2025届山东省泰安第十九中学高二数学第一学期期末调研模拟试题含解析

2025届山东省泰安第十九中学高二数学第一学期期末调研模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=A. B.C. D.2．数列，则是这个数列的第（）A.项 B.项C.项 D.项3．设双曲线C：的左、右焦点分别为，点P在双曲线C上，若线段的中点在y轴上，且为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A. B.2C. D.4．已知函数，要使函数有三个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.5．已知中，内角，，的对边分别为，，，，.若为直角三角形，则的面积为（）A. B.C.或 D.或6．若数列是等差数列，其前n项和为，若，且，则等于（）A. B.C. D.7．已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点、满足，，则（）A. B.C.2 D.8．过点作圆的切线，则切线的方程为（）A. B.C.或 D.或9．集合，，则（）A. B.C. D.10．如图，在直三棱柱中，，，E是的中点，则直线BC与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.11．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l：与椭圆C：相切于点P，椭圆C的焦点为，，由光学性质知直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的方程为（）A. B.C. D.12．若两直线与互相垂直，则k的值为（）A.1 B.-1C.-1或1 D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数据：1，1，3，4，6的方差是______.14．已知函数，___________.15．将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）16．已知球的半径为3，则该球的体积为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等比数列的公比，且，的等差中项为5，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M满足（1）求动点M的轨迹方程；（2）若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点，且，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点19．（12分）已知直线，圆.（1）求证：直线l恒过定点；（2）若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长.20．（12分）如图，点О是正四棱锥的底面中心，四边形PQDO矩形，（1）点B到平面APQ的距离：（2）设E为棱PC上的点，且，若直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，试求实数的值21．（12分）已知数列满足，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式;（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.22．（10分）已知双曲线C的方程为（），离心率为.（1）求双曲线的标准方程；（2）过的直线交曲线于两点，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D2、A【解析】根据数列的规律，求出通项公式，进而求出是这个数列的第几项【详解】数列为，故通项公式为，是这个数列的第项.故选：A.3、A【解析】根据是等腰直角三角形，再表示出的长，利用三角形的几何性质即可求得答案.【详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M，因为O为的中点，所以,而,则，为等腰三角形，故，由，得，又为等腰直角三角形，故，即，解得，即，故选：A.4、A【解析】要使函数有三个解，则与图象有三个交点，数形结合即可求解.【详解】要使函数有三个解，则与图象有三个交点，因为当时，，所以，可得在上递减，在递增，所以，有最小值，且时，，当趋向于负无穷时，趋向于0，但始终小于0，当时，单调递减，由图像可知：所以要使函数有三个零点，则.故选：A5、C【解析】由正弦定理化角为边后，由余弦定理求得，然后分类讨论：或求解【详解】由正弦定理，可化为：，即，所以，，所以，又为直角三角形，若，则，，，，若，则，，，故选：C6、B【解析】由等差数列的通项公式和前项和公式求出的首项和公差，即可求出.【详解】设等差数列的公差为，则解得：，所以.故选：B.7、D【解析】以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.【详解】以向量为基底向量，所以所以故选：D8、C【解析】设切线的方程为，然后利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解即可.【详解】圆的圆心为原点，半径为1，当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即所以，解得或所以切线的方程为或故选：C9、A【解析】先解不等式求得集合再求交集.【详解】解不等式得：，则有，解不等式，解得或，则有或，所以为.故选：A.10、D【解析】以，，的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.【详解】解：由题意知，CA，CB，CC1两两垂直，以，，的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，则令，得.因为，所以，故直线BC与平面所成角的正弦值为.故选：D.11、A【解析】先求得点坐标，然后求得的角平分线所在的直线的方程.【详解】，直线的斜率为，由于直线，与l的夹角相等，则的角平分线所在的直线的斜率为，所以所求直线方程为.故选：A12、B【解析】根据互相垂直的两直线的性质进行求解即可.【详解】由，因此直线的斜率为，直线的斜率为，因为两直线与互相垂直，所以，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##3.6【解析】先计算平均数，再计算方差.【详解】该组数据的平均数为，方差为故答案为：14、【解析】直接利用分段函数的解析式即可求解.【详解】因为，所以，所以.故答案为：-115、36【解析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，则共有种分配方案.故答案为：3616、【解析】根据球的体积公式计算可得；【详解】解：因为球的半径，所以球的体积；故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）根据条件列关于首项与公比的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】解析：（1）由题意可得：，∴∵，∴，∴数列的通项公式为.（2）∴上述两式相减可得∴【点睛】本题考查等比数列通项公式、错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.18、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据双曲线的定义求得的值得双曲线方程；（2）确定垂直于轴，设直线BP的方程为，设，，则，直线方程代入双曲线方程，由相交求得范围，由韦达定理，利用N、B、Q三点共线，且NQ斜率存在，由斜率相等得出的关系，代入韦达定理的结论可求得的值，从而得直线BP所过定点【小问1详解】因为，所以，动点M的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的左支，则，可得，，所以，点M的轨迹方程为；【小问2详解】证明：∵，∴直线PQ垂直于x轴，易知，直线BP的斜率存在且不为0，设直线BP的方程为，设，，则，联立，化简得：，直线与双曲线左支、右支各有一个交点，需满足或，∴，，又，又N、B、Q三点共线，且NQ斜率存在，∴，即，∴，∴，∴，化简得：，∴，∴，即，满足判别式大于0，即直线BP方程为，所以直线BP过定点19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）直线方程变形后令的系数等于0消去参数即可求得定点坐标.（2）先求出圆心C到直线l距离，然后用勾股定理即可求得弦长.【小问1详解】，联立得：即直线l过定点（.【小问2详解】由题意直线l的斜率，即，∴，圆，圆心，半径，圆心C到直线l的距离，所以直线l被圆C所截得的弦长为.20、（1）（2）或【解析】（1）以三棱锥等体积法求点到面距离，思路简单快捷.（2）由直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，可以列关于的方程，解之即可.【小问1详解】点О是正四棱锥底面中心，点О是BD的中点，四边形PQDO矩形，，两点到平面APQ的距离相等.正四棱锥中，平面，平面，，，设点B到平面APQ的距离为d，则，即解之得，即点B到平面APQ的距离为【小问2详解】取PC中点N，连接BN、ON、DN，则.平面平面正四棱锥中，，直线平面平面，平面平面，平面平面平面中，点E到直线ON的距离即为点E到平面的距离.中，，点P到直线ON的距离为△中，，设点E到平面的距离为d，则有，则则有，整理得，解之得或21、（1）（2）；或【解析】（1）由题意得到数列为公差为的等差数列，结合，，成等比数列，列出方程求得，即可得到数列的通项公式；（2）由，得到时，，当时，，当时，，结合等差数列的求和公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，数列满足，所以数列为公差为的等差数列，又由，，成等比数列，可得，即，解得，所以数列的通项公式.【小问2详解】解：由数列的通项公式，令，即，解得，所以当时，；当时，；当时，，所以当或时，取得最小值，最小值为.22、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，结