浙江省杭州市高三下学期4月教学质量检测数学试题2

2023学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟.2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3．考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数最小正周期是A. B.C D.2.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A.若则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则3.已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）A.30° B.60° C.90° D.120°4.设甲：“函数在单调递增”，乙：“”，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.设数列满足．设为数列的前项的和，则（）A.110 B.120 C.288 D.3066.将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者至少去一个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是（）A.300 B.240 C.150 D.507.设集合，且，函数（且），则（）A.为增函数 B.为减函数C.为奇函数 D.为偶函数8.在中，已知．若，则（）A无解 B.2 C.3 D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知关于的方程的两根为和，则（）A. B.C. D.10.已知函数对任意实数均满足，则（）A. B.C. D.函数在区间上不单调11.过点的直线与抛物线C：交于两点．抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（）A直线与抛物线C有2个公共点B.直线恒过定点C.点的轨迹方程是D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出与圆相切且方向向量为的一条直线的方程______．13.函数的最大值为______．14.机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，令，求证：．16.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．17.如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，．（1）证明：；（2）若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．18.已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1.（1）求点的坐标.（2）过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点.（ⅰ）证明：点在定直线上；（ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.19.在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为．（1）若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则．注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率）（ⅰ）完成下表；0123（ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值．（2）把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．