浙江省富阳市第二中学2025届数学高二上期末学业水平测试模拟试题含解析

浙江省富阳市第二中学2025届数学高二上期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线与平行，则的值为（）A. B.C. D.2．下列说法正确的是（）A.空间中的任意三点可以确定一个平面B.四边相等的四边形一定是菱形C.两条相交直线可以确定一个平面D.正四棱柱的侧面都是正方形3．某企业甲车间有200人，乙车间有300人，现用分层抽样的方法在这两个车间中抽取25人进行技能考核，则从甲车间抽取的人数应为（）A.5 B.10C.8 D.94．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数的最小值为（）A. B.C. D.5．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.6．若数列满足，，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.7．若直线与曲线只有一个公共点，则m的取值范围是（）A. B.C.或 D.或8．直线的倾斜角为（）A.30° B.60°C.90° D.120°9．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小张在D处观测，测得A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）海里.A. B.C. D.1010．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里11．下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则12．直线（t为参数）被圆所截得的弦长为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的图象在点处的切线方程为___________.14．若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________.15．抛物线的准线方程是，则实数___________.16．已知实数，满足不等式组，则目标函数的最大值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P.（1）求动点P的轨迹的方程；（2）过点的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.18．（12分）已知曲线C的方程为（1）判断曲线C是什么曲线，并求其标准方程；（2）过点的直线l交曲线C于M，N两点，若点P为线段MN的中点，求直线l的方程19．（12分）如图，四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面为菱形，且平面平面，，为上一点，满足.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知抛物线的焦点为F，倾斜角为45°的直线m过点F，若此抛物线上存在3个不同的点到m的距离为，求此抛物线的准线方程21．（12分）已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数有两个不相等的零点，证明：22．（10分）已知等差数列的前项和满足，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由两直线平行可得，即可求出答案.【详解】直线与平行故选：C.2、C【解析】根据立体几何相关知识对各选项进行判断即可.【详解】对于A，根据公理2及推论可知，不共线的三点确定一个平面，故A错误；对于B，在一个平面内，四边相等的四边形才一定是菱形，故B错误；对于C，根据公理2及推论可知，两条相交直线可以确定一个平面，故C正确；对于D，正四棱柱指上、下底面都是正方形且侧棱垂直于底面的棱柱，侧面可以是矩形，故D错误.故选：C3、B【解析】根据分层抽样的定义即可求解.【详解】从甲车间抽取的人数为人故选：B4、A【解析】首先解不等式得到或，根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】，解得或，因为“”的必要不充分条件是“或”，所以.实数的最小值为.故选：A5、D【解析】结合导数以及函数的奇偶性判断出的单调性，由此化简不等式来求得不等式的解集.【详解】当时，单调递增，，所以单调递增.因为是偶函数，所以当时，单调递减.，，，或.即不等式的解集为.故选：D6、B【解析】根据等差数列的定义和通项公式直接得出结果.【详解】因为，所以数列是等差数列，公差为1，所以.故选：B7、D【解析】根据曲线方程的特征，发现曲线表示在轴上方的图象，画出图形，根据图形上直线的三个特殊位置，当已知直线位于直线位置时，把已知直线的解析式代入椭圆方程中，消去得到关于的一元二次方程，由题意可知根的判别式等于0即可求出此时对应的的值；当已知直线位于直线及直线的位置时，分别求出对应的的值，写出满足题意得的范围，综上，得到所有满足题意得的取值范围【详解】根据曲线，得到，解得：；，画出曲线的图象，为椭圆在轴上边的一部分，如图所示：当直线在直线的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，把直线代入椭圆方程得：，得到，即，化简得：，解得或(舍去)，则时，直线与曲线只有一个公共点；当直线在直线位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时，当直线在直线位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时，则当时，直线与曲线只有一个公共点，综上，满足题意得的范围是或故选：D8、B【解析】根据给定方程求出直线斜率，再利用斜率的定义列式计算得解.【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，显然，则有，解得，直线的倾斜角为.