必修一课后作业第三章指数函数对数函数和幂函数

1指数与指数运算疑点透析1．如何理解n次方根的概念若一个数x的n次方等于a，那么x怎么用a来表示呢？是x＝eq\r(n,a)吗？这个回答是不完整的．正确表示应如下：x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)，n为奇数，,±\r(n,a)，n为偶数，a＞0，,不存在，n为偶数，a＜0，,0，a＝0.))主要性质有：①当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；②当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0.))2．如何理解分数指数幂的意义分数指数幂不可以理解为eq\f(m,n)个a相乘，它是根式的一种新的写法．规定＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，＝eq\f(1,)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m，n的具体数而定．3．分数指数幂和整数指数幂有什么异同相同：分数指数幂与整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算．其运算形式为at·as＝at＋s；(at)s＝ats；(ab)t＝at·bt，式中a＞0，b＞0，t、s∈Q，对于这三条性质，不要求证明，但须记准．不同：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式．4．指数幂的运算在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．例1化简eq\r(3,a\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－7)\r(3,a13)).解原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(aa－3))÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－7a13))＝(aa)÷(aa)＝a＝a0＝1.例2求eq\r(4,81×\r(9))的值．解原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(34×3))＝(3)＝3×eq\f(1,4)＝3＝3eq\r(6,3).例1、例2两道例题都既含有分数指数幂又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算．2解读指数函数的四个难点在学习了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握．难点之一：概念指数函数y＝ax有三个特征：①指数：指数只能是自变量x，而不能是x的函数；②底数：底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1.例1给出五个函数：①y＝2×6x；②y＝(－6)x；③y＝πx；④y＝xx；⑤y＝.其中指数函数的个数是________．分析根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考察，是否满足指数函数的定义．解析对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x不是常数；对于⑤，指数是x的一次函数，故①、②、④、⑤都不是指数函数．正确的是③，只有③符合指数函数的定义．答案1难点之二：讨论指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当a＞1时，是单调增函数；当0＜a＜1时，是单调减函数．例2函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大eq\f(a,2)，求a的值．分析遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a进行分类讨论，再列出方程并求出a.解当a＞1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a2，最小值是a，依题意得a2－a＝eq\f(a,2)，即a2＝eq\f(3a,2)，所以a＝eq\f(3,2)；当0＜a＜1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a，最小值是a2，依题意得a－a2＝eq\f(a,2)，即a2＝eq\f(a,2)，所以a＝eq\f(1,2).综上可知，a＝eq\f(3,2)或a＝eq\f(1,2).难点之三：复合指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则．例3求函数y＝(eq\f(1,3))eq\r(－x2＋x＋2)的单调减区间．分析指数函数与指数型复合函数的区别在于指数自变量是x还是x的函数．此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解．解由－x2＋x＋2≥0知，函数的定义域是[－1,2]．令u＝－x2＋x＋2＝－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(9,4)，则y＝(eq\f(1,3))eq\r(u)，当x∈[－1，eq\f(1,2)]时，随x的增大，u增大，y减小，故函数的单调减区间为[－1，eq\f(1,2)]．难点之四：图象指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象特征是：当a＞1时，在y轴的右侧，a越大，图象越往上排；在y轴左侧，a越大，图象越往下排．当0＜a＜1时恰好相反．例4利用指数函数的图象比较0.7－0.3与0.4－0.3的大小．分析可在同一坐标系中作出y＝0.7x及y＝0.4x的图象，从图象中得出结果．解如图所示，作出y＝0.7x、y＝0.4x及x＝－0.3的图象，易知0.7－0.3＜0.4－0.3.评注图象应记忆准确，在第二象限中靠近y轴的函数应是y＝0.4x，而不是y＝0.7x，这一点应注意．3对数与对数运算学习讲解1．对数的定义一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．解读：(1)由对数定义可以知道，当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN，也就是说指数式与对数式实际上是表示a、N之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；(2)根据对数定义可以知道，＝N，即a的logaN次方等于N，对数恒等式也是化简或计算的重要公式．2．对数的性质(1)零和负数没有对数，由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ax＝N(a＞0，且a≠1)中N总是正数；(2)1的对数为0，由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以loga1＝0；(3)底数的对数等于1，由于a1＝a对于任何非零实数都成立，所以logaa＝1.3．对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；(3)logaMn＝nlogaM，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中．例1将下列对数式化成指数式、指数式化成对数式．(1)log3eq\f(1,27)＝－3；(2)log232＝5；(3)63＝216；(4)10－3＝0.001.解(1)3－3＝eq\f(1,27).(2)25＝32.(3)log6216＝3.