二次函数y=ax2的图象和性质课件VIP

第二十二章二次函数22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质

学

习

目

标1．用描点法画二次函数y=ax2的图象，知道抛物线y=ax2是轴对称图形，知道抛物线y=ax2的开口方向与a的符号有关.（难点）2．掌握二次函数y=ax2的性质：能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.．（重点）

1.二次函数的一般形式是怎样的？y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)2.下列函数中,哪些是二次函数？①⑤④③②

复习引入

3.一次函数的图象是一条

.4.通常怎样画一个函数的图象？直线列表、描点、连线那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图像

一、二次函数y=ax2的图象和性质探究归纳二次函数y=x2的性质解析式图像x的范围：全体实数y的范围：非负数平面直角坐标系请用描点法画二次函数y=x2的图象94101941.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：

24-2-40369xy

2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2

的图象．9410194

24-2-40369xy

观察：二次函数y=x2的图象像什么？事实上，二次函数的图象都是抛物线，

它们的开口或者向上或者向下．

一般地，二次函数

y=ax²+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax²+bx+c.

二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，这条曲线叫做抛物线y=x2

，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.

顶点坐标是（0，0）是抛物线上的最低点.

观察思考

24-2-4O369xy

问题1

从二次函数y=x2的图象你还发现了什么性质？在对称轴左侧，抛物线y=x2从左往右下降；

当x＜0时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，抛物线y=x2从左往右上升当x＞0时，y随x的增大而增大.

一、二次函数y=ax2的图象和性质抛物线向上y轴x=0（0，0）原点最小值（最低点）当x=0时，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.

二、二次项系数a的绝对值大小与开口大小的关系解：分别填表，再画出它们的图象，如图820.5084.520.54.54.5820.5084.520.5探究归纳例2

在同一直角坐标系中，画出函数的图象．①开口都向上；对称轴都是y轴；

问题1

从二次函数的图像上来看，有什么共同点和不同点？a的值越大，开口越小.②增减性相同：当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.③顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点；共同点：不同点：

总结归纳一般地，当a>0时，抛物线y＝ax2的开口_____，对称轴是____，顶点是_____，顶点是抛物线的______，a越大，抛物线的开口_____.向上y轴原点最低点越小

练一练：画出函数y=-x2的图象，并根据图象说出它有哪些性质？-9-4-10-1-9-4

一、二次函数y=ax2的图象和性质抛物线向下y轴x=0（0，0）原点最大值（最高点）当x=0时，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.

练一练：在同一直角坐标系中，画出函数的图象．－8－2－0.50－8－4.5－2－0.5－4.5－4.5－8－2－0.50－8－4.5－2－0.5

问题2

从二次函数的图像上来看，有什么共同点和不同点？a的值越大，开口越小.共同点：不同点：①开口都向下；对称轴都是y轴；②增减性相同：当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.③顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；

总结归纳一般地，当a<0时，抛物线y＝ax2的开口_____，对称轴是_____，顶点是_____，顶点是抛物线的______，a越小，抛物线的开口______.向下y轴原点最高点越小

位置开口方向开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方a的绝对值越大，开口越小归纳总结对称性顶点最值增减性关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减

2、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：开口方向对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）1、如右图，观察函数y=（

k-1）x2的图象,则k的取值范围是

.k>1

三、抛物线y=ax2与y=-ax2的关系问题1观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a>0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=2x2y=-2x2解：分别填表，再画出它们的图象，如图

在同一直角坐标系中，画出函数的图象．例2

当a>0时，a越大，开口越小.思考1：从二次函数开口大小与a的大小有什么关系？练一练：在同一直角坐标系中，画出函数的图象．

当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.对于抛物线

y=ax2

，｜a｜越大，抛物线的开口越小．思考2

从二次函数开口大小与a的大小有什么关系？

小结归纳3.函数y=

x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

;

顶点是抛物线的最

点.2.函数y=－3x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

;

顶点是抛物线的最

点.边选边填：1.函数y=4x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

.向上向下y轴(0,0)4.函数y=－0.2x2的图象的开口

,对称轴是

，顶点是

.高低

课堂练习x轴(1,0)

例3

已知

y=(m+1)x

是二次函数,且其图象开口向上,

求m的值和函数解析式.解:依题意有:m+1>0①m2+m=2②解②得:m1=－2,m2=1由①得:m>－1∴m=1此时,二次函数为:y=2x2.m2+m例4如图，

四个二次函数的图象分别对应①

y=ax2；②

y=bx2；③

y=cx2；④

y=dx2，且①与③，②与④分别关于x

轴对称.(1)比较a，b，c，d的大小；(2)说明a

与c，b

与d

的数量关系.解：(1)由抛物线的开口方向，知

a

＞0，b

＞0，c

＜0，d＜0，由抛物线的开口大小，知

|a|＞|b|，|c|＞|d|，因此a

＞

b，c

＜

d.∴a

＞

b

＞

d

＞

c.(2)∵①与③，②与④分别关于x轴对称，∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反.∴a+c=0，b+d=0.1、下列函数中，y总随x增大而减小的是(

)A．y＝4x

B．y＝－4xC．y＝x－4

D．y＝x2B2、关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是(

)A．它是一条抛物线B．它的开口向上，且关于y轴对称C．它的顶点是抛物线的最高点D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称C

课堂练习

课堂练习

4、若抛物线y=ax2（a≠0），过点（－1，2）.

（1）则a的值是

；

（2）对称轴是

，开口

.

（3）顶点坐标是

，顶点是抛物线上的最

值.

抛物线在x轴的

方（除顶点外）.

（4）若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0,

则y1