专题07分式方程及其应用（举一反三）

专题07分式方程及其应用【八大题型】TOC\o"13"\h\u【题型1由分式方程的解求参数】 2【题型2解分式方程】 4【题型3由分式方程无解或存在增根求参数】 4【题型4由分式方程的取值范围求参数】 7【题型5由实际问题抽象出分式方程】 9【题型6分式方程的应用与函数的综合运用】 11【题型7中考最热考法之以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用】 17【题型8中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】 21【知识点分式方程及其应用】1.定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2.分式方程的解法①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。3.分式方程与实际问题解有关分式方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。【题型1由分式方程的解求参数】【例1】（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程2kx+3x-1-7x2-x=4k【答案】k=0,x=73或k=94，x=23；k【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即k=0，为一元二次方程，即k≠0，分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为Δ=0(方程有等根，满足方程恰好有一个实数解)，若Δ>0，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为【详解】解：两边同乘x2-x,若k=0若k≠0，由题意，知Δ解得k1当k1=94时，x1若方程有两不等实根，则其中一个为增根，当x1=1时，k=2当x1=0时，k=【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论．【变式11】（2023·山东淄博·统考中考真题）已知x=1是方程m2-x-1A．-2 B．2 C．-4 D【答案】B【分析】将x=1【详解】解：将x=1代入方程，得解得：m故选：B．【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x=1代入原方程中得到关于m【变式12】（2023·黑龙江·统考中考真题）下列分式方程中，解为x=A．4x-1=1x B．x【答案】C【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可．【详解】当x=A．4x-1=1x中，左边B．x+1x2-1=0中，C．2x-1+1D．2x+1-1x故答案是：C【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为0的情况．【变式13】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）若关于x的不等式组3x+54≤x+32x+A．10 B．12 C．16 D．14【答案】B【分析】先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得a的取值范围，然后求得分式方程的解，根据解为整数，且y-2≠0，即可求得满足条件的所有整数【详解】3解不等式①，得x≤1解不等式②，得x>因为关于x的不等式组3xa-解得a≥2解关于y的分式方程5-ayy=∵6a-1为整数，a∴a=2或a=3或∴满足条件的所有整数a的和=2+3+7=12．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键．【题型2解分式方程】【例2】（2023·河北·统考中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为．b的值为．x结果代数式2n37b2a1【答案】52【分析】把x=2代入得2x+1x=a，可求得a的值；把【详解】解：当x=n时，3x当x=2时，2x+1当x=n时，2x解得n=-1经检验，n=-1∴b=3×故答案为：52；【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键．【变式21】（2023·四川·中考真题）关于x的分式方程2x-1【答案】x【分析】把分式方程转化为整式方程即可解决问题．【详解】解：2两边乘x+1x-解得x=-2检验：把x=-2代入x+1x∴x=-2故答案为：x=-2【点睛】此题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．【变式22】（2023·西藏·统考中考真题）解分式方程：xx【答案】-【分析】方程两边同时乘以x+1【详解】xxxx-x=-经检验，x=-故原方程的解为：x=-【点睛】本题考查了求解分式方程的知识，掌握相应的求解方程，是解答本题的关键．注意：解分式方程时，要将所求的解代入原方程进行检验．【变式23】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程xx小丁：解：去分母，得x去括号，得x合并同类项，得3=解得x∴原方程的解是x小迪：解：去分母，得x去括号得x合并同类项得2解得x经检验，x=2你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【答案】都错误，见解析【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．【详解】小丁和小迪的解法都错误；解：去分母，得x+(去括号，得2x解得，x=1经检验：x=1【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．【题型3由分式方程无解或存在增根求参数】【例3】（2023·黑龙江·统考中考真题）若分式方程xx-1A．1 B．-1 C．2 D．【答案】B【分析】先化分式方程为整式方程，令分母x-1=0，代入整式方程计算【详解】因为xx去分母得：x+解得：m因为分式方程xx所以x-1=0，即：所以m=故选B．【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是熟练掌握分式方程中关于增根的解题方法．【变式31】（2023·河北石家庄·校联考一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?x（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”【答案】（1）x=0;（2）原分式方程中“？”代表的数是【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.【详解】（1）方程两边同时乘以(x5+3(解得

