专题2210相似形章末十大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（原卷版）

专题22.10相似形章末十大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1利用平行线分线段成比例进行求值或证明】 1【题型3利用相似三角形的判定与结论求长度】 3【题型4利用相似三角形的判定与结论求面积】 5【题型5利用相似三角形的判定与结论求最值】 6【题型6利用相似三角形的判定与结论解决规律探究问题】 7【题型7利用相似三角形的判定与结论解决动态探究问题】 9【题型8利用相似三角形的判定与结论解决多结论问题】 10【题型9利用相似三角形的判定与结论解决新定义问题】 11【题型10利用相似三角形的判定与结论在格点中作图】 12【题型1利用平行线分线段成比例进行求值或证明】【例1】（2023秋·福建三明·九年级统考期中）请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则ABAC下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过点C作CE∥DA．交BA的延长线于点E任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．【变式11】（2023春·山西吕梁·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，2AB=BC=6，把△ADC沿着AD翻折得到△ADC'，连接BC'交AD于点E，点M是EC'

【变式12】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点P是▱ABCD内的一点，连接PA，PB，PC，PD，过点P作PE∥BC，PF∥AB，分别交AB、BC于点E、F，若S

【变式13】（2023春·广东·九年级专题练习）定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB=BC=4①若CD=3，AC⊥CD于点C②若AD=DC，∠ADC(2)如图②，在矩形ABCD中AB=6，BC=15，点P是对角线BD上的一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，要使四边形【题型2利用相似三角形的判定与结论在格点中求值】【例2】（2023·安徽宿州·统考一模）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A、B、C、D均在格点上，连接AC、BD相交于点E，若小正方形的边长为1【变式21】（2023·山东烟台·统考一模）如图，在方格纸中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，则∠BACA．30° B．45° C．60° D．75°【变式22】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，AF与BC相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分△DEF的面积等于

【变式23】（2023秋·福建福州·九年级校联考期末）在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC-∠

【题型3利用相似三角形的判定与结论求长度】【例3】（2023·黑龙江绥化·校考三模）在▱ABCD中，AH⊥BD，垂足为H，∠ABD为锐角，且∠ABH=∠DAH，若AH【变式31】（2023秋·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）如图，在矩形ABCD中，已知AB=12，如果将矩形沿直线l翻折后，点B落在边CD的中点E处，直线l分别与边AB、BC交于点M、N，如果BN=6.5，那么AM的长为

【变式32】（2023·河南郑州·校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,6，B-10,0，把△AOB绕点O按顺时针方向旋转，点A，B的对应点分别是A'，B'，连接AB'．当点B'

【变式33】（2023·安徽合肥·校联考模拟预测）等腰直角ΔABC与等腰直角ΔCDE的直角顶点C重合．DE与AC相交于F，CD的延长线交AB于G，连接BD．

(1)如图1，求证：AC⋅(2)如图2，B，D，E在同一条直线上，取AB的中点M，分别连接MC，ME，求证：MC=ME(3)如图3，过A作BD的平行线，过B作AC的平行线，两线相交于H，且点H在CG的延长线上，若BC=2BH，求【题型4利用相似三角形的判定与结论求面积】【例4】（2023秋·安徽合肥·九年级校考期中）△ABC的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若∠B=∠FAC，BD=AC，∠BDE

A．1:3 B．1:4 C．2:5 D．3:8【变式41】（2023·浙江温州·校联考三模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=kx+203过点A5,0，C2,a，与y轴交于点B．点D，

(1)求k和a的值；(2)当∠AEC与△CDE中的一个角相等时，求线段(3)如图2，连接BE交CD于点H，将点B绕点H逆时针旋转90°至点B'，若点B'到x轴的距离恰好等于OD的长，求【变式42】（2023春·上海静安·九年级统考期末）（1）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4（2）若点M是直线AB上的一点，直线DM交直线BC于点N．①当点M在线段AB的延长线上时（如图2），设BM=x，DM=②如果△AMD是等腰三角形，求△

