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文档简介

专题24.11弧长和扇形的面积【十四大题型】【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1求弧长】 1【题型2利用弧长及扇形面积公式求半径】 5【题型3利用弧长及扇形面积公式求圆心角】 8【题型4求某点的弧形运动路径长度】 11【题型5直接求扇形面积】 15【题型6求图形旋转后扫过的面积】 18【题型7求弓形面积】 24【题型8求其他不规则图形的面积】 29【题型9求圆锥侧面积】 34【题型10求圆锥底面半径】 37【题型11求圆锥的高】 41【题型12求圆锥侧面展开图的圆心角】 44【题型13圆锥的实际问题】 47【题型14圆锥侧面上最短路径问题】 51【知识点弧长和扇形的面积】设⊙O的半径为R,n°圆心角所对弧长为弧长公式:l=nπR扇形面积公式:S母线的概念:连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。圆锥体表面积公式:S=πR【题型1求弧长】【例1】(2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考模拟预测)如图,四边形ABCD内接于⊙O,E是DC延长线上一点,如果⊙O的半径为6,∠BCE=60°,那么BCD的长为(

A.6π B.12π C.2π【答案】D【分析】连接OB、OD,由圆内接四边形的性质得出∠A=∠BCE=60°,由圆周角定理得出【详解】解∶连接OB、OD,如图所示∶

∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠A∴∠BOD∴BCD的长=120故选∶D.【点睛】此题综合考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质、弧长公式;熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键.【变式11】(2023·四川成都·校考三模)“斐波那契螺旋线”(也称“黄金螺旋”)是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线,人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状,这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波,从而增强听觉.现依次取边长为1,1,2,3,5……的正方形按如图所示方式拼接,分别以每个正方形的一个顶点为圆心,边长为半径作圆弧,连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”.那么前五个正方形内形成的曲线ABCDEF的长度是.

【答案】6【分析】观察图形可知,螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的14【详解】解:由图可知,正方形的边长依次为:1,1,2,3,5……,螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的14故前五个正方形内形成的曲线ABCDEF的长度是:14故答案为:6π【点睛】本题考查弧长的计算,解题的关键是观察图形得出每一段圆弧对应的正方形的边长.【变式12】(2023春·山西长治·九年级统考期末)如图,在平行四边形ABCD中,以AB为直径的⊙O与AD相交于点E,与BD相交于点F,DF=BF,已知AB=2,∠C

A.π3 B.2π3 C.π【答案】D【分析】根据直径所对的圆周角是直角,等腰三角形三线合一性质,圆周角定理,弧长公式计算即可.【详解】如图,连接AF,

∵AB为⊙O∴AF⊥∵DF=∴∠DAF∵平行四边形ABCD,∠C∴∠DAF∴∠BOF∵AB=2∴OB=∴FB=故选D.【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角,等腰三角形三线合一性质,圆周角定理,平行四边形的性质,弧长公式,熟练掌握弧长公式,圆周角定理是解题的关键.【变式13】(2023·河南濮阳·统考一模)如图,在扇形AOB中,圆心角∠AOB=60°,AO=2,分别以OA,OB的中点E,F

【答案】2【分析】如图所示,连接CE,CF,证明四边形OECF是菱形,得到∠OEC【详解】解:如图所示,连接CE,由题意得,OE=∴四边形OECF是菱形,∴∠OEC∴CF=同理CE=∴图中阴影部分的周长为1+1+π故答案为:2π

【点睛】本题主要考查了求弧长,菱形的性质与判定,正确做出辅助线是解题的关键.【题型2利用弧长及扇形面积公式求半径】【例2】(2023春·山西·九年级专题练习)某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,M是“不倒翁”与水平面的接触点,PA,PB分别与AMB所在圆相切于点A,B.将“不倒翁”向右作无滑动滚动,使点B与水平面接触,如图3.若∠P=60°,水平面上点M与点B之间的距离为4π,则AMBA.3 B.6 C.9 D.12【答案】B【分析】如图:过A、B作PA,PB的垂线交于点O,O即为圆心;再根据题意可得∠AOB【详解】解:如图:过A、B作PA,PB的垂线交于点设圆的半径为r∵PA,PB分别与AMB所在圆相切于点A,B,∴O为圆心,∵∠P∴∠AOB∴∠MOB∵水平面上点M与点B之间的距离为4π∴MB∴120°×2πr解得:r=6故选B.【点睛】本题主要考查弧长的计算、切线的性质等知识点,解答本题的关键是求出优弧MB的圆心角.【变式21】(2023春·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末)若弧长为4πcm的扇形的面积为8πcm2【答案】4【分析】由一个扇形的弧长是4πcm,扇形的面积为8πcm2,根据扇形的面积等于弧长与半径积的一半,即可求得答案.【详解】设半径是rcm,∵一个扇形的弧长是4πcm,扇形的面积为8πcm2,∴8π=12×4π×r解得r=4.故答案为:4.【点睛】此题考查了扇形面积公式.此题比较简单,解题的关键是熟记扇形的公式.【变式22】(2023春·湖北黄石·九年级统考期末)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠BAC=60°,BC的长是4π3,则⊙O的半径是【答案】2【分析】连接OB、OC,利用弧长公式转化为方程求解即可;【详解】连接OB、OC.∵∠BOC=2∠BAC=120°,BC的长是4π∴120⋅π⋅r∴r=2.故答案为2.