x经检验，x=0是原分式方程的解（2）设？为m，方程两边同时乘以(xm由于x=2所以把x=2mm所以，原分式方程中“？”代表的数是1.【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式32】（2023·黑龙江鸡西·校考二模）若关于x的分式方程1x-2+axA．a≠32 B．a≠-1 C．a=-1【答案】D【分析】先解分式方程得到-a【详解】解：1去分母得：1-ax去括号得：1-ax移项得：-ax合并同类项得：-a∵关于x的分式方程1x∴a+1≠0∴a+1≠0∴a≠32故选D．【点睛】本题主要考查了分式方程有解的问题，正确解方程得到-a【变式33】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）若关于y的分式方程2y+ay-4+2a4-y【答案】26【分析】根据分式方程2y+ay-4+2a【详解】∵解分式方程2y解得：y=∵y≠4∴a≠8∵x+33≤2+3x6的解集为∵x+33≤∴4＜解得6＜故a的整数解为7，8，9，10，∵a≠8故符合题意a的整数解为7，9，10，∴7+9+10=26，故答案为：26．【点睛】本题考查了解分式方程，不等式组的整数解，正确理解题意是解题的关键．【题型4由分式方程的取值范围求参数】【例4】（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）若分式方程ax+2=1-3xA．a<-1且a≠-2 B．aC．a<-2且a≠-3 D．a【答案】D【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零．【详解】解：去分母得：a=解得：x=∵分式方程ax∴a+1<0，x+2≠0，即解得：a<-1且a故选：D．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键．【变式41】（2023·黑龙江鸡西·校考模拟预测）若关于x的分式方程x+mx-2A．m<6且m≠1 B．m<3且m≠2 C．m<6【答案】D【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．【详解】解：x+方程两边同乘(x-2)解得，x=∵6-m∴m由题意得，6-m解得，m<6实数m的取值范围是：m<6且m故选：D．【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．【变式42】（2023·河北·统考模拟预测）已知关于x的分式方程mx+6=1，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：当m<4时，方程的解是负数；乙：当A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错【答案】B【分析】首先解方程表示出分式方程的解，然后根据参数的取值范围求解即可．【详解】m去分母得，m=解得x=要使分式方程有解，x+6≠0∴m-∴m≠0∴当m<4时，m∴x<-2∴当m<4，且m当m>6时，m∴x>0∴乙说法正确．故选：B．【点睛】本题考查分式方程含参数问题，解题的关键是熟练掌握分式方程的增根的定义：使分式方程的最简公分母等于0的根叫做分式方程的增根．【变式43】（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的不等式组x+23>x2+14x+a<【答案】13【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得a≤5，再解分式方程可得a>-2且a≠1，从而可得-2<a【详解】解：x+2解不等式①得：x<-2解不等式②得：x<-∵关于x的不等式组x+23>∴-a解得a≤5方程a+2y-解得y=∵关于y的分式方程a+2∴a+23解得a>-2且a∴-2<a≤5且则所有满足条件的整数a的值之和为-1+0+2+3+4+5=13故答案为：13．【点睛】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．【题型5由实际问题抽象出分式方程】【例5】（2023·四川内江·统考中考真题）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（）A．26402x=C．26402x=【答案】D【分析】设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据，根据“甲比乙少用2小时输完”【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x由题意得26402故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式51】（2023·广东广州·统考中考真题）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60kmh，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为xkmh，则下列方程正确的是（A．360x=480x+60 B．360x【答案】B【分析】根据提速前后所用时间相等列式即可．【详解】解：根据题意，得360x故选：B．【点睛】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．【变式52】（2023·湖北十堰·统考中考真题）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（

）A．1500x+20-800x=5 B．1500【答案】A【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为x+20元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为x+由题意可得：1500x故选：A．【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键．【变式53】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的14．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物12天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（A．14+1C．141+1【答案】B【分析】设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列出分式方程即可求解．【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程14故选：B．【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．【题型6分式方程的应用与函数的综合运用】【例6】（2023·湖北武汉·统考中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是．

