专题275相似（全章直通中考）（基础练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）

专题27.5相似（全章直通中考）（基础练）【要点回顾】【知识点1】比例线段定义在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．【知识点2】比例线段的性质（1）基本性质：；（2）合比性质：⇔＝；（3）等比性质：；【知识点3】平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则，.【知识点4】平行线分线段成比例推论推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.即如图所示，若∥，则，.【知识点5】黄金分割点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．【知识点6】相似多边形的性质（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.（2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【知识点7】相似多边形的判定(1)两角对应相等的两个三角形相似.(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．(3)三边对应成比例的两个三角形相似．(4)满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.【知识点8】相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边成比例．（2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．【知识点9】相似三角形的应用测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子.【知识点10】位似图形的定义性质与画法定义如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.位似图形性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.位似图形的画法：（1）确定位似中心；（2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点；（3）描出新图形.一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2019·青海·统考中考真题）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知AB=1，BC=3，DE=1.2，则DF的长为（）A． B． C． D．2．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（

）A．4 B．5 C．6 D．73．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（

）

A． B． C． D．4．（2022·江苏连云港·统考中考真题）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（

）A．54 B．36 C．27 D．215．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（

）

A． B． C． D．6．（2021·四川内江·统考中考真题）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为的竹竿的影长为，某一高楼的影长为，那么这幢高楼的高度是（

）A． B． C． D．7．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．8．（2021·湖南湘西·统考中考真题）如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长是（）A． B． C． D．9．（2021·四川雅安·统考中考真题）如图，将沿边向右平移得到，交于点G．若．．则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．810．（2020·新疆·九年级统考学业考试）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（

）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·四川甘孜·统考中考真题）若，则．12．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得的长为，则的长为cm．

13．（2023·山东临沂·统考中考真题）如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是．

14．（2021·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）15．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为．

16．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是．

17．（2017上·安徽蚌埠·九年级统考期中）在中，，，点在边上，且，点在边上，当时，以、、为顶点的三角形与相似．18．（2021·山东烟台·统考中考真题）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为米．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2021·广西玉林·统考中考真题）如图，在中，在上，，．（1）求证：∽；（2）若，求的值．20．（8分）（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．21．（10分）（2015·山东滨州·统考中考真题）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形.其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.求证：（1）△ACE≌△BCD；.22．（10分）（2015·广西梧州·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．23．（10分）（2014·海南·统考中考真题）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连接GE、GF．（1）求证：△OAE≌△OBG．（2）试问：四边形BFGE是否为菱形?若是，请证明；若不是，请说明理由．（3）试求：的值（结果保留根号）．24．（12分）（2015·广东珠海·中考真题）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=－+c经过点E，且与AB边相交于点F．（1）求证：△ABD∽△ODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．参考答案：1．B【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．解：，，即，，，故选．【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．C【分析】根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案．解：∵，∴，∵，∴，∵、两点纵坐标分别为1、3，∴，∴，解得：，∴点的纵坐标为6，故C正确．故答案为：6．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键．3．C【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解．解：∵为等边三角形，∴，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故选：C．【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．4．C【分析】根据相似三角形的性质求解即可．解：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12，∴两个相似三角形的相似比为1:3，∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3:1，∴△DEF的周长为3×（2+3+4）=27，故选：C．【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键．5．A【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．解：由图得：，设直线的解析式为：，将点代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，∴当时，，∴位似中心的坐标为，故选：A．【点拨】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．6．D【分析】设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于x的比例式，求出x的值即可．解：设这幢高楼的高度为米，依题意得：，解得：．故这栋高楼的高度为36米．故选：．【点拨】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．7．C【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；∴，，故B不符合题意，C符合题意；∴，故D不符合题意；故选C．【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．8．D【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而根据菱形的性质可求解．解：∵，∴，∴，∵是的中点，∴，即，∵，∴，∵四边形是菱形，∴；故选D．【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键．9．B【分析】根据平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，故可得△CEG∽△ADG，由相似三角形的性质及已知条件即可求得△CEG的面积．解：由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE∴△CEG∽△ADG∴即∵∴∴∵∴故选：B．【点拨】本题考查了平移的性质及相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质是本题的关键．10．D【分析】过A作AH⊥BC于H，先证明DE为△ABC的中位线，DF为△ABH的中位线，可得到BC=2DE，AH=2DF，从而得到，进而得到，再由AB＝CE，可得AB=2，再由勾股定理，即可求解．解：如图，过A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵DE∥BC，∴，即AE=CE，∴DE为△ABC的中位线，∴BC=2DE，∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，∴，∴BF=HF，∴DF为△ABH的中位线，∴AH=2DF，∵△DFE的面积为1，∴，∴DE×DF=2，∴，∵∠A＝90°，∴∴，∵AB=CE，∴AC=2AB，∴，解得：AB=2或2（舍去），∴AC=4，∴．故选：D【点拨】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．11．1【分析】根据比例的性质解答即可．解：，．故答案为：1．【点拨】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质．12．18【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长．解：，，，，，，故答案为：18．【点拨】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是求出的值．13．14【分析】由平行四边形的性质推出，，得到，，利用相似三角形的性质求解即可．解：如图，由题意得，四边形是平行四边形，

