数字信号处理（第2版）课件 第2章-离散时间信号与系统

第2章离散时间信号与系统2.4离散时间系统2.3离散时间信号的z变换2.2离散时间信号的傅里叶变换(DTFT)2.1离散时间信号------序列2024/10/25dsp-chap2-201812.6用Matlab分析和实现离散时间信号和系统2.5离散时间系统处理连续时间信号2024/10/25dsp-chap2-20182学习目标：熟练描述离散时间信号x[n]（时间域及变换域），区分离散时间信号与连续时间信号的差异；

（a）离散时间信号的时域描述方法及序列

[n]和u[n]的应用；

（b）序列的傅里叶变换及其性质；

（c）序列的z变换及其性质。2.理解线性时不变性（LTI）离散时间系统及其描述方法

（a）LTI离散时间系统的单位冲激响应h[n]及其应用；

（b）线性常系数非齐次差分方程及其求解；（c）系统函数与频率响应；（d）LTI离散时间系统的因果性与稳定性。第2章离散时间信号与系统2.1离散时间信号—序列2.1.1离散时间信号的表示

只在某些离散瞬时给出函数值的时间函数，称为离散时间信号，简称为离散信号或序列（sequence）。用符号表示为：f(tn),x(tn)；若tn=nT（n=0,

1,

2,…），则表示为f(nT)或x(nT)或进一步简化为：f[n]，x[n]注：n只能取整数，表示各函数值在序列中出现的先后序号。称f[n]（或x[n]）为信号在第n个样点的“样本”或“样值”（sample）。2024/10/25dsp-chap2-201832.1.1离散时间信号的表示2024/10/25dsp-chap2-20184x1[n]12340

1n例：当n=0时，x1[n]|n=0=0；或：x1[0]=01．单位样值信号

[n]12340

1n1或：

[nm]1230

1n1mm

12．单位阶跃序列2024/10/25dsp-chap2-201852.1.1离散时间信号的表示u[n]12340

1n1

23．矩形序列RN[n]12340

1n1

2N

1N明显地：RN[n]=u[n]

u[n

N]

RN[n]称为长度为N的有限长度序列。4.单边实指数序列2024/10/25dsp-chap2-201862.1.1离散时间信号的表示5．单边正弦序列若

0

=

/10

周期N0

=20

2024/10/25dsp-chap2-201872.1.1离散时间信号的表示若

0

=

，设x2[n]=cos

0n=(1)nx2[n]12340

1n1

2

1

周期N2

=2若

0

=2，设x3[n]=cos2n----非周期序列对正弦序列如果：2

/

0

=p/q（p,q为互质整数）为有理数，则正弦序列为周期序列；如果：2/

0是无理数，则正弦序列是非周期序列。

0为序列正弦包络的振荡频率，也称为正弦序列的频率。例：2024/10/25dsp-chap2-201882.1.1离散时间信号的表示6．复指数序列2024/10/25dsp-chap2-201892.1.1离散时间信号的表示复数值：直角坐标表示：即x[n]=cos

0n+jsin

0n

极坐标表示：即2.1.2周期序列周期序列应满足：x[n]=x[n+rN]，0

n

N

1，r是任意整数设正弦序列：x[n]=cos

0n则取：x[n+rN]=cos(

0n+rN

0)，所以当且仅当

0rN=2

k（k是整数）时，正弦序列是周期序列，且周期为2024/10/25dsp-chap2-2018102.1.2周期序列例2.1-1

判断下列序列的周期性，若是周期序列，求出其周期。解：周期N1=8周期N2=10非周期序列N3=周期N4=42024/10/25dsp-chap2-2018112.1.2周期序列例1

比较下列连续周期信号与离散周期序列的频率特点(其中k是整数)：解：周期T1k=T1/k周期N2k=mN/rk随着整数k的增加，信号x1k(t)的周期T1k减小，

而频率k1增加；随着整数k的增加，序列x2k[n]的周期N2k不总是减小，

因而频率k1也不总是增加；2024/10/25dsp-chap2-2018122.1.2周期序列如：周期信号的傅里叶级数展开：当整数k=0,1,2，…,7变化时，其图形如下，可见其周期N2k不单调减小，因而频率k1也不单调增加；而当k=8,9,10，…,15等等变化时，其图形变化重复上述的序列变化。1n0816

1cosk

0n(a)

0=0，k=02461012141n0816

1cosk

0n(b)