故选：B9、C【解析】分别在和中，求得的长度，再在中，利用余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，可得，所以，在中，可得，在直角中，因为，所以，在中，由余弦定理可得，所以.故选：C.10、B【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故选：B11、D【解析】通过举反列即可得ABC错误，利用不等式性质可判断D【详解】A.当时，，但，故A错；B.当时，，故B错；C.当时，，但，故C错；D.若，则，D正确故选：D12、C【解析】求得直线普通方程以及圆的直角坐标方程，利用弦长公式即可求得结果.【详解】因为直线的参数方程为：（t为参数），故其普通方程为，又，根据，故可得，其表示圆心为，半径的圆，则圆心到直线的距离，则该直线截圆所得弦长为.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求导得到，计算，根据点斜式可得到切线方程.【详解】因此，则，故，又点在函数的图象上，故切线方程为：，即.故答案为：14、3【解析】解出不等式x2-x-6>0,由“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,求出a的最小值.【详解】由x2-x-6>0，解得x<-2或x>3.因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集，即a≥3，故答案为:3.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的应用,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.15、##【解析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数.【详解】抛物线化为标准方程：，其准线方程是，而所以，即，故答案为：16、##【解析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界来求得的最大值.【详解】，画出可行域如下图所示，由图可知，当时，取得最大值.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在，T(0，1)﹒【解析】(1)根据椭圆的定义，结合即可求P的轨迹方程；(2)假设存在T(0，t)，设AB方程为，联立直线方程和椭圆方程，代入＝0即可求出定点T.【小问1详解】由题可知，，则，由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点，且长轴长为的椭圆，∴，∴，∴P的轨迹方程为C：；【小问2详解】假设存在T(0，t)满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为，联立，化为，易知恒成立，∴(*)由题可知，将(*)代入可得：即∴，解，∴在y轴上存在定点T(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点T.18、（1）；（2）.【解析】(1)根据椭圆的定义即可判断并求解；(2)根据点差法即可求解中点弦斜率和中点弦方程.【小问1详解】设，，E(x，y)，∵，，且，点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆设椭圆C的方程为，记，则，，，，，曲线的标准方程为【小问2详解】根据椭圆对称性可知直线l斜率存在，设，则，由①－②得，，∴l：，即.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设为中点，连接，根据，证明平面得到答案.（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，计算各点坐标，计算平面和平面的法向量，根据向量夹角公式计算得到答案.【详解】（1）设为中点，连接，，∵，∴，又∵底面四边形为菱形，，∴为等边三角形，∴，又∴，，平面，∴平面，而平面，∴.（2）∵平面平面，平面平面，，∴平面以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，由，，，即，∴，，，设为平面的法向量，则由，令，得，，∴，设为平面的法向量，则由，令，得，，∴，设二面角的平面角为，则，∴二面角的的余弦值为.【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，建立空间直角坐标系是解题的关键.20、【解析】设出直线m的方程，利用方程组联立、一元二次方程根的判别式求出与直线m平行的抛物线的切线方程，结合平行线间距离公式进行求解即可.【详解】抛物线的焦点坐标为：，设直线m为，设为与抛物线相切，联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，则，解得，且，故两平行线间的距离，解得，故所求的准线方程为21、（1）单调递增区间是(4,+∞)，单调递减区间是(0,4)；（2）证明见解析.【解析】（1）求的导函数，结合定义域及导数的符号确定单调区间；（2）法一：讨论、时的零点情况，即可得，构造，利用导数研究在(0,2a)恒成立，结合单调性证明不等式；法二：设，由零点可得，进而应用分析法将结论转化为证明，综合换元法、导数证明结论即可.【小问1详解】函数的定义域为(0,+∞)，当a=2时，，则令得，x>4；令得，0<x<4；所以,单调递增区间是(4,+∞)；单调递减区间是(0,4).【小问2详解】法一：当a≤0时，>0在(0,+∞)上恒成立，故函数不可能有两个不相等的零点，当a>0时，函数在(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减，因为函数有两个不相等的零点，则，不妨设，设，（0<x<2a），则，所以，由a>0知：在(0,2a)恒成立，所以在(0,2a)上单调递减，即>=0，所以，即，又，故，因为，所以，因为函数在(2a,+∞)上单调递增，所以，即法二：不妨设，由题意得，，得，即，要证，只需证，即证：，即，令，，则，所以在区间(1,+∞)单调递减，故<=0，即恒成立因此，所以.