∴，，∴，，∴，，∵，∴，，∵四边形平行四边形，∴平行四边形纸片的周长是，故答案为：14．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．14．【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．解：根据题意，添加条件，故答案为：．【点拨】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．解：，，设周长为，设周长为，和是以点为位似中心的位似图形，．．和的周长之比为．故答案为：．【点拨】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．16．27【分析】根据矩形的性质，很容易证明∽，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出的面积．解：四边形是矩形，，，，∽，，，：：，：：，即：：，．故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．17．或【分析】分两种情况讨论，分别画出适合的图形，再根据相似三角形的对应边成比例解题即可．解：如解图①所示，∵当时，，∴，解得；如解图②所示，当时，，∴，解得

故答案为：或．【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．3【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决．解：（米），∴AB∥DC．（米）．故答案为：3【点拨】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键．19．（1）见详解；（2）【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得，然后问题可求解．解：（1）证明：∵，，∴，∴；（2）解：由（1）可知，∵，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．20．见分析【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．解：证明：∵∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∵，∴∠D=∠ABC，∴．【点拨】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．21．试题分析：（1）、根据△ABC与△CDE都为等边三角形得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，从而得出∠ACE=∠BCD，然后根据SAS判定三角形全等；（2）、根据三角形全等得出∠BDC=∠AEC，从而得出△GCD和△FCE全等，根据全等得出CG=CF，根据等边三角形得出GF∥CE，从而根据相似得出答案.解：（1）、∵△ABC与△CDE都为等边三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）、∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC，在△GCD和△FCE中，，∴△GCD≌△FCE（ASA），∴CG=CF，∴△CFG为等边三角形，∴∠CGF=∠ACB=60°，∴GF∥CE，∴=．考点：（1）、三角形的全等；（2）、三角形相似的性质.22．（1）证明见试题解析；（2）．【分析】（1）由EQ⊥BO，EH⊥AB得到∠EQN=∠BHM=90°，由∠EMQ=∠BMH得到△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得到△APB≌△HFE，故可得出结论；（2）根据勾股定理求出BP的长，由EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再由锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=，再由EQ=EF﹣QF即可得出结论．解：（1）∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°，∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM，在Rt△APB与Rt△HFE中，∵∠QEM=∠HBM，∠PAB=∠FHE，AB=EH，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；（2）由勾股定理得，BP==4，∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=，∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP==，由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=，∴EQ=EF﹣QF==．【点拨】本题考查了1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4，相似三角形，这是一道综合题，解决此题的关键是对知识点的熟练运用．23．（1）证明见分析；（2）四边形BFGE是菱形，理由见分析；（3）．【分析】（1）根据ASA证明△OAE≌△OBG；（2）由“四边相等的四边形是菱形”证明四边形是菱形；（3）综合运用勾股定理、相似三角形的性质求解．解：（1）证明：因为四边形是正方形，∴OA=OB,∠AOE=∠BOG=90°．∵BH⊥AF，与中，∠AOB=∠BOG,OA=OB,

∴△OAE≌△OBG（ASA）．∠OAE=∠OBG,

（2）四边形是菱形，理由如下：在△AHG与△AHB中，∠GAH=∠BAH，HA=HA，∠AHG=∠AHB=90°，∴△AHG≌△AHB（ASA），是线段的垂直平分线，∴四边形是菱形．（3）设菱形的边长为．∵四边形是菱形，在Rt△GOE中，由勾股定理可得,∴AC=2a=（2+）b，．．【点拨】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质、相似三角形性质、勾股定