0=

/4，k=1

12024/10/25dsp-chap2-2018132.1.2周期序列1n0816

1cosk

0n(d)

0=

/4，k=3

11n0816

1cosk

0n(f)

0=

/4，k=5

11n0816

1cosk

0n(c)

0=

/4，k=2

11n0816

1cosk

0n(e)

0=

/4，k=4

11n0816

1cosk

0n(h)

0=

/4，k=7

11n0816

1cosk

0n(g)

0=

/4，k=6

12.1.3序列的运算及参数特征（1）序列的加减：

x[n]=x1[n]

x2[n] （2）序列的乘积和数乘：

x[n]=x1[n]x2[n]

y[n]=ax[n]（3）序列移位：

y[n]=x[n–m] 从而有这样2024/10/25dsp-chap2-2018141、序列的基本运算：（4）序列的差分和累加运算：序列的一阶前向差分定义为：

x[n]=x[n+1]-x[n]序列的一阶后向差分定义为：

x[n]=x[n]

-

x[n-1]序列的累加运算定义为：

（5）序列的反褶：y[n]=x[-n]2024/10/25dsp-chap2-201815（6）序列的单位脉冲叠加运算：

2.1.3序列的运算及参数特征（7）序列的卷积和2024/10/25dsp-chap2-2018162.1.3序列的运算及参数特征卷积和的计算方法也类似于卷积积分的四个步骤，即反褶、时移、相乘、求和。例2.1-2

假设两序列分别为：求下列序列并画出它们的图形：（2）v[n]=2x[n

1]·y[n+2]（3）z[n]=y[n+2]+y[n2]解：2024/10/25dsp-chap2-2018172.1.3序列的运算及参数特征或通过表格列表法求解：x[n]322

1y[n]20

1

3

2

21644

2s[n]641

4

21（a）例2.1-2中卷积和序列s[n]4611

4

2

101234ns[n]（2）v[n]=2x[n

1]·y[n+2]={}=6

[n]（3）z[n]=y[

n+2]+y[n+2]={2，0，

，0，2}v[n]

6

10123nz[n]212

2

102n

22024/10/25dsp-chap2-2018182.1.3序列的运算及参数特征2、序列的特征：（1）奇序列和偶序列奇序列xod[n]满足：

xod[n]=

xod[

n]偶序列xev[n]满足：

xev[n]=xev[

n]x[n]=xod[n]+xev[n]其中：xod[n]={x[n]

x

n]}/2；

xev[n]={x[n]+x

n]}/2（2）序列的能量E和功率P序列的能量定义为：序列的功率定义为：当M

时，2024/10/25dsp-chap2-2018192.1.3序列的运算及参数特征2、序列的特征：（3）序列的长度N有限长度序列和无限长序列（4）因果序列如果n<0时，序列x[n]=0，则称序列x[n]是因果序列。例如：序列x[n]=｛1,2,3,0,0,0,

2,

1｝,

3

n

4，

则此序列的长度为N=8。有界序列：如果|x[n]|A（常数），称序列x[n是有界序列。例如：等幅变化的正弦序列x[n]=Acos(

0n+

0)是有界序列

（无线长度的）。2024/10/25dsp-chap2-2018202.1.4序列的产生（1）本质离散的自然序列如：人口统计数字，每年太阳黑子的平均数等等（统计的数据）（2）对连续信号的采样x[n]=xa(nT)=xa(t)|t=nTT----采样周期。在本章第5节具体讨论，更详细的分析可以参阅《信号与系统》教材。2.2离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）2.2.1序列DTFT的定义2024/10/25dsp-chap2-201821序列x[n]的DTFTX(ej

)定义为X(ej

)是

的连续函数，且还是周期函数，周期为2

。

称为数字角频率，量纲为弧度（rad）。DTFT存在的充分条件：序列x[n]绝对可和，即例2.2-1

求下列序列的DTFT。（1）x1[n]=

[n]；

（2）x2[n]=u[n]

u[n

N]；

（3）x3[n]=anu[n]，（|a|<1）2.2离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）2024/10/25dsp-chap2-201822解：根据DTFT的定义，有由于X(ej

)是以2

为周期的周期函数，从而其逆变换，即IDTFT为：序列x[n]及其DTFTX(ej

)总是一一对应的，通常记作DTFT变换对，即：2.2离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）2.2.2DTFT的特点与性质2024/10/25dsp-chap2-2018231.DTFT的特点X(ej

