湖南省常德外国语学校2025届高二上数学期末教学质量检测模拟试题含解析

湖南省常德外国语学校2025届高二上数学期末教学质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线的焦点是A. B.C. D.2．若函数的导函数为偶函数，则的解析式可能是（）A. B.C. D.3．设为实数，则曲线：不可能是（）A.抛物线 B.双曲线C.圆 D.椭圆4．已知，若与的展开式中的常数项相等，则（）A.1 B.3C.6 D.95．方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A. B.C.或 D.6．已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为9，则的值为（）A.1 B.2C.3 D.47．设命题，则为A. B.C. D.8．已知等差数列中，，则（）A.15 B.30C.45 D.609．已知全集，，（）A. B.C. D.10．平行六面体的各棱长均相等，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.11．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（）A.130 B.132C.140 D.14412．抛物线的焦点到准线的距离是A.2 B.4C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某校有高一学生人，高二学生人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为的样本，已知从高一学生中抽取人，则________14．设为三角形的一个内角，已知曲线：，则可能是___________.（写出不同曲线的名称，尽可能多.注：在一些问题情景中，直线可以理解成是特殊的曲线）15．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，则5a+b＝__16．圆与圆的公共弦长为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求函数在内的零点个数.18．（12分）如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.19．（12分）已知圆C1圆心为坐标原点，且与直线相切（1）求圆C1的标准方程；（2）若直线l过点M（1，2），直线l被圆C1所截得的弦长为，求直线l的方程20．（12分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）已知直线与曲线C相交于A，B两点，求.21．（12分）已知圆C经过点，，且它的圆心C在直线上.（1）求圆C的方程；（2）过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求三角形PMN的面积.22．（10分）正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4.E为棱上的动点，F为棱的中点.（1）证明：；（2）若E为棱上的中点，求直线BE到平面的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出即得焦点坐标.【详解】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.2、C【解析】根据题意，求出每个函数的导函数，进而判断答案.【详解】对A，，为奇函数；对B，，为奇函数；对C，，为偶函数；对D，，既不是奇函数也不是偶函数.故选：C.3、A【解析】根据圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程和抛物线的方程特征即可判断.【详解】解：对A：因为曲线C的方程中都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲线C不可能是抛物线，故选项A正确；对B：当时，曲线C为双曲线，故选项B错误；对C：当时，曲线C为圆，故选项C错误；对D：当且时，曲线C为椭圆，故选项D错误；故选：A.4、B【解析】根据二项展开式的通项公式即可求出【详解】的展开式中的常数项为，而的展开式中的常数项为，所以，又，所以故选：B5、D【解析】根据曲线为焦点在y轴上的椭圆可得出答案.【详解】因为方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，所以，解得.故选：D.6、C【解析】根据椭圆定义，和条件列式，再通过变形计算求解.【详解】由条件可知，，即，解得：.故选：C【点睛】本题考查椭圆的定义，焦点三角形的性质，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.7、C【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.8、D【解析】根据等差数列的性质，可知，从而可求出结果.【详解】解：根据题意，可知等差数列中，，则，所以.故选：D.9、C【解析】根据条件可得，则，结合条件即可得答案.【详解】因，所以，则，又，所以，即.故选：C10、B【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根据向量夹角公式求出【详解】如图所示：不妨设棱长为1，，，所以＝＝，，，即，故异面直线与所成角的余弦值为故选：B注意事项：1.将答案写在答题卡上2.本卷共10小题，共80分.11、A【解析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，所以，故，故选:A12、D【解析】因为抛物线方程可化为，所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选D.考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据分层抽样的等比例性质列方程，即可样本容量n.【详解】由分层抽样的性质知：，可得.故答案为：14、焦点在轴上的椭圆，焦点在轴上的双曲线，两条直线.【解析】讨论，和三种情况，进而根据曲线方程的特征得到答案.【详解】若，则曲线：，而，曲线表示焦点在y轴上的椭圆；若，则曲线：或，曲线表示两条直线；若，则曲线：，而，曲线表示焦点在x轴上的双曲线.故答案为：焦点在y轴上椭圆，焦点在x轴上的双曲线，两条直线.15、36【解析】根据方向向量和平面法向量的定义即可得出，然后即可得出，然后求出a，b的值，进而求出5a+b的值【详解】∵l⊥α，∴，∴，解得，∴故答案为：3616、【解析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，即该直线截其中一圆求弦长即可【详解】圆与圆两式相减得，公共弦所在直线方程为：圆，圆心为到公共弦的距离为：公共弦长故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当，在单调递增；当，在单调递增,在单调递减.（2）0.【解析】（1）求得，对参数分类讨论，即可由每种情况下的正负确定函数的单调性；（2）根据题意求得，利用进行放缩，只需证即，再利用导数通过证明从而得到恒成立，则问题得解.【小问1详解】以为，其定义域为，又，故当时，，在单调递增；当时，令，可得，且令，解得，令，解得，故在单调递增，在单调递减.综上所述：当，在单调递增；当，在单调递增，在单调递减.【小问2详解】因为，故可得，则，；下证恒成立，令，则，故在单调递减，又当时，，故在恒成立，即；因为，故，令，下证在恒成立，要证恒成立，即证，又，故即证，令，则，令，解得，此时该函数单调递增，令，解得，此时该函数单调递减，又当时，，也即；令，则，令，解得，此时该函数单调递减，令，解得，此时该函数单调递增，又当时，，也即；又，故恒成立，则在恒成立，又，故当时，恒成立，则在上的零点个数是.【点睛】本题考察利用导数研究含参函数的单调性，以及函数零点问题的处理；本题第二问处理的关键是通过分离参数和构造函数，证明恒成立，属综合困难题.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用面面垂直和线面垂直的性质定理可证得；由菱形边长和角度的关系可证得；利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）以为坐标原点建立起空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.详解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，，四边形为菱形且为中点，，又，，又，，平面，，平面.（2）以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，则，，，设平面的法向量，则，令，则，，，设平面的法向量，则，令，则，，，，二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质定理的应用，属于常考题型.19、（1）（2）或【解析】（1）由圆心到直线的距离求得半径，可得圆C1的标准方程；（2）当直线的斜率不存在时，求得直线l被圆C1所截得的弦长为，符合题意；当直线l的斜率存在时，设出直线方程，由已知弦长可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求k，则直线方程可求【小问1详解】∵原点O到直线的距离为，∴圆C1的标准方程为；【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，代入，得，即直线l被圆C1所截得的弦长为，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线方程为，即∵直线l被圆C1所截得的弦长为，圆的半径为2，则圆心到直线l的距离，解得∴直线l的方程为，即综上，直线l的方程为或20、（1）；（2）.【解析】（1）首先将圆的参数方程华为普通方程，再转化为极坐标方程即可.（2）首先联立得到，再求的长度即可.【详解】（1）将曲线C的参数方程，（为参数）化为普通方程，得，极坐标方程为.（2）联立方程组，消去得，设点A，B对应的极径分别为，，则，，所以.21、（1）；（2）.【解析】（1）由题设知，设圆心，应用两点距离公式列方程求参数a，进而确定圆心坐标、半径，写出圆C的方程；（2）利用两点距离公式、切线的性质可得、，再应用三角形面积公式求三角形PMN的面积.【小问1详解】由已知，可设圆心，且，从而有，解得.所以圆心，半径.所以，圆C的方程为.【小问2详解】连接PC，CM，CN，MN，由（1）知：圆心，半径.所以.又PM，PN是圆C的切线，所以，，则，，所以，所以.22、（1）证明见解析；（2）.【解析】(