安徽省淮北市第二中学联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（沪科版）

九年级数学（沪科版）（试题卷）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.下列函数是的二次函数的是（）A. B. C. D.2.已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段a的长度为（）A.8cm B.2cm C.4cm D.1cm3.已知点，都在反比例函数的图像上，且，则，的关系是（）A. B. C. D.4.如图，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.5.二次函数的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（）A.0 B.1 C.2 D.36.如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是12，则四边形的面积为（）A.16 B.20 C.36 D.407.如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则值为（）A. B. C. D.28.小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离的长度为（）A.7m B.7.5m C.8m D.8.5m9.如图，A、B是第二象限内双曲线y＝上的点，A、B两点的横坐标分别是a，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，S△AOC＝12．则k的值为（）A.﹣6 B.﹣5 C.﹣4 D.﹣310.如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.若抛物线的形状与相同，顶点是，则该抛物线的表达式可以是________________________．（写出一个即可）12.某校有两块相似的多边形草坪，其相似比为2∶3，其中较大的一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是____________米．13.如图，四边形为平行四边形，和平行于x轴，点A在函数的图象上，点B，D在函数的图象上，点C在y轴上，则四边形的面积为____________．14.如图，在矩形中，平分，交于点于点于点为的中点，交于点，且．（1）__________．（2）线段的长为__________．（用含的代数式表示）三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．16.已知二次函数．（1）完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；x…0123…y……（2）根据图象，完成下列填空：①当时，y随x增大而___________②当时，x的取值范围是____________四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在中，，．（1）求作：平分线交于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：点D为线段黄金分割点（即）．18.规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”．（1）若点是“完美点”，则；（2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与y轴的交点为，求该“完美函数”的表达式．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.用10米的铝合金制成如图窗框矩形，其中点E，F分别在边，上，点G，H分别在边，上，且，，，，记窗框矩形的面积为s平方米，边长为x米．（1）求s关于x的表达式及自变量x的取值范围．（2）求s的最大值．20.如图，是平行四边形的对角线，在边上取一点，连接交于点，并延长交的延长线于点．（1）若，求证：；（2）若，求的长．六、（本题满分12分）21.如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点．（1）分别求一次函数与反比例函数解析式；（2）连接，则的面积__________；（3）直接写出当时，关于x的不等式的解集__________．七、（本题满分12分）22.如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点与点，不重合，过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．八、（本题满分14分）23.在中，，平分交于点，平分交于点，，相交于点．（1）当时，如图1，求证：≌；（2）连接，如图2．①求证：；②若，，求的长．

九年级数学（沪科版）（试题卷）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.下列函数是的二次函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、，不是的二次函数，故本选项不符合题意；B、，不是的二次函数，故本选项不符合题意；C、，是的二次函数，故本选项不符合题意；D、，是的二次函数，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数，熟练掌握形如的函数称为是二次函数是解题的关键．2.已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段a的长度为（）A.8cm B.2cm C.4cm D.1cm【答案】B【解析】【分析】根据比例线段定义求解，注意线段顺序；【详解】解：由题意，得∴．故选：B【点睛】本题考查成比例线段的定义，掌握成比例线段的定义是解题的关键．3.已知点，都在反比例函数的图像上，且，则，的关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数的图象在第二、四象限，利用，即可求得，的关系．【详解】解：反比例函数中，，反比例函数图象在第二、四象限．，在第二象限，在第四象限．，．．故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，利用双曲线所在的象限确定函数值的符号是解题的关键．4.如图，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，逐项分析判断即可求解．【详解】解：，A.∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；B.∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；C.∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；D.∵，∴，即，故该选项正确，符合题意；故选：D．5.二次函数的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根据抛物线与x轴有两个不同的交点可知，且，求出a的取值范围判断即可．【详解】∵二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，∴，，解得，且，所以a可以是1．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴的交点问题，掌握二次函数图像与x轴的交点个数与对应一元二次方程的根的关系是解题的关键．6.如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是12，则四边形的面积为（）A.16 B.20 C.36 D.40【答案】B【解析】【分析】由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：由题意可知：，，，，，，，，阴影部分的面积是12，，，；故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．7.如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由等腰直角三角形的性质可推出，，，从而可得出，，证明即可得出结论．【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，∴．故选B．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．掌握三角形相似的判定条件是解题关键．8.小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离的长度为（）A.7m B.7.5m C.8m D.8.5m【答案】C【解析】【详解】根据出手点A的坐标为求出函数关系式，再令可解得答案．【解答】解：把A代入得：，∴，∴，令得，解得（舍去）或，∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，故选：C.【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能用待定系数法求出函数关系式．9.如图，A、B是第二象限内双曲线y＝上的点，A、B两点的横坐标分别是a，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，S△AOC＝12．则k的值为（）A.﹣6 B.﹣5 C.﹣4 D.﹣3【答案】A【解析】【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，AF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，BG⊥y轴于点G，由S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF求解．【详解】解：过点A作AD⊥x轴于点D，AF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，BG⊥y轴于点G．把x＝a代入y＝得y＝，把x＝3a代入y＝得y＝，∴AD＝3BE，∴点B是AC的三等分点，∵AD⊥CO，BE⊥CO∴BEAD∴△BCE∽△ACD∴∵DE＝a﹣3a＝﹣2a，∴∴CE＝﹣a，∵k＜0，∵S△AOF＝＝﹣，∴S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF＝（AF+OE+CE）•OF+＝×（﹣5a）×（）+＝12，∴k＝﹣6．故选：A．【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，解题关键是掌握反比例函数的性质，通过添加辅助线求解10.如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根据等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；三角形相似的判定，勾股定理证明判断即可．【详解】解：∵是等边三角形，∴，，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，故①正确；∵是等边三角形，∴，，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，故②正确；∵，∴，∵，∴，∵，∴，故④正确；中，，∴，，∴，故③错误；综上分析可知，正确的结论有3个，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.若抛物线的形状与相同，顶点是，则该抛物线的表达式可以是________________________．（写出一个即可）【答案】（或）【解析】【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．根据抛物线的顶点坐标及形状与抛物线相同，可得出，再由顶点坐标即可求出抛物线的解析式．【详解】解：抛物线的顶点坐标，形状与抛物线相同，这个二次函数的解析式为或．故答案为：或．12.某校有两块相似的多边形草坪，其相似比为2∶3，其中较大的一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是____________米．【答案】24【解析】【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．设另一块草坪的周长为，则，计算求解即可．【详解】解：设另一块草坪的周长为，∴，解得，，故答案为：24．13.如图，四边形为平行四边形，和平行于x轴，点A在函数的图象上，点B，D在函数的图象上，点C在y轴上，则四边形的面积为____________．【答案】21【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数与几何综合．根据平行四边形的性质，点在反比例函数上，求出各点坐标是解题的关键．由题意，设，则，，由点C在y轴上，可得点横坐标为，进而可求，则、之间的距离为，根据，计算求解即可．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，∵和平行于x轴，点A在函数的图象上，点B，D在函数的图象上，设，则，，∵点C在y轴上，∴点横坐标为，将代入得，，即，∴、平行线间的距离为，∴，故答案为：21．14.如图，在矩形中，平分，交于点于点于点为的中点，交于点，且．（1）__________．（2）线段的长为__________．（用含的代数式表示）【答案】①.##45°②.