)的变量

是实的频率变量；X(ej

)是以2

为周期的周期函数；X(ej

)的函数值一般是复数值：直角坐标表示：

X(ej

)=Xre(ej

)+jXim(ej

)极坐标表示：

X(ej

)=|X(ej

)|ej

(

)，

其中：

|X(ej

)|----称为幅度频谱函数（简称幅度谱）

(

)=arg[X(ej

)]----称为相位频谱函数定义相位谱

(

)的取值范围为：

(

)<

，称该区间为相位谱的主值区间。2.2离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）2024/10/25dsp-chap2-201824例2.2-2

已知一周期连续谱如图2.2-2所示，求其对应的序列x[n]。X(ej

)

2

2

c1

c2

c2

c110解：根据IDTFT计算式，有当n=0时，当n

0时，2.2离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）2.2.2DTFT的特点与性质2024/10/25dsp-chap2-2018252.DTFT的性质记：x1[n]=x*[n]=xre[n]

jxim[n]x2[n]=x[

n]=xre[

n]+jxim[

n]则：证明：2.2离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）2024/10/25dsp-chap2-201826所以：Xcs(ej

)称为共轭对称函数，

其实部是偶函数，而虚部是奇函数；

且幅度谱是偶函数，相位谱是奇函数；Xca(ej

)为共轭反对称函数，正好与Xcs(ej

)相反，

其实部是奇函数，而虚部是偶函数。这一对关系也表明：实序列的DTFT是共轭对称函数Xcs(ej

)，因而幅度谱是偶函数，相位谱是奇函数。2.2离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）2024/10/25dsp-chap2-201827类似地：这一对关系也表明：共轭对称序列的DTFT是实函数Xre(ej

)，而共轭反对称序列的DTFT是纯虚函数jXim(ej

)。例2

求下列序列的DTFT，其中|a|<1。2.2离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）2024/10/25dsp-chap2-201828解：根据DTFT的定义，有2.2离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）2.2.3DTFT定理2024/10/25dsp-chap2-201829由于傅里叶变换对的一一映射关系，因此频域中傅里叶变换对信号的描述与时域中的时间函数对信号的描述具有等价性，那么序列x[n]在时域所做的各种运算(见2.1.3节)必然引起其频域函数X(ej

)产生相应的变化。为便于讲述，假设有两对DTFT对：1.线性定理：若x[n]=

g[n]+

h[n]，则

X(ej

)=

G(ej

)+

H(ej

)。2.序列移位：若x[n]=g[n

m]，

则

X(ej

)=e

jm

G(ej

)。3.频谱移位：

若4.卷积定理：若x[n]=g[n]*h[n]，

则

X(ej

)=G(ej

)H(ej

)。5.调制定理：

若x[n]=g[n]h[n]6.频域微分：

若x[n]=ng[n]，

则2.2离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）2.2.3DTFT定理2024/10/25dsp-chap2-2018307.帕斯瓦尔定理：或用信号的能量表示为(即如果：g[n]=h[n])例2.2-3

计算序列x[n]=(n+1)anu[n]，（|a|<1）的DTFTX(ej

)。解：记x1[n]=anu[n]，则

x[n]=nx1[n]+x1[n]根据例2.2-1，根据频域微分性质，有再根据线性性质，则得到2.2离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）2024/10/25dsp-chap2-201831例2.2-4

若序列x[n]=sin(

cn)/(

n)，证明：证明：根据帕斯瓦尔定理，知由例2.2-2的求解，得到从而例2.2-5

若序列x[n]=｛42

15

31

242｝，

6

n

2。

其DTFT为X(ej

)，求下列表达式的值。（1）X(ej0)，

（2）X(ej

)，2.2离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）2024/10/25dsp-chap2-201832解：（1）根据DTFT的定义，直接计算（2）类似（1）（3）根据IDTFT（4）根据帕斯瓦尔定理（5）根据频域微分定理和帕斯瓦尔定理2.3离散时间信号的z变换2.3.1z变换定义及其收敛域2024/10/25dsp-chap2-2018331.序列的z变换（也称双边z变换）定义为其中z是复变量，记为z=rejw，可以用复平面（z平面）上的点来定义：RezjImzz=ej

