第一章 勾股定理 复习与提高 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

第一章勾股定理复习与提高一、单选题（本大题共8小题）1．若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（）A．S1=S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．无法确定3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A． B． C． D．4．直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（）A．12 B．10 C．8 D．65．若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（

）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定6．已知，，是三角形的三边长，且，那么此三角形是（

）A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形C．等腰直角三角形 D．锐角三角形7．一个三角形的三边的长分别是15cm，20cm，25cm，则这个三角形的面积为（

）A． B． C． D．8．下列几组数中，是勾股数的一组是（

）A．1.5，2，3.5 B．21，45，51C．一3，-4，-5 D．8，15，17二、填空题（本大题共8小题）9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=．10．在等腰三角形中，，，则边上的高是．11．在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=9，则AB=．12．若三角形的三边长是6，8，，当的值为时，该三角形是直角三角形.13．已知直角三角形的三边a,b,c,且两直角边a,b满足等式(a2+b2)2−2(a2+b2)−15=0，则斜边c为.14．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，2cm，现有一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到达占处，则所走的最短路路径长是cm.15．如图所示，点为的边上一点，，，，，则.16．如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是．三、解答题（本大题共8小题）17．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出BD的长吗？18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．（1）求AB的长；（2）求CD的长．19．一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？20．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；，，.根据你发现的规律，请求出：（1）当时，，的值；（2）当时，，的值.21．如图，请观察图形找出与的关系：图1中，______；图2中，______.请猜测三角形三边满足什么条件时，它可能是钝角三角形或锐角三角形.22．在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A，另一只猴子爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过距离相等，试问这棵树有多高．23．如图所示，点和点分别在正方形的边上，且为边的中点，，连接，，，试判断的形状，并说明理由.24．如图，在中，，，点是内一点，且，，，求的大小.答案与详解1．【答案】B【详解】当x为斜边时，x＝＝；当5为斜边时，x＝＝4．∴x的可能值有2个：或4；故选B．2．【答案】A【详解】在Rt△ABC中，∴AB2=AC2+BC2，又∵半圆的面积为：S=πR2，∴S1=π(，S2=π(+π(=π()=π(，∴S1=S2，故选A．3．【答案】A【详解】根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB＝，过C作CD⊥AB，交AB于点D，∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD＝，则点C到AB的距离是．故选：A4．【答案】D【详解】试题分析：设一直角边长为x，另一直角边长为y，∵直角三角形的周长为12，斜边长为5，∴x＋y＝7①，由勾股定理得：x2＋y2＝25②，①两边平方得x2＋y2＋2xy＝49，整理得xy＝12，∴面积S＝xy＝×12＝6．故选D．5．【答案】B【分析】因为a、b、c为一个三角形的三边长，化简，可得a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形为直角三角形．【详解】∵，∴a2+b2=c2，∴该三角形为直角三角形.故选B.6．【答案】B【详解】∵，根据绝对值、偶次方的非负性质，∴c=13，b=12，a=5，∵52+122=132，∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．故选B．7．【答案】A【详解】∵15²+20²=25²，∴此三角形是直角三角形，∴三角形的面积为=.故选A.8．【答案】D【详解】A.1.5和3.5不是正整数，是小数，故错误；B.212+452≠512，故错误；C.-3，-4，-5都不是正数，错误；D.82+152=172，正确.故选D.9．【答案】3．【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=，∵AD平分∠CAB，∴CD=DE，∴S△ABC=AC•CD+AB•DE=AC•BC，即×6•CD+×10•CD=×6×8，解得CD=3．10．【答案】8【详解】如图所示，过点A作于点，，，，．故答案为：8．11．【答案】15【详解】12．【答案】100或28【详解】①最长边为8时，82-62=，则=28；②最长边不是8时，82+62=，则=100.13．【答案】【详解】设这个直角三角形的斜边长是c.∵a，b分别是一个直角三角形的两直角边的长，∴a2+b2=c2，又∵(a2+b2)2−2(a2+b2)−15=0，∴(c2)2−2c2−15=0，∴(c2−5)(c2+3)=0，∵c2>0，∴c2=5，∵c>0，∴c=.即这个直角三角形的斜边长是.14．【答案】6【详解】路径一：AB=；路径二：AB=；路径三：AB=；∵，∴cm为最短路径，故答案为6cm.15．【答案】84【详解】在中，由于，所以为直角三角形，且，所以也是直角三角形，在中，根据勾股定理，得，所以.所以.16．【答案】54cm2【详解】根据勾股定理，得直角三角形的另一条直角边是＝9（cm）．则直角三角形的面积＝×12×9＝54（cm2）．故答案为54cm2．17．【答案】15cm.【详解】由勾股定理得，AB＝＝30．由折叠的性质知，AE＝AC＝18，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°．∴BE＝AB－AE＝30－18＝12，在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2＋BE2＝BD2即（24－BD）2＋122＝BD2，解得：BD＝15cm．18．【答案】（1）AB=25；（2）CD=6.72.【详解】（1）利用勾股定理解得AB的长，再利用三角形的面积公式推出CD的长．19．【答案】符合【详解】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．，，∴∠和∠都为直角，∴这个零件符合要求.20．【答案】（1），；（2），.【详解】（1）通过观察可知，，所以，解得，因此.（2）根据题意，得，即，解得，.21．【答案】<

>，当时，三角形是钝角三角形；当时，三角形是锐角三角形.【详解】题图1中,∵a2=22+22=8,b2=32=9，∴a2+b2=8+8=17，∵c2=52+22=29，∴a2+b2<c2，故答案为<；题图2中,∵a2=12+22=5,b2=22+22=8，∴a2+b2=13，∵c2=32=9，∴a2+b2>c2，故答案为>；三角形的三边a、b、c中，a和b为短边，当时，三角形是钝角三角形；当时，三角形是锐角三角形.22．【答案】树高为15m.【详解】设树高BC为xm，则CD=x-10，则题意可知BD+AB=10+20=30，∴AC=30-CD=30-（x-10）=40-x，∵△ABC为直角三角形，∴AC2=AB2+BC2，即（40-x）2=202+x2，解得x=15，即树高为15m，23．【答案】是直角三角形，且.【详解】是直角三角形，理由如下：设正方形的边长为x.因为点是边的中点