##【解析】【分析】（1）根据四边形是矩形和平分，可证是等腰直角三角形，再根据垂直证明即可求解；（2）根据条件证明，可得是等腰直角三角形，从而得到，再通过证明是等腰直角三角形，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴，∵平分，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∵，，∴，∴；故答案为：；解：（2）∵，，∴，∴，由（1）得：，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵点为的中点，∴，∴，由（1）得：，∵，∴是等腰直角三角形，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了几何问题，涉及到等腰三角形的判定与性质、平行的性质等，正确理解题意是关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．【答案】18【解析】【分析】设，得出x=2k，y=3k，z=4k，再根据2x+3y-z=18，求出k的值，然后得出x，y，z的值，从而得出x+y+z的值．【详解】解：设，则x=2k，y=3k，z=4k，∵2x+3y-z=18，∴4k+9k-4k=18，∴k=2，∴x=4，y=6，z=8，∴x+y+z=4+6+8=18．【点睛】本题考查比例的性质，关键是设，得出k的值．16.已知二次函数．（1）完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；x…0123…y……（2）根据图象，完成下列填空：①当时，y随x的增大而___________②当时，x的取值范围是____________【答案】（1）见解析；（2）①增大；②．【解析】【分析】（1）分别将的值代入函数解析式求出值，再描点，连线作出图象；（2）观察图象，当时，y随x的增大而增大，当时，函数图象在轴下方，即可得x的取值范围．【小问1详解】解：分别将，0，1，2，3代入得，，，，0，如图，故答案为：0，，，，0；【小问2详解】观察图象，当时，y随x的增大而增大，当时，函数图象在轴下方，即．故答案为：①增大；②．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在中，，．（1）求作：的平分线交于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：点D为线段黄金分割点（即）．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，黄金分割点以及相似三角形的判定与性质，（1）按照角平分线的尺规作图法作图即可；（2）结合以及等边对等角，证明，即可作答．【小问1详解】的平分线交于点D，如图所示．【小问2详解】证明：在△ABC中，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，点D为线段的黄金分割点．18.规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”．（1）若点是“完美点”，则；（2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与y轴的交点为，求该“完美函数”的表达式．【答案】（1）1（2）该“完美函数”的表达式为【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形、二次函数的图象与性质、相反数的定义，理解新定义，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．（1）由定义可得，求出的值即可；（2）根据该“完美函数”的顶点在直线上可求出顶点为，然后可设二次函数的解析式为，令，则，再根据该函数与轴的交点为求出的值即可得到答案．【小问1详解】解：点是“完美点”，，即，解得：，故答案为：1；【小问2详解】∵某“完美函数”的顶点在直线上，∴设函数的顶点为，∵该函数为“完美函数”，∴，解得，∴该函数的顶点为，设该“完美函数”的表达式为，令，则，解得，∴该“完美函数”的表达式为．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.用10米的铝合金制成如图窗框矩形，其中点E，F分别在边，上，点G，H分别在边，上，且，，，，记窗框矩形的面积为s平方米，边长为x米．（1）求s关于x的表达式及自变量x的取值范围．（2）求s的最大值．【答案】（1），（2）3【解析】【分析】（1）先证明，由边长为x米，可得，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据四边形EBCF为正方形，求出，求出x的取值范围；（2）根据（1）中解析式和自变量的取值范围，由函数的性质求最值即可．【小问1详解】∵四边形是矩形，，∴四边形为矩形，，又∵，∴四边形为正方形，∴，∵，∴四边形矩形，∴，∴，∵边长为x米，∴，∴，∵，则边长（米），根据题意得：，∵，，∴∵，，∴，∵，∴，∴，即，∴s关于x的表达式为，自变量x的取值范围为：；【小问2详解】结合（1）的结果，，∴对称轴为，∵，，，∴当时，y随x的增大而减小，∴当时，s有最大值，最大值为，答：s的最大值为3平方米．【点睛】本题考查二次函数的应用矩形的判定与性质等知识，关键是求出函数解析式和自变量的取值范围．20.如图，是平行四边形的对角线，在边上取一点，连接交于点，并延长交的延长线于点．（1）若，求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】依据等量代换得到,依据,可得，进而得出即；依据,可得,依据,即可得出,再根据,可得进而得到长.【小问1详解】证明:∵,∴,又∵,∴,又∵,∴,即；【小问2详解】∵平行四边形中,,又∵,∴,∴,∵,，即∴,,∵,，，∴.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，问题的解法不唯一，也可以根据点是的中点,与相似,得到的长.六、（本题满分12分）21.如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点．（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；（2）连接，则的面积__________；（3）直接写出当时，关于x的不等式的解集__________．【答案】（1），（2）（3）或【解析】【分析】将已知点坐标代入函数表达式，即可求解;两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据即可以解决问题；根据图象即可解决问题.【小问1详解】将代入,得解得：，∴一次函数的解析式为，将代入得,∴反比例的解析式为【小问2详解】∵直线的解析式为与轴交点,∴点的坐标为,由解得或，∴点的坐标为,∴；【小问3详解】观察图象,当时,关于的不等式的解集是或