单位圆

j

11jz平面图2.3-1z平面及复变量z=ej

例2.3-1求下列序列的z变换：解：2.3离散时间信号的z变换2024/10/25dsp-chap2-201834RezjImz|z|=|a|z平面O解：RezjImz|z|=|a|z平面O对任意给定的序列，使z变换收敛的z值集合称为收敛域(ROC)。一般情况，双边z变换的收敛域是一个环形区域：R+<|z|<R

。2.z变换的收敛域（ROC）例3求下列序列的z变换：2.3离散时间信号的z变换2024/10/25dsp-chap2-201835解：其中如果，0<|a|<1，则如果，|a|

1，则2.3离散时间信号的z变换2024/10/25dsp-chap2-2018362.z变换的收敛域（ROC）（1）有限长序列：设x[n]=0，

n

<

n1且n>n2，则其z变换的ROC至少

为0<|z|<

，但有时可能会包括z=0或z=

；（2）右边序列：设x[n]=0，n<n1，则其z变换的ROC是z平面上一个

以原点为圆心、半径为R+的圆的外部，即|z|>R+；（3）左边序列：设x[n]=0，n>n2，则其z变换的ROC是z平面上一个

以原点为圆心、半径为R

的圆的内部，即|z|<R

；（4）双边序列：设x[n]=0，n取任意值，则其z变换的ROC是z平面上

的一个圆环，即

R+<|z|<R

。3.常见z变换的函数形式：2.3离散时间信号的z变换2024/10/25dsp-chap2-2018373.常见z变换的函数形式：其中系数ai，bi都是实数，也即一般的常见z变换是一个分式形式，其分子和分母分别是z的高次实系数多项式，又称为有理分式。根据多项式分解理论，又可以写为右端的因式分解表达，那么：零点：当z=zi时，X(zi)=0，则zi称为X(z)的零点；极点：当z=pi时，X(pi)=(或1/X(pi)=0)，则pi称为X(z)的极点。零点：极点：2.3离散时间信号的z变换2.3.2逆z变换及其求解2024/10/25dsp-chap2-201838----部分分式展开法例2.3-3

求z变换函数的逆z变换：解：将展开成部分分式为其中：2.3离散时间信号的z变换2024/10/25dsp-chap2-2018392.3离散时间信号的z变换2.3.3z变换定理2024/10/25dsp-chap2-201840假设z变换对：g[n]

G(z)，Rg+<|z|<Rg_，h[n]

H(z)，Rh+<|z|<Rh_1.线性定理：若x[n]=

g[n]+

h[n]，则

X(z)=

G(z)+

H(z)，max{Rg+，Rh+}<|z|<min{Rg_，Rh_}。2.序列移位：若x[n]=g[n

m]，则X(z)=z

mG(z)，Rg+<|z|<Rg_。3.z域尺度变换：若x[n]=

ng[n]，则X(z)=G(z/

)，Rg+<|z/

|<Rg_。4.序列共轭：若x[n]=g*[n]，则X(z)=G*(z*)，Rg+<|z|<Rg_。5.序列反转：若x[n]=g[

n]，则X(z)=G(1/z)，Rg+<|1/z|<Rg_。6.卷积定理：若x[n]=g[n]*h[n]，则X(z)=G(z)H(z)，

max{Rg+，Rh+}<|z|<min{Rg_，Rh_}。7.z域微分：

若x[n]=ng[n]，则2.3离散时间信号的z变换2.3.3z变换的性质2024/10/25dsp-chap2-201841假设z变换对：g[n]

G(z)，Rg+<|z|<Rg_，h[n]

H(z)，Rh+<|z|<Rh_8.初值定理：因果序列x[n]，其z变换为X(z)，则序列x[n]的初值为：9.终值定理：因果序列x[n]，其z变换为X(z)，则序列x[n]的终值为：10.调制定理：若x[n]=g[n]h[n]，则11.帕斯瓦尔定理：2.3离散时间信号的z变换2.3.3z变换的性质2024/10/25dsp-chap2-201842例2.3-4求z变换，设X(z)=Z

