猜想05分式（易错必刷30题13种题型专项训练）

猜想05分式（易错必刷30题13种题型专项训练）一．科学记数法—表示较小的数（共2小题）二．分式的定义（共1小题）三．分式有意义的条件（共2小题）四．分式的值为零的条件（共2小题）五．分式的值（共1小题）六．分式的基本性质（共2小题）七．分式的加减法（共1小题）八．分式的混合运算（共3小题）九．分式的化简求值（共5小题）十．分式方程的解（共3小题）十一．解分式方程（共3小题）十二．分式方程的增根（共2小题）十三．分式方程的应用（共3小题）一．科学记数法—表示较小的数（共2小题）1．（2022秋•垣曲县期末）随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（）A．6.5×107 B．6.5×10﹣6 C．6.5×10﹣8 D．6.5×10﹣7【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000065＝6.5×10﹣7．故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．（2022秋•渝北区校级期末）将数0.00001032用科学记数法表示是1.032×10﹣5．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：0.00001032＝1.032×10﹣5．故答案为：1.032×10﹣5．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．二．分式的定义（共1小题）3．（2022秋•柳州期末）下列式子是分式的是（）A．x B． C． D．【分析】根据分式的定义判断即可．【解答】解：A．x是整式，故A不符合题意；B.是整式，故B不符合题意；C.是分式，故C符合题意；D.是整式，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．三．分式有意义的条件（共2小题）4．（2022秋•川汇区期末）要使分式有意义，字母x需要满足（）A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣1 D．x≠0且x≠1【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x2﹣x≠0，x（x﹣1）≠0，解得x≠0且x≠1，故选：D．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为0是解题的关键．5．（2022秋•柳州期末）当x≠﹣4时，分式有意义．【分析】分式有意义的条件是分母不为0．【解答】解：∵分式有意义，∴x+4≠0，解得x≠﹣4．故答案为：≠﹣4．【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．四．分式的值为零的条件（共2小题）6．（2022秋•武冈市期末）若分式的值为0，则x的值为（）A．±3 B．0 C．﹣3 D．3【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．【解答】解：由题意得，解得x＝3．故选：D．【点评】本题考查了分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．7．（2022秋•宁阳县期末）能使分式的值为零的所有x的值是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝1或x＝﹣1 D．x＝2或x＝1【分析】分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：∵，即，∴x＝±1，又∵x≠1，∴x＝﹣1．故选：B．【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．五．分式的值（共1小题）8．（2023春•开江县校级期末）若y＝，则的值为（）A． B．﹣1 C． D．【分析】根据已知可得y﹣x＝2xy，然后代入式子中进行计算即可解答．【解答】解：∵y＝，∴y﹣2xy＝x，∴y﹣x＝2xy，∴＝＝＝﹣，故选：D．【点评】本题考查了分式的值，根据题目的已知求出y﹣x与xy的关系是解题的关键．六．分式的基本性质（共2小题）9．（2022秋•灵宝市期末）如果分式中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值（）A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍【分析】依题意分别用2a和2b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．【解答】解：∵分式中的a，b都同时扩大2倍，∴＝，∴该分式的值扩大2倍．故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．10．（2022秋•忠县期末）若将分式中的x，y的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值（）A．1 B．﹣1 C．变为相反数 D．不变【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：＝＝，∴若将分式中的x，y的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值不变，故选：D．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．七．分式的加减法（共1小题）11．（2022秋•固始县期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；（2）若分式的值为整数，求x的整数值．【分析】（1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；（2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．【解答】解：（1）由题可得，＝＝2﹣；（2）＝＝＝x﹣1+，∵分式的值为整数，且x为整数，∴x+1＝±1，∴x＝﹣2或0．【点评】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．八．分式的混合运算（共3小题）12．（2022秋•莱芜区期末）化简：．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【解答】解：＝•＝•＝．【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．13．（2022秋•忻府区期末）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：﹣，小明同学的解答过程如下：﹣＝﹣①＝﹣②＝2﹣（x+1）③＝1﹣x④，（1）请你分析小明的解答从第③步开始出现错误（填序号），错误的原因是漏掉了分母；（2）请写出正确解答过程，并求出当x＝2时此式的值．【分析】（1）根据异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；（2）根据异分母分式加减法法则进行计算，然后再把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（1）请你分析小明的解答从第③步开始出现错误（填序号），错误的原因是漏掉了分母；故答案为：③，漏掉了分母；（2）正确的解答过程如下：﹣＝﹣＝﹣＝＝＝﹣，当x＝2时，原式＝﹣＝﹣．【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．14．（2022秋•如东县期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，＝，所以是的“关联分式”．（1）已知分式，则是的“关联分式”（填“是”或“不是”）；（2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：设的“关联分式”为N，则×N，∴，∴N＝．请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”．（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：；②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值．【分析】（1）根据关联分式的定义判断．（2）仿照小明的方法求解．（3）找规律后求解．【解答】解：（1）∵﹣＝＝，×＝，∴是的关联分式．故答案为：是．（2）设的关联分式是N，则：﹣N＝•N．∴（+1）•N＝．∴•N＝．∴N＝．（3）①由（2）知：的关联分式为：÷（+1）＝．故答案为：．②由题意得：．∴．∴m＝﹣，n＝．