第一章 特殊平行四边形 单元练习 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第一章特殊平行四边形一、单选题1．如图，已知△ABC中，AB=5,BC=12,AC=13，那么AC边上的中线BD的长为（

）

A．52 B．6 C．1322．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，添加下列条件不能判定四边形ABCD为菱形的是（A．BD⊥ACB．BC=CDC．AC=BDD．∠ABD=∠CBD3．如图，在平行四边形ABCD中，AB=BC，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，则对四边形EFGH的形状描述最准确的是（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形4．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D

A．1 B．2 C．3 D．45．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD的周长是（

）A．8 B．12 C．14 D．166．如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节A，E间的距离，已知菱形ABCD的边长为20cm，若A，E间的距离调节到60cm时，则这个活动衣帽架所围成的面积为（A．600cm2 B．6003cm2 7．如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，BC=23，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH

A．3 B．62 C．638．小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD=12cm，CD=10第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD′N，AD′交折痕MN于点EA．8cm B．16924cm C．1679．在矩形ABCD中，点A关于角B的角平分线的对称点为E，点E关于角C的角平分线的对称点为F，若AD＝3AB＝3，则S△ADF＝（）A．23 B．33−152 C．310．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是边CB延长线上一点，F为AB边上一点，BE＝BF，连接EF并延长交线段AD于点G，连接CF交BD于点M，连接CG交BD于点N．则下列结论：①AE＝CF；②∠BFM＝∠BMF；③∠CGF﹣∠BAE＝45°；④当∠BAE＝15°时，MN＝43其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，则CD=．12．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=24，BD=10，则菱形ABCD的面积是．13．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，14．如图，AC是矩形ABCDAB<BC的对角线，EF垂直平分AC，分别交BC、AD于点E、F，连接AE．若BA=BE=1，则AF的长为15．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若OF的长为72，则△CEF的周长为16．如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD=8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连结PA，在点P的运动过程中，PE+PA+PF的最小值等于

17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点M、N分别是边AD、CD的中点，连接MN、OM．若MN=3，S菱形ABCD=24，则OM18．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．三、解答题19．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)若∠BAC=30°，∠C=45°，DE=12，求CF的长．20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．(1)求证：四边形OEFG是矩形；(2)若AD=10，EF=4，求OE和BO的长．21．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A对应点为点A′，且(1)求CN的长；(2)求△B22．以△ABC的三边在BC同侧分别作三个等边三角形△ABD，△BCE，△ACF，试回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？请证明：（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，能否构成正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，无法构成四边形？23．如图，已知在正方形ABCD中，AB=22，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)试探究CE+(3)当点E从A点运动到C点时，则点G运动的路径长为．参考答案：1．C2．C3．B4．B5．D6．B7．B8．B9．C10．B11．512．12013．2.514．215．1816．7.817．2.518．解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=90°，AD=BC=20cm，设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，则AQ=20-2x，BP=3x∵四边形ABPQ是矩形∴AQ=BP∴3x=20-2x∴x=419．（1）证明：∵EF垂直平分线段AD，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∴∠EDA=∠DAC，∴DE∥AC，同理可得，DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AE=DE，∴四边形AEDF是菱形；（2）解：过D作DH⊥CF于H，∵四边形AEDF是菱形，∴DF=DE=12，DF∥AB，∴∠DFC=∠BAC=30°，∴DH=12DF=6∵∠C=45°，∴DH=CH=6，∴CF=FH+CH=6320．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴OB=OD，∵点E为AD中点，∴AE=DE，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°，∴平行四边形OEFG为矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=10，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵点E为AD的中点，∴OE=AE=1∵∠AFE=90°，EF=4，∴AF=A由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴OG=EF=4，FG=OE=5，∴BG=AB−AF−FG=2，∵∠OGB=90°，∴BO=O21．（1）根据折叠知，BN=B设CN＝a，则在Rt△B′∴(9−a)2解得x=4，即CN的长为4．（2）如图，连接BM，MB′．因为B′设DM=x，则AM=9−x，在Rt△ABM中，B在Rt△B′根据折叠知，BM=B′M即62解得x=7．∴S△所以△B22．解：（1）∵△BCE、△ABD是等边三角形，∴∠DBA=∠EBC=60°，AB=BD，BE=BC，∴∠DBE=∠ABC，∴△DBE≌△ABC，

∴DE=AC，又△ACF是等边三角形，

∴AC=AF，∴DE=AF，同理可证：AD=EF，

∴四边形ADEF是平行四边形．（2）假设四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又∠DAB=∠FAC=60°，

∠DAB+∠FAC+∠DAF+∠BAC=360°∴∠BAC=150°．因此当△ABC中的∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．（3）假设四边形ADEF是菱形，则AD=DE=EF=AF∵AB=AD，AC=AF，∴AB=AC因此当△ABC中的AB=AC时，四边形ADEF是菱形．（4）结合（2）（3）问可知当∠BAC=150°且AB=AC时，四边形ADEF是正方形．（5）由图知道：∠DAB+∠FAC+∠DAF+∠BAC=360°∴当∠BAC=60°时，D、A、F为同一直线，与E点构不成四边形，即以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．23．（1）证明：作EK⊥BC于点K，EL⊥CD于点当点F在边BC上时，如图1，当点F在边BC的延长线上时，如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，AD∴∠BCA=∠BAC∴∠BCA∴EK∵∠EKC∴四边形E