天津市部分学校2025届高二上数学期末质量检测模拟试题含解析

天津市部分学校2025届高二上数学期末质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线y＝lnx在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为（）A.1 B.eC.－1 D.2．某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择（）网站①评价人数网站①好评率网站②评价人数网站②好评率餐馆甲100095%100085%餐馆乙1000100%200080%餐馆丙100090%100090%餐馆丁200095%100085%A.餐馆甲 B.餐馆乙C.餐馆丙 D.餐馆丁3．已知球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为（）A. B.C. D.4．双曲线的焦距是（）A.4 B.C.8 D.5．世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.2206．一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题是“甲同学解出试题”，命题是“乙同学解出试题”，则命题“至少一位同学解出试题”可表示为（）A. B.C. D.7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上.若为钝角三角形，则的取值范围是A. B.C. D.8．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B.C. D.9．在下列四条抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（）A. B.C. D.10．函数的单调增区间为（）A. B.C. D.11．数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（）A. B.C. D.12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（）A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆的右顶点为P，右焦点F与抛物线的焦点重合，的顶点与的中心O重合.若与相交于点A，B，且四边形为菱形，则的离心率为___________.14．将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，则第22组中的第一个数是_________15．已知等比数列的前n项和为，且满足，则_____________16．已知正方形的边长为2，对部分以为轴进行翻折，翻折到，使二面角的平面角为直二面角，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在数列中，，点在直线上.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，且，求数列的前项和.18．（12分）已知椭圆，点在上，，且（1）求出直线所过定点的坐标；（不需要证明）（2）过A点作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19．（12分）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，….（参考数据：，，.）（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；（2）将（1）中的递推关系表示成的形式，其中k，r为常数；（3）求的值（精确到1）.20．（12分）已知（1）若函数在上有极值，求实数a的取值范围；（2）已知方程有两个不等实根，证明：（注：是自然对数的底数）21．（12分）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，，，用向量表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值22．（10分）在棱长为4的正方体中，点分别在线段上，点在线段延长线上，，，连接交线段于点.（1）求证平面；（2）求异面直线所成角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设出点坐标，结合导数列方程，由此求得切点坐标并求得切线的斜率.【详解】设切点为，，故在点的切线的斜率为，所以，所以切点为，切线的斜率为.故选：D2、D【解析】根据给定条件求出各餐馆总好评率，再比较大小作答.【详解】餐馆甲的总好评率为：，餐馆乙的总好评率为：，餐馆丙的好评率为：，餐馆丁的好评率为：，显然，所以餐馆丁的总好评率最高.故选：D3、B【解析】根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解.【详解】由球的性质可知，截面圆的半径为，所以截面的面积.故选：B4、C【解析】根据，先求半焦距，再求焦距即可.【详解】解：由题意可得，，∴，故选：C【点睛】考查求双曲线的焦距，基础题.5、C【解析】依题意，每一个单音的频率构成一个等比数列，由，算出公比，结合，即可求出.【详解】设第一个单音的频率为，则最后一个单音的频率为，由题意知，且每一个单音的频率构成一个等比数列，设公比为，则，解得：又，则与第四个单音的频率最接近的是311,故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列通项公式的运算，解题的关键是分析题意将其转化为等比数列的知识，考查学生的计算能力，属于基础题.6、D【解析】根据“或命题”的定义即可求得答案.【详解】“至少一位同学解出试题”的意思是“甲同学解出试题，或乙同学解出试题”.