专题62图形的相似（全章分层练习）（基础练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（苏科版）

专题6.2图形的相似（全章分层练习）（基础练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2021上·陕西榆林·九年级校考期中）长度为3和12的线段的比例中项长度为（

）A．4 B．6 C．9 D．362．（2019上·广东佛山·九年级西樵中学校考阶段练习）下列各组图形一定相似的是（

）A．各有一角是70°的两个等腰三角形 B．任意两个等边三角形C．任意两个矩形 D．任意两个菱形3．（2022上·吉林长春·九年级校考阶段练习）能判定与相似的条件是（

）A． B．，且C．且 D．，且4．（2019下·九年级单元测试）如图，在△ABC中，点D是AB边上一点（不与A，B两点重合），下列条件：①∠ACD＝∠B；②∠ADC＝∠ACB；③AC2＝AD•AB；④，能使△ABC∽△ACD的条件的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022上·陕西西安·九年级校考期中）已知，如图，平行四边形中，，且，那么_____．A．9 B．12 C．15 D．206．（2023下·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点O，位似比为1：2，若点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．7．（2022上·福建福州·九年级校考期末）将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．已知，，若，那么的长度是（

）A． B．4 C． D．28．（2020上·上海嘉定·九年级统考期中）如图，在△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（

）．A． B． C． D．9．（2023下·河南驻马店·九年级校考阶段练习）如图，已知在矩形中，，，作对角线，按以下步骤作图：①以点为圆心、适当长为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，交于点，交的延长线于点．则（

）

A． B． C． D．10．（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，在中，，，，点E为边上一动点，连接并延长至点F，使得，以，为邻边构造，连接交于点O．当的长最小时，的长为（

）

A． B．1 C．2 D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023下·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）与相似，且与的相似比是，已知的面积是5，则的面积是．12．（2023·陕西西安·模拟预测）点B是线段的黄金分割点，且．若，则的长为．13．（2023上·湖南永州·九年级统考期末）已知：如下图，，，，，则．14．（2020上·湖南张家界·七年级统考期中）如图，在与中，，点在上，若只添加一个条件便能判定，则添加的条件是．15．（2018上·九年级单元测试）如图，已知，，，，要使，只要．16．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，E为的中点，，，，则的长为．

17．（2023下·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，为中点，、分别是、边上的点，若，，则的长为．

18．（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在中，E、F分别是的中点，，动点P在射线上，交于D，的平分线交于Q，当时，则的值为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2019上·浙江杭州·九年级期末）如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．（1）求证：△ABE∽△CDF．（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．20．（8分）（2019上·河南洛阳·九年级统考期中）如图：，分别交、、于点、、，已知，，，，求、的长．21．（10分）（2020上·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期中）小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F，求旗杆AB的高度．（10分）（2022上·陕西西安·九年级校考期中）观察与发现：如图：小明将一个边长为的正方形纸片折叠，使得点D落在边上的点E处（不与A，B重合），折痕交于点F，交于点H，点C落在Q处，与交于点G，小明认为，你同意吗？请说明理由．（2）实践与探究：在上图中，当时，请你计算的周长．23．（10分）（2022上·山东济南·九年级统考期末）如图，，射线，且，，点是线段（不与点、重合）上的动点，过点作交射线于点，连结．（1）如图1，若，求的长．（2）如图2，若平分，试猜测和的数量关系，并说明理由．（3）若是等腰三角形，作点关于的对称点，连结，则．（请直接写出答案）24．（12分）（2022下·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考期中）感知：如图①，在四边形ABCD中，ABCD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，△ABP与△PCD是否相似？（填“是”或“否”）．探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=，CE=9，则DE的长为．参考答案：1．B【分析】根据比例中项的定义，列出方程，即可求解．解：设长度为3和12的线段的比例中项长度为x，则x2=3×12，解得：x=6，（负数舍去），故选B．【点拨】本题主要考查线段的比例中项，掌握a：b=b：c，则b是a，c的比例中项，是解题的关键．2．B【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．解：A、各有一角是70°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；B、两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；C、两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；D、任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；故选：B．【点拨】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．3．C【分析】相似三角形的判定方法：有两对角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．解：Ａ．，Ｂ．，且，Ｄ．，且，均不能判断与相似，故错误；Ｃ．且，能判定与相似，本选项正确故选：C．【点拨】本题是相似三角形的判定的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般．4．C【分析】由∠A是公共角，根据有两组角对应相等的两个三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定△ABC与△ACD相似，即可得出结果．解：∵∠A是公共角，∴当∠ACD＝∠B时，△ADC∽△ACB（有两组角对应相等的两个三角形相似）；当∠ADC＝∠ACB时，△ADC∽△ACB（有两组角对应相等的两个三角形相似）；当AC2＝AD•AB时，即，△ADC∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）．当时，∠A不是夹角，则不能判定△ADC与△ACB相似；∴能够判定△ABC与△ACD相似的条件是：①②③．故选：C．【点拨】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定.5．D【分析】在平行四边形中，有，，根据，可得，即有，根据，可得，即有，根据，可得，根据，可得，即有，问题随之得解．解：在平行四边形中，有，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵行四边形中，，∴，故选：D．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键．6．A【分析】根据位似图形的性质解答即可．解：∵点，与C关于原点对称，且位似比为，∴的坐标为即故选：A．【点拨】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的有关知识是解题的关键．7．B【分析】设，根据折叠的性质用x表示出和，最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解．解：设，则由折叠的性质可知：，，当时，有，即：，解得：；故选：B．【点拨】本题考查了三角形相似的性质，掌握“相似三角形对应边成比例”是解题的关键．8．C【分析】根据四边形AFDE是平行四边形，于是得到DF∥AC，DE∥AF，由平行线分线段成比例逐一分析之．解：∵四边形AFDE是平行四边形，∴DF∥AC，∴，故A正确；∵DE∥AF∴，故B正确；∵DF∥AC，∴又四边形AFDE是平行四边形∴AF=DE∴，故D正确；∵DF∥AC，∴，故C错误；故选:C．【点拨】本题考查了平分线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行四边形性质是解题的关键．9．B【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可．解：解∶∵四边形是矩形，∴，，，由作图可知，平分，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴故选：B．【点拨】本题考查作图基本作图，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．B【分析】利用证明，根据已知条件求出与的线段比例关系，从而得出的长最小时，的长最小，即可求出．根据和推出四边形的形状，进而证明，即可求出的长度．解：过点A作交于M，