(4)log100.001＝－3，也可写成lg0.001＝－3.评注本题考查了对数式与指数式的互化．解题所用知识都是依据对数的定义，要注意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数．例2求下列各式的值．(1)3log72－log79＋2log7eq\f(3,2\r(2))；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.解(1)原式＝log723－log79＋log7(eq\f(3,2\r(2)))2＝log7eq\f(23×\f(3,2\r(2))2,9)＝log71＝0.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(lg5＋2lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝3.评注利用对数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，体现了利用对数运算的优越性．4换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助．一、换底公式及证明换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab).证明设logbN＝x，则bx＝N.两边均取以a为底的对数，得logabx＝logaN，∴xlogab＝logaN.∴x＝eq\f(logaN,logab)，即logbN＝eq\f(logaN,logab).二、换底公式的应用举例1．乘积型例1(1)计算：log89·log2732；(2)求证：logab·logbc·logcd＝logad.分析先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决．解(1)换为常用对数，得log89·log2732＝eq\f(lg9,lg8)·eq\f(lg32,lg27)＝eq\f(2lg3,3lg2)·eq\f(5lg2,3lg3)＝eq\f(2,3)×eq\f(5,3)＝eq\f(10,9).(2)由换底公式，得logab·logbc·logcd＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lgc,lgb)·eq\f(lgd,lgc)＝logad.评注此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决．2．知值求值型例2已知log1227＝a，求log616的值．分析本题可选择以3为底进行求解．解log1227＝eq\f(log327,log312)＝a，解得log32＝eq\f(3－a,2a).故log616＝eq\f(log316,log36)＝eq\f(4log32,1＋log32)＝eq\f(4×\f(3－a,2a),1＋\f(3－a,2a))＝eq\f(43－a,3＋a).评注这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决．3．综合型例3设A＝eq\f(1,log519)＋eq\f(2,log319)＋eq\f(3,log219)，B＝eq\f(1,log2π)＋eq\f(1,log5π)，试比较A与B的大小．分析本题可选择以19及π为底进行解题．解A换成以19为底，B换成以π为底，则有A＝log195＋2log193＋3log192＝log19360＜2，B＝logπ2＋logπ5＝logπ10＞logππ2＝2.故A＜B.评注一般也有倒数关系式成立，即logab·logba＝1，logab＝eq\f(1,logba).5精析对数函数一、对数函数的概念函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．由对数的定义容易知道对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)是指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数．在对数函数中自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记．若对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数．二、对数函数的图象和性质1．对数函数性质的记忆与运用的注意事项(1)数形结合——利用图象记忆性质．x＝1是“分水岭”；(2)函数的单调性决定于底数a大于1还是大于0小于1；(3)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(其中a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的概念、图象、性质，既有密切的联系又有本质的区别．2．对数函数图象分布规律如图所示，在同一坐标系中多个对数函数底数的变化规律是：在直线x＝1的右边区域，在x轴上方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越大，且底数均大于1；在x轴下方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越小，且底数均在(0,1)之间．图中的对数函数的底数a，b，c，d的大小关系是0＜a＜b＜1＜c＜d.在具体解题时，还可利用特殊值法．例1函数y＝log(x－1)(4－x)的定义域是________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0,x－1≠1,4－x＞0))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1,x≠2,x＜4))，所以函数的定义域是{x|1＜x＜4，且x≠2}．答案{x|1＜x＜4，且x≠2}评注函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的集合，若出现对数，要使其真数大于0，底数大于0且不等于1.例2函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a、b、c、d与正整数1的大小顺序是______________．解析作出直线y＝1，可知其与对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的交点的横坐标分别就是该对数函数的底数a、b、c、d，于是c＜d＜1＜a＜b.答案c＜d＜1＜a＜b评注利用特殊值的办法解决有关对数函数的图象问题，可减轻记忆的负担，使问题得到迅速地解决．6巧解指数函数、对数函数综合题指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数，它们有共同的底数，且底数起了核心作用，其变化规律是：当a＞1时，它们在各自的定义域内都是单调增函数；当0＜a＜1时，它们在各自的定义域内都是单调减函数，因此在解决指、对函数型问题时，以底数为突破口，往往能够快速解题．1．共享底数对数式与指数式互化，其底数一致，即logaN＝b，ab＝N.利用它可以解决指、对数方程及互化等问题．例1方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解x＝________.解析将对数式化为指数式，得32x＋1＝1－2·3x，即3·(3x)2＋2·3x－1＝0，得3x＝eq\f(1,3)，故x＝－1.答案－12．亮出底数在有些指数、对数函数问题，特别是图象问题中，只要突出底数作用，即亮出底数，根据函数的单调性，就可解决．例2当a＞1时，在同一坐标系中，能表示函数y＝a－x与y＝logax的图象是________．