[x[n]]。(1)求Y(z)，已知(2)求

W(z)，已知w[n]=rncos(

0n)x[n]。解：（1）由于根据z变换的移位性质和线性性质，有：Y(z)

z

1Y(z)=X(z)，（2）利用Eular公式：由z域尺度变换性质：2.3离散时间信号的z变换2.3.3z变换的性质2024/10/25dsp-chap2-201843单边z变换移位序列x[n

m]的单边z变换也要做相应的修正Z

[x[n-1]]=z-1X(z)+x[-1]，Z

[x[n-2]]=z-2X(z)+z-1x[-1]+x[-2]Z

[x[n+1]]=zX(z)-zx[0]，

Z

[x[n+2]]=z2X(z)-z2x[0]-zx[1]例2.3-5利用z变换求差分方程在不同条件下的解y[n]，n

0。

y[n]+2y[n-1]-

3y[n-2]=x[n]+

x[n-1]（1）y[-1]=0，y[-2]=0，x[n]=

[n]；(2)y[-1]=1，y[-2]=-1，x[n]=u[n]解：对差分方程两边分别取单边z变换，2.3离散时间信号的z变换2.3.3z变换的性质2024/10/25dsp-chap2-201844(1)代入条件(1)，即X(z)=1，y[-1]=0，

y[-2]=0(2)代入条件(2)，即y[-1]=1，

y[-2]=-1，右端第一项记为2.3离散时间信号的z变换2.3.3z变换的性质2024/10/25dsp-chap2-201845右端第二项记为2.3离散时间信号的z变换2.3.4z变换与DTFT的关系2024/10/25dsp-chap2-201846在序列x[n]的z变换X(z)中，如果ROC包含复变量z=ej

，则X(ej

)存在，即例2.3-6分别求序列

x[n]=u[n]-u[n-8]的z变换和DTFT。解：序列x[n]的z变换为可以看到，X(z)的极点为p=0(7阶)，零点为，k=1，2，…，7。其DTFT为2.4离散时间系统2.4.1离散时间系统及其性质离散时间系统可以看成为一个离散信号的变换器，当输入信号x[n]经过该离散系统后，将变换成另一个序列------输出信号y[n]，其框图如图所示。最基本的一类系统：线性时不变离散时间系统线性离散系统是指满足叠加性与均匀性的离散系统。2024/10/25dsp-chap2-201847时不变离散系统是指在同样起始状态下，系统响应与激励施加于系统的时刻无关。即：若激励信号x[n]产生的响应为y[n]，则激励信号x[n

m]产生的响应为y[n

m]，即发生同步延迟。2024/10/25dsp-chap2-2018482.4.1离散时间系统及其性质例2.4-1

判断滑动平均滤波器的线性特性及时不变特性。广义的滑动平均系统的输出y[n]与输入x[n]满足以下关系解：假设y1[n]=T[x1[n]]和y2[n]=T[x2[n]]，即y1[n]和y2[n]分别为输入x1[n]和x2[n]时的输出信号。（1）当输入信号为x3[n]=ax1[n]时，输出信号为因而该系统满足均匀性。2024/10/25dsp-chap2-2018492.4.1离散时间系统及其性质（2）输入信号为x4[n]=x1[n]+x2[n]时，输出信号为该系统满足叠加性，所以该系统是线性系统。2024/10/25dsp-chap2-2018502.4.1离散时间系统及其性质51（3）假设输入信号为x5[n]=x1[n

m]，则输出信号为因而该系统是时不变系统。综合以上讨论，该系统是一个线性时不变系统。2024/10/25dsp-chap2-2018512.4.1离散时间系统及其性质例2.4-2

判断下式表示的系统是否具有线性特性及时不变特性解：假设y1[n]=T[x1[n]]和y2[n]=T[x2[n]]，即y1[n]和y2[n]分别为输入x1[n]和x2[n]时的输出信号。因而该系统是非线性系统。2024/10/25dsp-chap2-2018522.4.1离散时间系统及其性质（1）当输入信号为时，输出信号为x3[n]=a1x1[n]+a2x2[n]53（2）假设输入信号为x4[n]=x1[n

m]，则输出信号为因而该系统是时变系统。综合以上讨论，该系统是一个非线性时变系统。2024/10/25dsp-chap2-2018532.4.1离散时间系统及其性质54因果离散系统与稳定离散系统如果系统的输出信号y[n]在n=n0时刻的输出样本y[n0]仅由输入信号x[n]在n

n0时刻的样本值，即{x[n]|n

n0}决定，而与n>

n0时的样本值x[n]无关，则该系统是因果系统。当且仅当每一个有界的输入信号x[n]激励系统时，产生的输出信号y[n]也是有界的，则系统称为稳定系统（BIBO）。2024/10/25dsp-chap2-2018542.4.1离散时间系统及其性质例4