故选：D.7、C【解析】根据双曲线的几何性质，结合余弦定理分别讨论当为钝角时的取值范围，根据双曲线的对称性，可以只考虑点在双曲线上第一象限部分即可.【详解】由题：双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，必有，若为钝角三角形，根据双曲线的对称性不妨考虑点在双曲线第一象限部分：当为钝角时，在中，设，有，，即，，所以；当时，所在直线方程，所以，，，根据图象可得要使，点向右上方移动，此时，综上所述：的取值范围是.故选：C【点睛】此题考查双曲线中焦点三角形相关计算，关键在于根据几何意义结合特殊情况分类讨论，体现数形结合思想.8、D【解析】原不等式等价于，根据的图象判断函数的单调性，可得和的解集，再分情况或解不等式即可求解.【详解】由函数的图象可知：在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，；当时，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集为：，故选：D.9、D【解析】由题意可知，然后分析判断即可【详解】由题意知，即可满足题意，故A，B，C错误，D正确.故选：D10、D【解析】先求定义域，再求导数，令解不等式，即可.【详解】函数的定义域为令，解得故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.11、D【解析】举特例排除ABC，分和讨论确定D.【详解】A.当时，，不符；B.当时，，不符；C.当时，，不符；D.当时，，当时，，符合.故选：D.12、B【解析】利用余弦定理化角为边，从而可得出答案.【详解】解：因为，所以，则，所以，所以是等腰三角形.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设抛物线的方程为得到，把代入椭圆的方程化简即得解.【详解】设抛物线的方程为.由题得，代入椭圆的方程得，所以，所以，所以因为，所以.故答案为：【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（根据已知求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（直接由已知得到关于离心率的方程解方程即得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.14、【解析】由已知，第组中最后一个数即为前组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，从而就可得第22组的第一个数.【详解】由条件可知，第21组的最后一个数为，所以第22组的第1个数为.故答案为：15、##31.5【解析】根据等比数列通项公式，求出，代入求和公式，即可得答案.【详解】因为数列为等比数列，所以，又，所以，所以.故答案为：16、-2【解析】根据，则，根据条件求得向量夹角即可求得结果.【详解】由题知，，取的中点O，连接，如图所示，则，又二面角的平面角为直二面角，则，又，则，为等边三角形，从而，则，故答案为：-2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由定义证明数列是等差数列，再由得出通项公式；（2）先由求和公式得出，再由裂项相消求和法求和即可.【小问1详解】由题意可知，，所以数列是公差的等差数列又，所以，故小问2详解】，则故18、（1）（2）存在，【解析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理列出方程，求出定点坐标，当斜率不存在时，设出点的坐标进行求解；（2）结合第一问的定点坐标，结合直角三角形斜边中线得到存在点，使得为定值，求出结果.【小问1详解】设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去并整理得：，可得，因为，所以，即，根据，代入整理可得：，所以，整理化简得:，因为不在直线上，所以，故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：，解得：或（舍）.此时直线过点【小问2详解】由（1）可知因为，取中点，则此时，【点睛】直线过定点问题，一般处理思路是分斜率存在和斜率不存在两种情况，特别是斜率存在时，设出直线为，联立后用韦达定理得到两根之和与两根之积，结合题干条件得到等量关系，求出的关系，进而得到定点坐标.19、（1）（2）（3）10626【解析】（1）根据题意，建立递推关系即可；（2）利用待定系数法求解得.（3）利用等比数列求和公式，结合已知数据求解即可.【小问1详解】解：因为某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且每年年底卖出100头牛，所以，且.【小问2详解】解：将化成，因为所以比较的系数，可得，解得.所以（1）中的递推公式可以化为.【小问3详解】解：由（2）可知，数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，则.所以.20、（1）（2）证明见解析.【解析】（1）利用导数判断出在上单增，在上单减，在处取得唯一的极值，列不等式组，即可求出实数a的取值范围；（2）记函数，把证明，转化为只需证明，用分析法证明即可.【小问1详解】，定义域为，.令，解得：；令，解得：所以在上单增，在上单减，在处取得唯一的极值.要使函数在上有极值，只需，解得：，即实数a的取值范围为.【小问2详解】记函数.则函数有两个不等实根.因为，，两式相减得，，两式相加得，.因为，所以要证，只需证明，只需证明，只需证明，.证.设，只需证明.记，则，所以在上2单增，所以，所以，即，所以.即证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数证明不等式21、（1）；