解析由a＞1，得0＜eq\f(1,a)＜1，则指数函数y＝a－x＝(eq\f(1,a))x在R上是单调减函数，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是单调增函数，故①符合．答案①3．变换底数对数或指数运算最怕是不同底，这时可利用换底公式等手段变换底数．例3若loga2＜logb2＜0，则下列各式成立的是________．①0＜a＜b＜1；②0＜b＜a＜1；③a＞b＞1；④b＞a＞1.解析化为同底，有eq\f(1,log2a)＜eq\f(1,log2b)＜0，从而log2b＜log2a＜0，即log2b＜log2a＜log21.∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是单调增函数，∴0＜b＜a＜1.答案②4．讨论底数当底数不定时，常分0＜a＜1与a＞1两种情况进行讨论．例4函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的差为5，则a＝________.解析由题意知，a＞0，且a≠1.①当a＞1时，有a1－a0＝5，即a＝6；②当0＜a＜1时，有a0－a1＝5，即a＝－4(舍去)．综上知，a＝6.答案65．消去底数有时候指数及对数问题的底数存在，会给解题带来一定的麻烦，我们还可利用转化的思想(如用同底法、换底法等)消去底数，使问题简化．例5设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．解作商eq\f(|loga1－x|,|loga1＋x|)＝|log(1＋x)(1－x)|，∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＜1＋x＜2,0＜1－x2＜1，∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)eq\f(1,1－x)＝log(1＋x)eq\f(1＋x,1－x2)＞log(1＋x)(1＋x)＝1.∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.7三种数学思想在幂函数中的应用1．分类讨论的思想例1若(a＋1)－eq\f(1,3)<(3－2a)，试求a的取值范围．分析利用函数y＝x的图象及单调性解题，注意根据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．解分类讨论eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,3－2a>0，,a＋1>3－2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,3－2a<0，,a＋1>3－2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,a＋1<0，))解得a<－1或eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2).评注考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏．2．数形结合的思想例2当0<x≤eq\f(1,2)时，4x<logax，则a的取值范围是____________．解析a>1时，当0<x≤eq\f(1,2)时，logax<0，不合题意．0<a<1时，只需4<logaeq\f(1,2)，即logaa2<logaeq\f(1,2)，解得a>eq\f(\r(2),2)，又a∈(0,1)，∴a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))评注数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．3．转化的数学思想例3指出函数f(x)＝eq\f(x2＋4x＋5,x2＋4x＋4)的单调区间，并比较f(－π)与f(－eq\f(\r(2),2))的大小．解因为f(x)＝eq\f(x2＋4x＋4＋1,x2＋4x＋4)＝1＋eq\f(1,x＋22)＝1＋(x＋2)－2，所以其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．所以f(x)在(－2，＋∞)上是单调减函数，在(－∞，－2)上是单调增函数，且图象关于直线x＝－2对称．又因为－2－(－π)＝π－2，－eq\f(\r(2),2)－(－2)＝2－eq\f(\r(2),2)，所以π－2<2－eq\f(\r(2),2)，故－π距离对称轴更近，所以f(－π)>f(－eq\f(\r(2),2))．评注通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而运用其性质来解题.8函数的零点及应用一、要点扫描1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，且f(a)f(b)＜0，则f(x)在区间[a，b]内有零点．2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f(x)＝0.3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y＝f(x)与y＝g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求方程f(x)－g(x)＝0的根．二、典型例题剖析1．求函数的零点例1求函数f(x)＝x3－3x＋2的零点．解令f(x)＝x3－3x＋2＝0，∴(x＋2)(x－1)2＝0.∴x＝－2或x＝1，∴函数f(x)＝x3－3x＋2的零点为－2,1.评注求函数的零点，就是求f(x)＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题．2．判断函数零点的个数例2已知函数f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a＞1)，判断函数f(x)＝0的根的个数．解设f1(x)＝ax(a＞1)，f2(x)＝－eq\f(x－2,x＋1)，则f(x)＝0的解，即为f1(x)＝f2(x)的解，即为函数f1(x)与f2(x)的交点的横坐标．在同一坐标系下，分别作出函数f1(x)＝ax(a＞1)与f2(x)＝－eq\f(x－2,x＋1)的图象(如图所示)．所以方程f(x)＝0的根有一个．评注利用数形结合的思想解决，在同一坐标系下作出f1(x)与f2(x)两函数的图象，从而观察出两函数的交点(即是原函数的零点的个数)．3．确定零点所在的区间例3设函数y＝x3与y＝(eq\f(1,2))x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是下列中的________．(填序号)①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．解析y＝x3与y＝(eq\f(1,2))x－2的图象的交点的横坐标即为x3＝(eq\f(1,2))x－2的根，即f(x)＝x3－(eq\f(1,2))x－2的零点，f(1)＝1－(eq\f(1,2))－1＝－1＜0，f(2)＝23－(eq\f(1,2))0＝7＞0，∴f(x)的零点在(1,2)内．答案②评注本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求．4．利用函数零点的存在性求参数范围例4关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在[0,2]上有解，求实数m的取值范围．解设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，又∵f(0)＝1>0，由题意得①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<－\f(m－1,2)≤2，,Δ＝m－12－4≥0，))或②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m－1,2)>2，,f2≤0.))