判断滑动平均滤波器的因果性与稳定性解：（1）如果M2>M1

0，则系统是因果系统，如取M1=0，M2=1，则y[n]=(x[n]+x[n

1])/2，即输出样本仅取决于现在的输入样本x[n]和过去的输入样本x[n

1]。如果M1<M2

0，则系统是非因果系统，如取M1=

1，M2=0，则y[n]=(x[n+1]+x[n])/2，即输出样本取决于包括现在的输入样本x[n]和未来的输入样本x[n+1]。2024/10/25dsp-chap2-201855（2）如果M1，M2是有限数值，则系统是稳定系统。2.4.1离散时间系统及其性质系统在零状态条件下，以单位脉冲信号

[n]作为激励，所产生的响应称为“单位脉冲响应”，也称单位冲激响应，或者样值响应，以h[n]表示。类似地，系统在零状态条件下，以单位阶跃信号u[n]作为激励，系统产生的响应称为“单位阶跃响应”，以g[n]或s[n]表示。定义2024/10/25dsp-chap2-2018562.4.2LTI离散时间系统的单位脉冲响应首先，如果LTI离散时间系统的脉冲响应为h[n]，则系统对任意输入信号x[n]产生的响应为y[n]=T[x[n]]，由于2024/10/25dsp-chap2-2018572.4.2LTI离散时间系统的单位脉冲响应例5

求下式所表示的滑动平均滤波器的单位脉冲响应。解：令x[n]=

[n]，则如果：M1=0，M2=M1，则即在上述条件下，滑动平均滤波器的脉冲响应是一个长度为M的有限长序列。脉冲响应是有限长序列（长度为M）的离散系统，又称为有限冲激响应滤波器（FIR数字滤波器，且其阶数为(M1)）。2024/10/25dsp-chap2-2018582.4.2LTI离散时间系统的单位脉冲响应例6

求5阶滑动平均滤波器的输出响应，设输入信号x[n]=6{u[n]

u[n6]}。解：5阶滑动平均滤波器的单位样值响应为：从而系统的输出信号为：2024/10/25dsp-chap2-2018592.4.2LTI离散时间系统的单位脉冲响应例7

求下式所表示累加器的单位脉冲响应。解：令x[n]=

[n]，则即累加器的脉冲响应是单位阶跃序列，是无限长度的序列。脉冲响应是无限长序列的离散系统，又称为无限冲激响应滤波器（IIR数字滤波器）。将上式中累加器的输出-输入方程进行变形，可以得到：LTI离散系统的输出-输入关系一般可以用上述的差分方程表示。LTI离散系统的数学模型----线性常系数差分方程：1.冲激响应h[n]的求解将x[n]=

[n]及h[i]=0，i=1，2

，3，…，

N代入上式差分方程，（为便于计算，假设系数aN=1）得2024/10/25dsp-chap2-2018602.4.3LTI离散时间系统的线性常系数差分方程其中系数ai，bi都是实数。

上述利用迭代的方法比较简单，但难以给出闭式的解。2024/10/25dsp-chap2-201861可以利用通用的时域经典解法：由于输入x[n]=

[n]=0,n>0,故其强迫响应部分yp[n]=0,n>0。而系数Ak可以由初始状态h[n]，n=0,1,2,…,N1求出。2.4.3LTI离散时间系统的线性常系数差分方程可以利用z变换域解法：例8：求差分方程y[n]

0.4y[n

1]+0.03y[n

2]=2x[n]所表示系统

的单位样值响应h[n]2024/10/25dsp-chap2-201862解：方程两边作z变换，得到Y(z)

0.4z

1Y(z)+0.03z

2Y(z)=2X(z)2.4.3LTI离散时间系统的线性常系数差分方程a)如果收敛域ROC取：|z|>0.3，则b)如果收敛域ROC取：|z|<0.1，则c)如果收敛域ROC取：0.1<|z|<0.3，则2024/10/25dsp-chap2-2018632.4.3LTI离散时间系统的线性常系数差分方程2.求任意输入信号和任意状态下的系统响应可以利用通用的时域经典解法：其中：yh[n]是自由响应（齐次解），反应系统特性，由系统决定；yp[n]是强迫响应，反应输入信号经系统处理后发生的变化；而系统的起始状态y[i]，i=

