高考总复习文数（人教版）课时作业提升6函数的奇偶性与周期性

课时作业提升(六)函数的奇偶性与周期性A组夯实基础1．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是()A．y＝－eq\f(1,x) B．y＝log2|x|C．y＝1－x2 D．y＝x3－1解析：选C函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数．选项A，D是奇函数，不符合；选项B是偶函数但单调性不符合；只有选项C符合要求．2．(2018·江西三校联考)设f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为()A．x3 B．cosxC．1＋x D．xex解析：选B由题意，只要g(－x)为偶函数即可，由选项可知，只有选项B的函数为偶函数；故选B.3．(2018·江南十校联考)设f(x)＝x＋sinx(x∈R)，则下列说法错误的是()A．f(x)是奇函数 B．f(x)在R上单调递增C．f(x)的值域为R D．f(x)是周期函数解析：选D因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sinx)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；因为eq\a\vs4\al(fx)在R上单调递增，所以f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，故选D.4．(2018·抚顺模拟)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()A．2 B．－2C．－98 D．98解析：选B因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4，又f(x)在R上是奇函数，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.5．(2018·邯郸月考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lgx)＜0，则x的取值范围是()A．(0,1) B．(1,10)C．(1，＋∞) D．(10，＋∞)解析：选A依题意，函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，不等式f(lgx)＜0＝f(0)等价于lgx＜0，故0＜x＜1，故选A.6．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A．4 B．3C．2 D．1解析：选B由已知可得，－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，两式相加解得，g(1)＝3.7．(2018·大庆模拟)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为()A．奇函数 B．偶函数C．增函数 D．周期函数解析：选D对任意非零整数k，[x＋k]＝[x]＋k，所以f(x＋k)＝x＋k－[x]－k＝x－[x]＝f(x)，任意非零整数均是函数f(x)的周期．故选D.8．(2018·石家庄模拟)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－eq\r(2))＝____________.解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(－eq\r(2))＝f(eq\r(2))＝log2eq\r(2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝____________.解析：∵f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，∴f(x＋4)＝eq\f(1,fx＋2)＝f(x)，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝eq\f(1,f1)＝－eq\f(1,5).答案：－eq\f(1,5)10．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是奇函数，则实数a的值为____________.解析：设g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为偶函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(x)＝h(－x)，解得a＝1.答案：111．若f(x)，g(x)是定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x2－x＋1)，求f(x)的表达式．解：在f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x2－x＋1)中用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x2－－x＋1)，又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以－f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x2＋x＋1)，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋gx＝\f(1,x2－x＋1)，,－fx＋gx＝\f(1,x2＋x＋1)，))两式相减得f(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2－x＋1)－\f(1,x2＋x＋1)))＝eq\f(x,x4＋x2＋1).12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logeq\f(1,2)x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝logeq\f(1,2)(－x)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)x，x>0，,0，x＝0，,log\f(1,2)－x，x<0.))(2)因为f(4)＝logeq\f(1,2)4＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x2－1|<4，解得－eq\r(5)<x<eq\r(5)，即不等式的解集为(－eq\r(5)，eq\r(5))．B组能力提升1．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)．若f(x)在[－1,0]上是减函数，则函数f(x)在[1,3]上()A．单调递增 B．单调递减C．先增后减 D．先减后增解析：选D由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为2.又f(x)在[－1,0]上是减函数且f(x)是偶函数，所以f(x)在[0,1]上是增函数，在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，故函数f(x)在[1,3]上先减后增．2．(2018·惠州模拟)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(3)＝3，则f(2019)的值为()A．3 B．0C．－3 D．±3解析：选A因为g(－x)＝f(－x－1)，所以－g(x)＝f(x＋1)．又g(x)＝f(x－1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2019)＝f(3)＝3.3．(2018·江西模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1)上单调递增，记a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＝c B．b＞a＝cC．b＞c＞a D．a＞c＞b解析：选A依题意得，f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数，f(2)＝f(0)＝0，又f(3)＝－f(2)＝0，且f(x)在[0,1)上是增函数，于是有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＞f(0)＝f(2)＝f(3)，即a＞b＝c.4．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝____________.解析：∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(4－x)＝f(x)，∴f(4－1)＝f(1)＝f(3)＝3，即f(1)＝3.∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(－1)＝f(1)＝3.答案：35．(2018·沧州一中月考)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0.给出下列命题：①f(3)＝0；②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；④函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为____________.(把所有正确命题的序号都填上)解析：对①，对于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，令x＝－3，则f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(3)＝0；对②，由①知f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期为6，又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x＋6)＝f(－x)，而f(x)的周期为6，所以f(x＋6)＝f(－6＋x)，f(－x)＝f(－x－6)，所以f(－6－x)＝f(－6＋x)，所以直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；对③，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0.所以函数y＝f(x)在[0,3]上为增函数，因为f(x)是R上的偶函数，所以函数y＝f(x)在[－3,0]上为减函数，而f(x)的周期为6，所以函数y＝f(x)在[－9，－6]上为减函数；对④，f(3)＝0，f(x)的周期为6，所以f(－9)＝f(－3)＝f(3)＝f(9)＝0，所以y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．答案：①②④6．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)(2)令x1＝x2＝－1，有f(