【答案】250【分析】设图象交点P的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的35【详解】解：设图象交点P的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的35∴m-解得m=250经检验m=250∴两图象交点P的纵坐标是250．故答案为：250【点睛】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键．【变式61】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）按要求解答(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD宽均为2①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．③已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于+【答案】(1)原计划每天修20米(2)①y=-0.3x2+10.8；【分析】（1）设原计划每天修x米，然后根据题意列分式方程求解即可；（2）①由题意可得E-4,0,F4,0,A-6,0,B6,0,M0,10.8，然后运用待定系数法解答即可；②车的宽度为4米，令x=4时求得y=6，然后再减去0.5即可解答；③【详解】（1）解：设原计划每天修x米则根据题意可得：2400解得：x=-25或经检验，x=20答：原计划每天修20米．（2）解：①根据题意可得：C设抛物线的函数表达式为y由题意可得：0=36a-所以抛物线的函数表达式为y②∵车的宽度为4米，车从正中通过，∴令x=4时，y∴货车安全行驶装货的最大高度为6-0.5=5.5（米）．③如图：由CE，DF高均为0.3米，则点G的纵坐标为令y=0.3，则有：0.3=-0.3x2∴人行道台阶的宽度为：FG∴人行道宽度设计达标．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，正确求得函数解析式是解答本题的关键．【变式62】（2023·内蒙古·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．

(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：A厂家：一律打8折出售．B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y①分别求出y1，y2与②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？【答案】(1)每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元(2)①y1=32x（x≥0且x为整数）；y2=40x0≤x≤25且x为整数32x+300【分析】（1）设每盒豆沙粽的进价为a元，则每盒肉粽的进价为a+10（2）①根据售价与数量、单价间的关系即可列一次函数得解；②由y1=y2得【详解】（1）解：设每盒豆沙粽的进价为a元，则每盒肉粽的进价为a+102000方程两边乘aa+10解得a检验：当a=40时，∴a=40a答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元．（2）解：①y1=40×80%x=32当0≤x≤25且x当x>25且x为整数时，∴y②当x>25且xy1=x由图象可知：购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或B厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去B厂家购买划算．【点睛】本题考查了求一次函数得解析式，分式方程的应用以及一次函数的图像及性质，正确找出等量关系列分式方程是解题的关键．【变式63】（2023·四川凉山·统考一模）某班家委会讨论决定购买A，B两种型号的口罩供班级学生使用，已知A型口罩每包价格a元，B型口罩每包价格比A型少4元，180元钱购买的A型口罩比B型口罩少12包．

(1)求a的值．(2)经与商家协商，购买A型口罩价格可以优惠，其中每包价格y（元）和购买数量x（包）的函数关系如图所示，B型口罩一律按原价销售．①求y关于x的函数解析式；②若家委会计划购买A型、B型共计100包，其中A型不少于30包，且不超过60包．问购买A型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？【答案】(1)10(2)①y=100<x≤30-0.1x+13【分析】（1）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到a的值；（2）①根据函数图象中的数据，可以得到y关于x的函数解析式；②根据题意和①中的结果，可以得到购买A型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元．【详解】（1）解：由题意可得，180a-解得，a1=10,经检验，a1但a2∴a=10（2）解：①由图象可得，当0<x≤30时，y当30<x≤50时，设y=kx+b30k+b即当30<x≤50时，当x>50时，y由上可得，y与x的函数关系式为y=②设购买A型口罩x包，则购买B型口罩100-x包，购买的总金额为W当30≤xW=-0.1x∴当x=50时，W取得最小值，此时W当50<xW=8∵k=2>0∴W随着x的增大而增大，∴700<W由上可得，购买口罩的最小金额为700元，答：购买A型口罩50包时，购买口罩的总金额最少，最少为700元．【点睛】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．【题型7中考最热考法之以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用】【例7】（2023·河南南阳·统考一模）2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．帝都南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史——公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”．某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个．