1,

2,…,

N求出确定输出信号的幅度等具体参数。可以利用单边z变换求解法（见2.3.3节）：上式中：第一项称为是零状态响应yzs[n]（起始状态为零时的响应）；第二项称为是零输入响应yzi[n]（不加输入信号，由起始状态延续的响应）。例9：求差分方程y[n]

0.4y[n

1]+0.03y[n

2]=2x[n]所示系统的响应。

已知条件：x[n]=(0.3)nu[n]，

y[1]=1，y[2]=2。2024/10/25dsp-chap2-201864解：方程两边作单边z变换，得到Y(z)

0.4{z

1Y(z)+y[

1]}+0.03{z

2Y(z)+z

1y[

1]+y[

2]}=2X(z)2.4.3LTI离散时间系统的线性常系数差分方程收敛域ROC取：|z|>0.3，则2024/10/25dsp-chap2-2018652.4.3LTI离散时间系统的线性常系数差分方程3.系统差分方程的建立利用系统对信号处理运算的过程与关系而建立，如：图2.4-5例2.4-3的系统框图

x[n]y[n]E

10.9E

1

0.232w[n]解：设左边加法器输出为w[n]，则：w[n]=x[n]+0.9w[n-1]

0.2w[n-2]而右边加法器输出信号（y[n]）可表示为：y[n]=3w[n]+2w[n-1]从而：y[n]

0.9y[n-1]+0.2y[n-2]=3x[n]+2x[n-1]例2.4-3

考察图2.4-5所示的离散系统，试写出其激励x[n]和响应y[n]之间的差分方程式（其中符号

表示加法器，做加法运算；表示延时器，作延时1个时间单元运算；

表示数a和信号相乘，称为数乘器或乘法器。）E

1

2024/10/25dsp-chap2-201866

例：银行的储蓄与贷款业务描述：

以银行存款业务为例：零存整取存款方式储蓄

设每月的存款额为R[n]，存款时间N个月，存款月利率为I，计算到期后账户款总额P。

设第n

1个月末账户款额为y[n

1]，第n个月末存款款额为y[n]，则它们之间的关系为y[n]=y[n

1]

+

R[n]+Iy[n

1]y[0]=R[0],R[n],0n

N12.4.3LTI离散时间系统的线性常系数差分方程2024/10/25dsp-chap2-2018672.4.4LTI离散时间系统的系统函数和频率响应1.系统函数脉冲响应为h[n]的LTI离散系统，对输入信号x[n]产生的响应y[n]可由卷积和计算得到，即由z变换的卷积定理Y(z)=X(z)H(z)或者－－称为系统的系统函数（也称传输函数）系统函数与单位样值响应是一对ｚ变换对的关系，即2024/10/25dsp-chap2-2018682.4.4LTI离散时间系统的系统函数和频率响应1.系统函数当LTI离散系统由差分方程表示为：则系统的系统函数为－－系统函数的零极点形式表示2024/10/25dsp-chap2-2018692.4.4LTI离散时间系统的系统函数和频率响应2.频率响应特性脉冲响应为h[n]的LTI离散系统，对输入信号x[n]产生的响应y[n]可由卷积和计算得到，即由DTFT变换的卷积定理Y(ej

)=X(ej

)H(ej

)或者－－称为系统的频率响应特性，简称频响特性系统函数与单位样值响应是一对DTFT变换对的关系，即很显然，只有当脉冲响应h[n]绝对可和时，系统的频率响应方有意义。2024/10/25dsp-chap2-2018702.4.4LTI离散时间系统的系统函数和频率响应2.频率响应特性另一方面，根据z变换与DTFT的关系：上式要求系统函数的收敛域包含单位圆，即例2.4-5

分析一阶差分方程

y[n]-ay[n-1]=x[n]，|a|<1

所描述的

离散系统频率响应特性。解：系统函数为其零点为0，极点为a，所以其零点矢量为极点矢量为2024/10/25dsp-chap2-2018712.4.４LTI离散时间系统的系统函数和频率响应假设

1<a<0，且系统函数的ROC为|z|>|a|，则系统函数的ROC包含单位圆周，其幅频特性：|H(ej

)|=1/A，

相频特性：

(

)=

例2.4-6设FIR系统的脉冲响应为h[n]=an{u[n]-u[n-N]}，0<a<1，

求其频率响应特性。。解：系统函数为其零点为zi=aej(

/N)i，i=0，1，

，N

1；极点为pi=0(i=1，2，

，N

1，重极点)和p0

=a；2024/10/25dsp-chap2-2018722.4.4LTI离散时间系统的系统函数和频率响应所以其零点矢量为极点矢量为图2.4-7例2.4-6FIR系统的零极点分布图及频响特性(a)RezjImz10|z|=a(4)