∵，∴．∵为平行四边形，∴，，∴，，∴．∴，∴，∴的长最小时，的长最小，∴，∵在中，，，∴，∵，∴．∵，，∴，∵在中，，∴四边形为平行四边形．∵，，∴，∴．故选：B．【点拨】本题考查了平行四边形的综合运用，涉及到的知识点有三角形相似，30°所对应的直角边是斜边的一半等，综合性较强．解题的关键在于是否能根据线段之间比例关系推出，从而求出长度，解题的重点在于能否想到作辅助线．11．20【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答即可．解：∵与相似，且与的相似比是，∴与的面积比是，∵的面积是5，∴的面积是4×5=20，故答案为：20．【点拨】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答的关键．12．【分析】根据黄金分割点的定义，用的长度乘以黄金分割比即可．解：∵点B是线段的黄金分割点，且，∴．故答案为∶．【点拨】本题主要考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．13．8【分析】根据平行线分线段成比例求出，减去可得结果．解：∵，∴，即，∴，∴，故答案为：8．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是能根据平行线得出正确的比例式．14．（答案不唯一）．【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可．解：依据两角相等，两三角形相似，可添加条件故答案为：（答案不唯一）．【点拨】本题考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定定理．15．【分析】根据对应边成比例的两个三角形互为相似三角形可以求解.解：解:∠ACB=,AC=4,BC=3,,要使,有,,,故答案为:【点拨】本题考查相似三角形的判定定理,关键是知道对应边成比例两个三角形互为相似三角形.16．1【分析】先求解，再证明，可得，再建立方程求解，从而可得答案．解：∵，E为的中点，∴，∵，，∴，∴，而，∴，解得：，∴，故答案为：1【点拨】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．17．5【分析】首先证明，从而推出对应边成比例：，因为，可得，再根据进行化简可得，进而得到答案．解：四边形是正方形，，，，，，，．，，又，，，的长为5．故答案为：5．

【点拨】此题考查相似三角形的性质的应用，关键是正确利用勾股定理．易错点：如果学生没有发现相似三角形就无从入手解题了，或相似三角形对应边的比找不对．18．【分析】延长，交的延长线于点M，由三角形的中位线定理可得，继而可证明，由等角对等边可得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可．解：延长，交的延长线于点M，

∵的平分线交于Q，∴，∵E、F分别是的中点，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握知识点，并添加适当的辅助线是解题的关键．19．（1）见分析；（2）EF＝2．【分析】（1）根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可证得；（2）根据BE＝2DF，可得，即可求解．解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠B＝∠D，∵AB＝2DC，BE＝2DF，∴AB：DC＝BE：DF＝2，∴△ABE∽△CDF；（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，∴,∵BD＝8，∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．20．，【分析】在△ABC中，根据平行线分线段成比例求出EG，在△BAD中，根据平行线分线段成比例求出EF，再根据FG=EGEF即可求解．解：∵在中，，∴．∵，，，∴．∴．∵在中，，∴．∵，，，∴．∴．∴．【点拨】本题考查平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．21．旗杆的高度为米【分析】根据题意先求得的长，根据相似三角形的性质可求得的长，进而即可求得的高度．解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，，CG∥BF∴四边形，是矩形（米）（米）即解得（米）（米）答：旗杆的高度为米．【点拨】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22．（1）同意，理由见分析；（2）的周长为．【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据角之间的关系通过等量代换可得；结合，利用相似三角形的判定定理即可解答；（2）设，则，由勾股定理求出的长；接下来利用相似三角形的性质求出和的长度，然后利用周长的计算公式计算即可．（1）解：同意．理由如下：根据折叠的性质可得．∵，∴．∵，∴；（2）解：设，则，∴，∴，即，．∵，∴，即，∴，∴的周长为．【点拨】此题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．23．（1）；（2），见分析；（3）【分析】（1）根据，，，则；根据三角形的内角和为，则，；则，根据，，，得，则，即可求出的长；（2延长线段，交于点，根据全等三角形的判定，得，，再根据全等三角形的性质，即可；（3）连接，；延长交于点，根据等腰直角三角形的性质，得，，根据，则是等腰直角三角形，；根据作点关于的对称点，；根据正方形的判定，得四边形是正方形；根据矩形的判定，勾股定理，即可求出．解：（1）∵，，，∴，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∴．（2）理由如下：延长线段，交于点∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．（3）连接，；延长交于点，∵是等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵点与点关于对称，∴，∴，，∵，∴四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴在中，，∴．故答