【变式43】（2023春·四川德阳·九年级统考期末）如图，已知F是△ABC内的一点，DF∥BC，EF∥AB，若四边形BDFE的面积为2，BDA．6 B．8 C．10 D．12【题型5利用相似三角形的判定与结论求最值】【例5】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是AD上的一点，且AE=2，F，G是AB，CD上的动点，且BE=FG，BE⊥FG，连接

【变式51】（2023秋·广东梅州·九年级校考期末）如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，【变式52】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点D是等边△ABC边AB上的一动点(不与端点重合)，点D绕点C引顺时针方向旋转60∘得点E，所得的△CDE边DE与BC交于点F，则CFDE

【变式53】（2023春·吉林长春·九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线BC方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒

(1)用含t的代数式表示线段CP的长；(2)当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值；(3)若点M为DQ的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与△ABC相似时t(4)直接写出点B关于直线AP的对称点B'落在△ACD内部时【题型6利用相似三角形的判定与结论解决规律探究问题】【例6】（2023·山东德州·统考二模）如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设四边形A1DED1的面积为S1，四边形A2D1E1D2的面积为S2，四边形A3D2E2D3的面积为S3，…若AB＝2则Sn等于（用含有正整数n的式子表示）（

）A．22n+49 B．22n【变式61】（2023·山东烟台·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为底边在正方形ABCD内作等腰ΔABE，点E在CD边上，再在等腰ΔABE中作最大的正方形A1B1C1D1A．122018 BC．2(52)2018【变式62】（2023秋·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)，延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交xA．5322021 B．5942020 C【变式63】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8…依次规律继续作正方形AnBnCnAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1【题型7利用相似三角形的判定与结论解决动态探究问题】【例7】（2023·河南信阳·校考三模）如图，正方形ABCD中，AB=4，点P为射线AD上一个动点．连接BP，把△ABP沿BP折叠，当点A的对应点A'刚好落在线段BC的垂直平分线上时，AP

【变式71】（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=12

【变式72】（2023春·山东淄博·九年级统考期中）如图，点A坐标为1,1，点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF，连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，若以B，E，F为顶点的三角形与△OEF相似，则B

【变式73】（2023春·江西·九年级专题练习）在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，D是AB的中点，P是CD上的动点，若点P到△ABC的一边的距离为2【题型8利用相似三角形的判定与结论解决多结论问题】【例8】（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤【变式81】（2023秋·江苏扬州·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC，M是AC中点，CN=2BN，BM交AN于O，BM交AH于I，若S△ABC=36，则下面结论：①∠CAH=∠A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【变式82】（2023春·山东东营·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有下列结论：①图中共有三个平行四边形；②当BD=2BC时，四边形DEBF是菱形；③BDA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【变式83】（2023春·全国·九年级期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD=60°，将▱ABCD绕顶点A逆时针旋转至▱AEFG，此时点D在AE上，连接AC、AF、CF、EB，线段EB分别交CD、AC于点H、K，则下列四个结论中：①∠CAF=60°A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【题型9利用相似三角形的判定与结论解决新定义问题】【例9】（2023·浙江湖州·统考二模）定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．

(1)如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，连结BD，点E是BD的中点，连结①试判断四边形ABCE是否是双等腰四边形，并说明理由；②若∠AEC=90°，求(2)如图2，点E是矩形ABCD内一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是双等腰四边形，且AD=DE．延长AE交BC于点G，连结FG．若AD=5，∠EFG=90°【变式91】（2023·福建莆田·校考模拟预测）定义：△ABC中，一个内角的度数为α，另一个内角的度数为β，若满足α+2β=90°，则称这个三角形为“智汇三角形”．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是BC上的一个动点，连接AD，若【变式92】（2023·江苏苏州·苏州市胥江实验中学校校考二模）定义：如果三角形的两个α与β满足α-β=90°，那么我们称这样的三角形为“

(1)若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠A>90°，∠B=20°(2)如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，若AB=4，BC=5，点D是线段AB上的一点，若(3)如图2，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC=4，CD=5，∠BAC=90°，若∠ACD【变式93】（2023·江苏扬州·校考一模）定义：如果三角形中有两个角的差为90°，则称这个三角形为互融三角形，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，BC=5，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“互融三角形”，则CD的长为．【题型10利用相似三角形的判定与结论在格点中作图】【例10】（2023春·吉林长春·九年级校考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形