1(b)

2

2

0

|H(ej

)|

2

2

0

(c)

(

)2024/10/25dsp-chap2-2018732.4.5LTI离散时间系统的因果性与稳定性1.因果性因果系统是指系统的输出信号是由输入信号的作用才产生的，因而输出信号的出现不会超前于输入信号。对于LTI离散系统，表现为系统的冲激响应h[n]是因果序列，即

h[n]=0，n<0，或者：h[n]=h[n]u[n]。对于LTI离散系统，表现在系统的系统函数H(z)上，则要求其收敛域满足：|z|>R+

，且要求有理分式H(z)的分子多项式方次不高于分母多项式的方次。2024/10/25dsp-chap2-2018742.4.5LTI离散时间系统的因果性与稳定性2.稳定性稳定系统是指当输入信号有界时，输出信号也有界的系统，即是有界输入有界输出（BIBO，BoundedInputBoundedOutput）意义上的稳定。对于LTI离散系统，表现为系统的冲激响应h[n]具有绝对可和的特点，即对于LTI离散系统，表现在系统的系统函数H(z)上，则要求其收敛域包含z平面上的单位圆，或者说系统的频率响应存在。对于因果稳定的LTI离散系统，则其系统函数H(z)的所有极点pi必定在z平面上单位圆的内部，即|pi|<1。2024/10/25dsp-chap2-201875解：(1)因为h1[

1]=

2

0，因而该系统是非因果系统；例2.4-7设LTI离散系统的脉冲响应为下述序列，

判断这些系统的稳定性和因果性因而该系统是稳定系统；再看其系统函数：(2)因为h2[

1]=1/2

0，因而该系统是非因果系统；因而该系统是稳定系统；2.4.5LTI离散时间系统的因果性与稳定性2024/10/25dsp-chap2-201876再看其系统函数：(3)因为当n<0时，h3[n]=0，因而该系统是因果系统；因而该系统是稳定系统；(4)因为当n<0时，h4[n]=0，因而该系统是因果系统；不收敛，因而该系统是稳定系统；再看其系统函数：其极点为p1,2=

j，收敛域|z|>1，因而系统不稳定，但是因果的。备注：由于其极点刚好落在单位圆周上，且是一阶的，因而属于临界稳定系统。2.4.5LTI离散时间系统的因果性与稳定性2.5离散时间系统处理连续时间信号2.5.1连续时间信号的数字化处理1.前置滤波器。保证后续数字化处理的有效性。2024/10/25dsp-chap2-201877前置预滤波器A/D转换器数字信号处理器D/A转换器模拟滤波器图1数字信号处理系统的简单方框图xa(t)ya(t)x[n]y[n]2.A/D转换器。完成对满足采样定理的模拟信号进行采样、量化、编码等

操作得到数字信号，为后面的数字信号处理器提供条件。3.数字信号处理器。是整个信号处理系统的核心环节，

可以在频域进行，也可以在时域进行。2024/10/25dsp-chap2-2018782.5.1连续时间信号的数字化处理4.D/A转换器。将处理后后的数字信号还原为模拟信号以供应用。5.平滑滤波器。由于D/A转换器的输出信号是阶梯状信号，

包含有大量的高频信号，通过平滑滤波器可以去

除这些高频信号的影响，而得到平滑的模拟信号。2.5.2连续时间信号的采样及采样定理1、采样的等效过程冲激串转换为序列x[n]xa(t)xs(t)x[n]=xa(nT)图2.5-1两步完成的连续信号采样框图第一步：xa(t)经采样得到冲激串信号xs(t)，其中T是采样周期，即2024/10/25dsp-chap2-2018792.5.2连续时间信号的采样及采样定理1、采样的等效过程冲激串转换为序列x[n]xa(t)xs(t)x[n]=xa(nT)图2.5-1两步完成的连续信号采样框图第二步：取出冲激串信号xs(t)的幅度序列得到离散序列x[n]，即：x[n]=xa(nT)xa(t)xs(t)0t2T3T

T

2T

TT=T1

xa(t)xs(t)0T2T3T

T

2TtT=2T1x[n]=xa(nT1)0n23

1

2

145687

3

4

5

6

0n