专题251直线与圆的位置关系-原卷版

专题2.5.1直线与圆的位置关系【基本知识梳理】知识点1：直线与圆的位置关系的判断直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0【特别注意】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．知识点2：圆的弦长问题求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq\r(r2－d2).图①(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，图②则|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．知识点3：圆的切线问题求过某一点的圆的切线方程(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法①若切线斜率存在且不为0，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式方程可得切线方程．②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．②当切线斜率不存在时要加以验证．③过圆外一点的切线有两条．知识点4：圆的方程的实际应用（1）建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．（2）解决直线与圆的实际应用题的步骤①审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．②建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．③求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．④还原：将运算结果还原到实际问题中去．【题型1直线与圆的位置关系的判定】【例1】（20232024·浙江绍兴·高二上·期中）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都有可能【变式11】（20232024·安徽·高三·联考）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定【变式12】（20232024·山东菏泽·高二上·期中）（多选）已知圆，则（）A.点在圆的内部 B.圆的直径为2C.过点的切线方程为 D.直线与圆相离【变式13】（20232024·山东德州·高二上·期中）直线与圆的公共点个数为（）．A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个【题型2根据直线与圆的位置关系求参数】【例2】（20232024·福建厦门·高二下·期末）（多选）已知直线与圆：有公共点，则可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4【变式21】（20232024·山西咸阳·高二下·期末）若直线与圆有公共点，则的一个取值是_______.【变式22】（20222023·山东烟台·高二上·期中）若直线与圆相离，则过点的直线与圆的位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定【变式23】（20232024·湖南衡阳·高三上·期末）（多选）已知半径为的圆的圆心在直线上，且圆与直线相切，则圆的圆心坐标可能为（）A. B. C. D.【变式24】（20232024·全国·高三·阶段练习）已知直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2A．14 B．12 C．1【题型3圆的切线长及切线方程的求解】【例3】（20232024·天津·高二上·阶段练习）圆在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【变式31】（20232024·山东青岛·高二上·期中）过点作圆的两条切线，，则四边形的面积为（）A. B. C. D.【变式32】（20232024·山东潍坊·高二上·期中）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（）A. B. C. D.【变式33】（20232024·山东青岛即墨·高二上·期中）（多选）已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（

）A．圆的圆心坐标为，半径为B．切线C．直线的方程为D．【变式34】（20232024·山西太原·高二上·期末）已知圆的方程为，点在圆内.（1）求实数的取值范围；（2）求过点且与圆相切的直线的方程.【题型4已知切线求参数】【例4】（20232024·浙江宁波·高二上·期中）若直线与圆相切，则（）A.9 B.8 C.7 D.6【变式41】（20232024·全国·高三·模拟）“b=2”是“直线y=x+b与圆x2+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式42】（20232024·浙江台州·高二上·期中）已知点P，Q是圆O：上的两个动点，点A在直线l：上，若的最大值为，则点A的坐标是（）A. B.C. D.【变式43】（20232024·山东临沂·高二上·联考）已知直线l：的图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是．【题型5求圆的弦长与中点弦】【例5】（20232024·四川达州·高二上·期中）已知直线与圆交于两点，则（）A. B. C.4 D.8【变式51】（20232024·内蒙古巴彦淖尔·高二上·阶段练习）已知直线l与圆C:x−12+y2=9相交于A,B两点,弦AB的中点为MA．x+2y+4=0 B．x+2y−4=0 C．x−2y+4=0 D．x−2y−4=0【变式52】（20232024·山东枣庄·高二上·期中）直线被圆截得的最短弦长为________.【变式53】（20222023·山东德州·高二上·期中）已知圆C与x轴相切，圆心C在直线上，且与轴正半轴相交所得弦长为．（1）求圆C的方程；（2）过点的直线交圆于C，于E，F两点，且，求直线的方程．【题型6已知圆的弦长求方程或参数】【例6】（20232024·山东威海·高二上·期末）已知直线与圆交于，两点，且，则实数（）A. B. C. D.【变式61】（20232024·浙江杭州·高二上·期末）已知圆C：x2﹣2x+y2＝0与直线l：y＝mx+2m（m＞0），过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A和B，若线段AB长度的最小值为2，则实数m的值为（）A．277 B．77 C．14【变式62】（20232024·全国·高三·阶段练习）直线y=kx+2与圆(x−2)2+(y−3)2=4相交于M,N两点，若MNA．−34,34 B．−3【变式63】（20232024·湖南长沙·高二上·期末）已知圆经过点且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）已知直线经过点，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程.【题型7直线与圆有关的最值问题】【例7】（20232024·北京丰台·高二上·期中）已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为______.【变式71】（20232024·湖南·高二上·期中）（多选）已知直线：和圆：，则（）A.直线恒过定点B.直线与圆相交C.存在使得直线与直线：平行D.直线被圆截得的最短弦长为【变式72】（20232024·陕西·高二上·期中）已知直线l：x−y+4=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则【变式73】（20232024·福建厦门·高二上·期中）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【题型8直线与圆的方程的应用】【例8】（20232024·山东聊城·高二上·期中）2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是__________米.（注意：）【变式81】（20232024·湖北荆州·高二上·期中）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系.(1)求该圆弧所在圆的方程;(2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车?(将汽车看作长方体)

【变式82】（20232024·浙江台州·高二上·期中）如图，某海面有O，A，B三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在O岛正东方向距O岛20千米处，B岛在O岛北偏东45°方向距O岛千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，10千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东30°方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