(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)40元(2)售价定为55元时，最大利润是1350元【分析】（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x（2）设每个售价定为m元，每周所获利润为W元，则可列出W关于m的函数关系式，再根据“每周最多能卖90个”得出m的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论．【详解】（1）解答：解：(1）设第二批每个挂件进价是每个x元，根据题意得33001.1解得x=40经检验，x=40∴x=40答：第二批每个挂件进价是每个40元；（2）设每个挂件售价定为m元，每周可获得利润W元，∵每周最多能卖90个，∴40+10×60-m解得m≥55根据题意得W=(∵-10>0∴当m≥52时，y随x∵m≥55∴当m=55时，W取最大，此时W∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．【点睛】本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．【变式71】（2023·山西吕梁·统考一模）随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，4C甚至6C的快速充电方案已经开始逐步落地．据测试数据显示，使用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用4C技术提高了50%，若采用6C充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用4C充电技术续航里程【答案】60公里【分析】设采用4C充电技术，每分钟充电量的续航里程为x公里，则采用6C充电技术的续航里程为【详解】解：设采用4C充电技术，每分钟充电量的续航里程为x公里，则采用6C充电技术的续航里程为根据题意，得4801+50解得：x=40经检验，x=40当x=40时，1+50答：采用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程为60【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系，列出分式方程是解题的关键．【变式72】（2023·云南昭通·统考一模）瑞兔迎春，福满万家吉祥物“兔圆圆”拉开2023央视总台兔年春晚的帷幕．竖直的耳朵、微昂的脑袋、挺起的胸脯等设计巧思，彰显出奋进向上的精气神，某商店用1500元购进了一批“兔圆圆”玩具，过了一段时间，又用3500元购进一批“兔圆圆”玩具，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每个“兔圆圆”玩具的价格比第一次购进的价格贵了5元．(1)商店第一次购进“兔圆圆”玩具多少个？(2)若该商店两次购进的“兔圆圆”玩具按相同的标价销售，全部售完后利润不低于1150元，则每个“兔圆圆”玩具的标价至少是多少元？【答案】(1)50个(2)41元【分析】（1）设商店第一次购进“兔圆圆”玩具x个，则第二次购进2x个，然后根据每个“兔圆圆”玩具的价格比第一次购进的价格贵了5（2）设每个“兔圆圆”玩具的标价为m元，先求出两次一共购进“兔圆圆”玩具的个数，然后根据利润=售价×销售量-成本列出不等式进行求解即可．【详解】（1）解：设商店第一次购进“兔圆圆”玩具x个，则第二次购进2x根据题意，得1500x解得x=50经检验，x=50答：商店第一次购进“兔圆圆”玩具50个；（2）解：设每个“兔圆圆”玩具的标价为m元，50+50×2=150（个），根据题意，得150m解得m≥41∴每个“兔圆圆”玩具的标价至少为41元．【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系和不等关系是解题的关键．【变式73】（2023·河南安阳·统考一模）京东发布的《2023春节假期消费趋势》显示：消费者春节期间购物品类更加多元，也在节日之外更“日常化”，其中预制菜成交额同比增长超6倍．春节期间，某超市分别用2000元和1600元购进A，B两类同等数量的预制菜礼盒，已知B类预制菜礼盒每盒进价比A类预制菜礼盒每盒便宜20元，A，B两类预制菜礼盒每盒的售价分别是130元和120元．(1)求A，B两类预制菜礼盒的进价各是多少元；(2)第一次进的货很快销售一空，该超市决定第二次购进A，B两类预制菜礼盒共30盒，且购进的A类预制菜礼盒数量不少于B类预制菜礼盒数量的2倍，该超市第二次如何进货才能在销售完该次所进预制菜礼盒后，获得最大利润？并求出最大利润（此处指销售第二次所进预制菜礼盒的利润）．【答案】(1)A，B两类预制菜礼盒的进价各是100元和80元；(2)购进A类预制菜礼盒20盒，则购进B类预制菜礼盒10盒，所获利润最大，最大利润为1000元．【分析】（1）设每盒A类预制菜礼盒的进价是x元，则每盒B类预制菜礼盒的进价是x-20元，根据数量=总价÷单价，结合用2000元和1600元购进A，B两类同等数量的预制菜礼盒，即可得出关于（2）设购进A类预制菜礼盒m盒，总利润为w元，根据购进的A类预制菜礼盒数量不少于B类预制菜礼盒数量的2倍，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最大利润时进货方案，进一步求出最大利润即可．【详解】（1）解：设每盒A类礼盒的进价是x元，则每盒B类礼盒的进价是x-依题意得：2000x解得x=100经检验，x=100∴x-答：A，B两类预制菜礼盒的进价各是100元和80元；（2）解：设购进A类预制菜礼盒m盒，则购进B类预制菜礼盒30-m盒，总利润为w根据题意得m≥2解得m≥20w=∵-10<0∴w随着m的增大而减少，当m=20时，w取得最大值，最大值为100030-20=10（盒），答：购进A类预制菜礼盒20盒，则购进B类预制菜礼盒10盒，所获利润最大，最大利润为1000元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式或函数解析式去求解．【题型8中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】【例8】（2023·安徽·校联考三模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？【答案】46株【分析】根据单价=总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，解之即可．【详解】解：设6210文能买x株椽，依题意，得：3x解得：x=46或x=45（舍），经检验：x=46是原方程的解，∴6210文能买46株椽．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式81】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一．它总结了我国战国、秦汉时期的数学成就．其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者