河北省沧衡名校联盟2025届高三上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省沧衡名校联盟2025届高三上学期11月期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由题意可得，解得．故选：B.2.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，当时，不满足，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，因为，所以，所以，则，故C正确；对于D，当时，不满足，故D错误.故选：C.3.在等比数列中，，则（）A B.81 C. D.243【答案】D【解析】设数列的公比为，则，解得，所以.故选：D4.甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若甲是冠军，则乙不是冠军；若乙不是冠军，则甲是冠军或丙是冠军，所以“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充分不必要条件.故选：B5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以解得，所以.故选：A6.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A溶液的值约为（参考数据：，）A.0.268 B.0.87 C.1.13 D.1.87【答案】B【解析】由题意得..故选：B7.如图，AB是圆O的一条直径，CD是圆O的一条弦，点P在线段CD上，若，，则的最小值是（）A41 B.50 C.82 D.100【答案】C【解析】如图，连接.由题意得是线段的中点，所以.因为，所以，所以.因为，所以圆心到直线的距离，所以，所以，故的最小值是82.故选：C.8.已知函数在内恰有两个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，由在内恰有两个零点，得，解得，所以的取值范围是.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知复数，则（）A. B.C. D.在复平面内对应的点位于第一象限【答案】ACD【解析】因为，所以，所以，故A正确，B错误；因为，所以，故C正确.因为，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确．故选：ACD.10.设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（）A. B.的外接圆的面积是C.的面积的最大值是 D.的取值范围是【答案】BCD【解析】对于A项，因为，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，故A项错误．对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，则的外接圆的面积是，故B项正确．对于C项，由余弦定理可得，即①．因为②，当且仅当时，等号成立，所以由①②得，当且仅当时，等号成立，所以的面积，则C项正确．对于D项，由正弦定理可得，则，，所以又因为，所以，所以，所以，即取值范围是，故D项正确．故选：BCD.11.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（）A.B.的图象关于直线对称C.的图象关于点中心对称D.当时，【答案】ACD【解析】在上的奇函数满足，当时，，对于A，由，得，A正确；对于B，，，函数的图象不关于直线对称，B错误；对于C，由，得，则，因此函数的图象关于点中心对称，C正确；对于D，，当时，，设，则，于是，因此，所以，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，．，若，则___________．【答案】【解析】因为，，所以；因为，所以，解得.13.正偶数排列如图所表示第行第个数，如，若，则___________．【答案】【解析】由图形可知，是图形中第个数，由题意可知第行有个数，则前行一共有个数.当时，，当时，，则2024在第45行，即.因为，所以，则.14.已知函数，若对任意的成立，则正数的取值范围是______【答案】【解析】由，即，得.因为，所以.设，则.因为，所以，所以在上单调递增.因为，所以，所以，所以，所以.设，则.由，得，则在上单调递减；由，得，则在上单调递增.故，即.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求的大小；（2）若，且的面积是，求的值．解：（1）因为，所以因为，所以，所以，所以，即，所以，又，所以.（2）因为的面积是，所以，解得.由余弦定理可得，又，即，则，即，故.16.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．解：（1）函数，求导得，则，而，所以所求切线方程为，即.（2）设过点的切线的切点为，由（1）知，则切线斜率，切线方程为，而切线过点，则，即令，依题意，直线与函数的图象有3个交点，求导得，由，得或；由，得，则函数在上单调递增，上单调递减，当时，取得极大值，在时，取得极小值，当，即时，直线与函数的图象有3个交点，因此当时，过点可作曲线的三条切线，所以的取值范围为.17.设数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．解：（1）因为，所以当时，，所以，即.当时，，解得，则是首项为1，公比为3的等比数列，故．（2）由（1）可知当为奇数时，；当为偶数时，.当为奇数时，，当为偶数时，.综上，.18.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）求的单调递减区间；（3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围．解：（1）由题意可得，则.因为，且，所以.由图可知，则，解得.因为，所以.由图可知，解得.故.（2）令，解得，所以的单调递减区间是.（3）因为，所以，所以当，即时，取得最小值.因为存在，使得不等式成立，所以，即，解得，故的取值范围是．19.若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点.（1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一.（2）对任意x，，函数，都满足.①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点.②若，证明：当时，.参考数据：，.解：（1）由可得，由可得，解得，所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为0，（2）由可得对任意x，，恒成立，所以存常数，使得