解①得－3≤m≤－1，解②得m<－3.即m≤－1.所以m的取值范围为(－∞，－1]．评注本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求．9零点问题考向探究函数零点就是方程的根，这为我们提供了一个通过函数性质确定方程根的途径，是近几年课标高考命题的热点．本节结合实例归纳有关函数零点问题的几类热点题型．一、判断函数零点的存在性例1已知函数f(x)＝2x3－4x2－3x＋1，那么在区间长度为1的条件下，下列叙述不正确的是________．(填序号)①函数在区间(－1,0)内有零点；②函数在区间(0,1)内有零点；③函数在区间(1,2)内有零点；④函数在区间(2,3)内有零点．分析根据选项提供的区间来看，需要计算f(－1)，f(0)，f(1)，f(2)，f(3)的值，然后看相邻两个函数之间的符号关系，进而确定函数零点的所在区间．解析因为f(－1)＝－2<0，f(0)＝1>0，f(1)＝－4<0，f(2)＝－5<0，f(3)＝10>0，所以f(－1)·f(0)<0，f(0)·f(1)<0，f(2)·f(3)<0.又因为一个三次方程最多有三个实根，所以函数f(x)＝2x3－4x2－3x＋1在区间(－1,0)，(0,1)，(2,3)内各有一个零点．答案③评注由于本题所涉及的函数在各个区间上的单调性不容易判断，因此通过找全函数的可能存在的零点，用排除法找到正确答案．二、考查函数图象与函数零点的关系例2已知函数f(x)＝eq\r(x)－cosx，在[0，＋∞)内下列说法正确的是________．①没有零点；②有且仅有一个零点；③有且仅有两个零点；④有无穷多个零点．分析利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质(值域、单调性等)进行判断．解析在同一直角坐标系中分别作出函数y＝eq\r(x)和y＝cosx的图象，如图，由于x>1时，y＝eq\r(x)>1，y＝cosx≤1，所以两图象只有一个交点，即方程eq\r(x)－cosx＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝eq\r(x)－cosx在[0，＋∞)内只有一个零点．答案②评注函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标即为函数f(x)的零点．求方程f(x)＝g(x)的根或根的个数，即求函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标或交点的个数．三、判断函数零点所在的大致区间例3函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是下列中的________．(填序号)①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．解析因为f(－1)＝eq\f(1,2)－3＜0，f(0)＝1＞0，所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点．答案②评注若f(a)·f(b)<0，且f(x)在[a，b]上连续，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定有零点，但要注意，若f(a)·f(b)≥0，并不能证明f(x)在(a，b)内没有零点.10解读二分法“二分法”主要用途在于求函数的零点、求方程的近似解以及求两函数图象交点的横坐标等．在学习的过程中，我们应重视从本质上理解和掌握“二分法”的实质，合理准确地使用“二分法”解题．一、定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．二、适用条件若用“二分法”求函数y＝f(x)零点的近似值，必须具备两个条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上图象要连续不断．例如函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3＋2x＜1，,x2－5x＞2))图象不连续，要求它在[0,3]上零点的近似值，区间的中点1.5根本就不在定义域内，不能用“二分法”；②必须满足f(a)·f(b)＜0，这说明y＝f(x)在区间(a，b)上一定有零点，否则若f(a)·f(b)＞0，则y＝f(x)在区间(a，b)上有无零点不能保证，不能用“二分法”．三、用二分法求函数零点近似值的一般步骤给定精确到ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确到ε；2．求区间(a，b)的中点c；3．计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．4．判断是否达到精确到ε：即若a，b精确到ε的值相等，则得到零点近似值；否则重复步骤2～4.四、二分法的优、缺点二分法的优点在于其解题思想简单易懂，即为“取区间中点，层层逼近零点”的原则，其体现了过程的机械性和简单性．缺点在于其求解过程中计算量较大，必要时要用到计算器，计算要求准确性高，可谓是“一步走错则全盘皆输”．例求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解(精确到0.1)．分析先利用函数图象直观得到某根所在的区间．解设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图象的草图，如图所示．∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，∴在区间(2,3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1，取2和3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25＞0，∴x1∈(2,2.5)，再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.4375＜0，∴x1∈(2.25,2.5)，如此继续下去，得f(2.375)＜0，f(2.4375)＞0，则x1∈(2.375,2.4375)，∵2.375与2.24375精确到0.1的近似值都为2.4，∴方程的近似解为x1≈2.4.评注运用二分法的前提是先判断某根所在的大概区间．11函数与方程，唇齿相依函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．一、判断方程解的存在性例1已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？分析可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．解因为f(－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2＋1＝－4<0，f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．评注要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．二、确定方程根的个数例2若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为________．分析利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．解析设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1，得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)上有零点．