到达点之前，求的值．【解答】解：（1）根据题意得，解得，，在的右侧，且，当时，、两点相遇，相遇点所对应的数是；（2）由题意得，的值大于0且小于7．若点在点的左边，则，解得．若点在点的右边，则，解得．综上所述