【点评】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础九．分式的化简求值（共5小题）15．（2022秋•忠县期末）已知代数式．（1）化简已知代数式；（2）若a满足，求已知代数式的值．【分析】（1）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；（2）根据已知易得a2＝4+a，然后代入（1）中化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（1）＝•＝•＝；（2）∵，∴a2﹣4﹣a＝0，∴a2＝4+a，∴当a2＝4+a时，原式＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．16．（2022秋•葫芦岛期末）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：÷（1﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣2时，原式＝＝1．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．17．（2022秋•海珠区校级期末）先化简，再求值：（x﹣1+）÷，其中x为整数且满足﹣2＜x＜3．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（x﹣1+）÷＝•＝•＝•＝，∵x为整数且满足﹣2＜x＜3，∴x＝﹣1，0，1，2，∵x+1≠0，x≠0，x﹣1≠0，∴x≠﹣1，x≠0，x≠1，∴当x＝2时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．18．（2022秋•阳泉期末）先化简，再求值：，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a的值代入求值．【分析】先计算分式的除法，再算加法，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：＝•+＝﹣a﹣a＝﹣2a，∵a2﹣9≠0，a﹣1≠0，a≠0，∴a≠±3，a≠1，a≠0，∴当a＝2时，原式＝﹣2×2＝﹣4．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．19．（2022秋•东丽区期末）先化简，再求值．，其中a＝﹣2，b＝﹣1．【分析】先利用同分母分式加减法法则，异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：＝•÷＝••＝，当a＝﹣2，b＝﹣1时，原式＝＝＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．一十．分式方程的解（共3小题）20．（2022秋•铁岭县期末）已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1【分析】由分式方程的解为非负数得到关于m的不等式，进而求出m的范围即可．【解答】解：分式方程去分母得：m＝x﹣1，即x＝m+1，由分式方程的解为非负数，得到m+1≥0，且m+1≠1，解得：m≥﹣1且m≠0，故选：C．【点评】此题考查了分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．21．（2022秋•和平区校级期末）已知关于x的分式方程＝1的解为非负数，则m的取值范围是m≥﹣4且m≠3．【分析】根据题意求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数进行求解．【解答】解：关于x的分式方程化为整式方程为：m+3＝2x﹣1，解得：x＝，且x，∵方程的解为非负数，∴，且，解得：m≥﹣4且m≠﹣3，故答案为：m≥﹣4且m≠﹣3．【点评】本题考查了分式方程的解以及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．22．（2022秋•永定区期末）若关于x的分式方程＝无解，求m的值．【分析】先解分式方程可得（m﹣1）x＝2，根据分式方程无解可知原方程有增根x＝2或m﹣1＝0，进一步即可求出m的值．【解答】解：去分母，得mx＝4+x﹣2，整理，得（m﹣1）x＝2，∵关于x的分式方程＝无解，当x＝2时原分式方程有增根，原方程无解，∴2（m﹣1）＝2，解得m＝2，当m﹣1＝0时，原方程无解，解得m＝1，∴m＝2或1．【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法和分式方程无解的情况是解题的关键．一十一．解分式方程（共3小题）23．（2022秋•汉阴县期末）解分式方程：．【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：，x﹣3+x﹣2＝﹣3，解得：x＝1，检验：当x＝1时，x﹣2≠0，∴x＝1是原方程的根．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要检验．24．（2022秋•绥棱县校级期末）解下列分式方程：（1）；（2）．【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：（1），1﹣2＝x﹣1，解得：x＝0，检验：当x＝0时，x﹣1≠0，∴x＝0是原方程的根；（2），2x﹣1﹣3＝4，解得：x＝4，检验：当x＝4时，3（2x﹣1）≠0，∴x＝4是原方程的根．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．25．（2022秋•任城区期末）解方程：﹣1＝．【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：﹣1＝，﹣1＝，x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，解得：x＝4，检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0，∴x＝4是原方程的根．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．一十二．分式方程的增根（共2小题）26．（2022秋•天河区校级期末）已知关于x的方程有增根，则a的值为（）A．4 B．5 C．6 D．﹣5【分析】首先最简公分母为0，求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【解答】解：∵方程有增根，∴x﹣5＝0，∴x＝5，，x＝3（x﹣5）﹣a，x＝3x﹣15﹣a，把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根产生的原因，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，这是解题的关键．27．（2022秋•桥西区期末）关于x的方程﹣＝1有增根，则m＝5．【分析】根据题意可得x＝2，然后把x＝2代入整式方程中，进行计算即可解答．【解答】解：∵﹣＝1，∴m﹣3﹣x＝x﹣2，解得：x＝，∵方程﹣＝1有增根，∴x＝2，把x＝2代入x＝中得：2＝，解得：m＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．一十三．分式方程的应用（共3小题）28．（2022秋•新抚区期末）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．（1）篮球和排球的单价各是多少元？（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？【分析】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；（2）设购买排球y个，则购买篮球（20﹣y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，根据题意得：＝，解得：x＝80，经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，∴x+30＝110．∴篮球的单价为110元，排球的单价为80元．（2）设购买篮球y个，则购买排球（20﹣y）个，依题意得：110y+80（20﹣y）≤1800，解得y≤6，即y的最大值为6，∴最多购买6个篮球．【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．29．（2022秋•魏都区校级期末）某工程队承接了30万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前了15天完成了这一任务．（1）用含x的代数式填表（结果不需要化简）工作效率（万平方米/天）工作时间（天）总任务量（万平方米）原计划x30实际（1+25%）x30（2）求（1）的表格中的x的值．【分析】（1）设原计划