由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，易知当a>0时g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．因此方程f(x)＝1仅有一个根．答案1评注在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有唯一的零点．三、求参数的取值范围例3已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．分析将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的范围．解析因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，所以f(－2)f(0)≤0.即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.答案[1，＋∞)评注本题对方程实根的研究转化为对一次函数f(x)在[－2,0]上有一个零点的研究，最后建立关于m的不等式求出m的取值范围．整个解题过程充满了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．例4已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围．分析若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，则由根的分布，函数f(x)的图象只能如图所示.对应的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0，,f1<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,f1>0，))解出即可．解令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，为使方程f(x)＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0，,f1<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,f1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0，,2k－2－3k－2<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,2k－2－3k－2>0，))解得k>0或k<－4.故k的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．评注本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决．12函数应用问题“讲”与“练”讲解一求函数模型例1某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少eq\f(8,5)t(t＞0)万件．请将税金收入表示为征收附加税的函数．解设每年销售量为x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税为y＝250x·eq\f(t,100)＝eq\f(5,2)tx.依题意，知x＝40－eq\f(8,5)t＞0，即t＜25.故所求的函数关系式为y＝eq\f(5,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40－\f(8,5)t))t＝－4t2＋100t(0＜t＜25)．评注在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．练习1将进货单价为70元的商品按100元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少15个，求利润y与每个商品涨价x元之间的函数关系式．答案y＝－15x2＋50x＋15000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(100,3)))讲解二函数模型的选用例2某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q(万元)与上市时间t(天)的关系如下表所示：种植成本Q(万元)150100上市时间t(天)50150模拟函数可以选用二次函数Q＝a(t－150)2＋b(a，b为常数，且a≠0)，或一次函数Q＝kt＋m(k，m为常数，且k≠0)．已知种植成本Q＝112.5万元时，上市时间t＝200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．分析根据题目给定的两组Q，t的值，可分别求出模拟函数中的未知量a，b，k，m.解设f(t)＝a(t－150)2＋b(其中a，b为常数，a≠0)，g(t)＝kt＋m(k≠0)．由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f50＝150，,f150＝100，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g50＝150，,g150＝100.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a50－1502＋b＝150，,a150－1502＋b＝100，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50k＋m＝150，,150k＋m＝100.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,200)，,b＝100，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,m＝175.))所以f(t)＝eq\f(1,200)(t－150)2＋100，g(t)＝－eq\f(1,2)t＋175.因为f(200)＝eq\f(1,200)(200－150)2＋100＝112.5，g(200)＝－eq\f(1,2)×200＋175＝75，所以选用f(t)＝eq\f(1,200)(t－150)2＋100作为模拟函数较好．评注本题不能凭空下结论，而要通过具体计算得到．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学化．练习2现有一组数据如下表所示：x123…y1.53.517.5…其中最能近似地表达这些数据规律的函数是________．①y＝2x－1；②y＝x2－1；③y＝2x－eq\f(1,2)；④y＝x3－x＋1.答案③讲解三转化为熟悉的函数模型例3有A，B两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M(万元)和N(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式：M＝eq\f(1,2)x，N＝eq\f(3\r(x),2)，今有4万元资金投入经营A，B两种商品．为获得最大利润，应分别对A，B两种商品的资金投入多少万元？解设对A种产品投资x万元，则对B种产品投资(4－x)万元．于是获得总利润y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3\r(4－x),2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,4－x≥0，))得0≤x≤4.令t＝eq\r(4－x)(0≤x≤4)，则x＝4－t2(0≤t≤2)．所以y＝eq\f(1,2)(4－t2)＋eq\f(3,2)t＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2＋eq\f(25,8)(0≤t