.【点睛】考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,弧长的计算等知识,解题的关键是熟练掌握弧长公式.【变式23】(2023·辽宁盘锦·统考一模)如图,在▱ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,若CE的长为2π,则⊙A的半径为.【答案】8【分析】连接AC,根据平行四边形的性质得出AD∥BC,AB∥CD,求出∠DAC=45°,根据弧长公式求出即可.【详解】连接AC,∵CD切⊙A于C,∴AC⊥CD,∴∠ACD=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠BAC=∠ACD=90°,∠DAC=∠ACB,∵AB=AC,∴∠ACB=∠B=45°=∠DAC,∵CE的长为2π,∴45π×解得:AC=8,即⊙A的半径是8,故答案为8.【点睛】本题考查了切线的性质,平行四边形的性质,弧长公式等知识点,能求出∠DAC的度数是解此题的关键.【题型3利用弧长及扇形面积公式求圆心角】【例3】(2023春·云南红河·九年级校考阶段练习)将一个圆分割成三个扇形,它们的面积之比为2:3:4,则这三个扇形的圆心角的度数为(

)A.80°、120°、C.50°、100°、【答案】A【分析】根据一个圆分割成三个扇形,它们的面积之比为2:3:4,可得这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4,可设这三个扇形的圆心角的度数分别为2x,3x【详解】解:∵一个圆分割成三个扇形,它们的面积之比为2:3:4,∴这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4,设这三个扇形的圆心角的度数分别为2x2x解得:x=40°∴这三个扇形的圆心角的度数分别为80°,120°,160°.故选:A.【点睛】本题主要考查了求扇形的圆心角,根据题意得到这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4是解题的关键.【变式31】(2023·吉林·统考一模)图1是等边三角形铁丝框ABC,按图2方式变形成以A为圆心,AB长为半径的扇形(图形周长保持不变),则所得扇形ABC的圆心角的度数是(

)A.45°. B.60°. C.90°π. D.180°【答案】D【分析】根据题意BC的长就是边BC的长,由弧长公式nπR180【详解】解:设AB=∴C∴nπx解得:n=∴圆心角的度数为:180°故选:D.【点睛】本题考查了弧长公式的应用,掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键.【变式32】(2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模)如图1,点C是半圆AB上一个动点,点C从点A开始向终点B运动的整个过程中,AC的弧长l与时间t(秒)的函数关系如图2所示,则点C运动至5秒时,∠AOC的度数为(

A.15° B.30° C.45° D.60°【答案】C【分析】根据图像可知半圆的周长为10π进而得到半圆的半径为10,再根据题意得到弧长l与时间t【详解】解:设半圆的半径为R,∠AOC根据图像可知半圆的周长为10π∴πR=10∴R=10设弧长l与时间t(秒)的函数关系式:l=∵图像经过20,∴k=∴弧长l与时间t(秒)的函数关系式为l=∴当x=5秒时,l∴根据弧长公式可知:nπ×10∴n=45°故选C.【点睛】本题考查了一次函数与几何图形关系,弧长公式,一次函数图像与性质,掌握一次函数与几何图形关系是解题的关键.【变式33】(2023·黑龙江哈尔滨·统考三模)一个扇形的面积为10π,弧长为10π3【答案】100°/100度【分析】根据弧长和扇形面积关系可得S=12lR【详解】∵一个扇形的弧长是10π3,面积是∴S=12lR,即∴S=10π=故答案为:100°.【点睛】本题考查了扇形面积的计算;弧长的计算.熟记公式,理解公式间的关系是关键.【题型4求某点的弧形运动路径长度】【例4】(2023春·全国·九年级专题练习)如图,OA⊥OB,C,D分别是射线OA,OB上的动点,CD的长始终为8,点E

【答案】2【分析】根据垂直的定义可知△AOB是直角三角形,再根据直角三角形的性质可知OE【详解】解:连接OC,∵OA⊥∴∠AOB∴△AOB∵CD=8∴OE=∴点E的运动路径长为弧GD,∴弧GD的长度:90°×π故答案为2π

【点睛】本题考查了垂直的定义,直角三角形的性质,弧长公式,掌握直角三角形的性质是解题的关键.【变式41】(2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习)如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合(AB=6),其中量角器0刻度线的端点N与点A重合,射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转,CP与量角器的半圆弧交于点E,第20秒时点E在量角器上运动路径长是

【答案】2【分析】首先连接OE,由∠ACB=90°,易得点E,A,B,C共圆,然后由圆周角定理,求得点【详解】解:连接OE,

∵∠ACB∴A,B,C在以点O为圆心,AB为直径的圆上,∴点E,A,B,C共圆,∵∠ACE∴∠AOE∴点E在量角器上运动路径长=120π·3故答案为:2π.【点睛】本题考查的是圆周角定理.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.【变式42】(2023·河南信阳·校考三模)如图,把一个含30°角的直角三角板ABC在桌面上沿着直线l无滑动的翻滚一周,若BC=1,∠A=30°,则点A

【答案】8+3【分析】根据题意,可知点A的运动路径为AD和A'D,然后根据含30度角的直角三角形的特点求出【详解】解:根据题意,可知点A的运动路径为AD和A'D,∠ACD在Rt△ABC∴AC=CD=∴点A运动的路径长为90180故答案为:8+33

【点睛】本题主要考查了求动点的运动轨迹长,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,确定出点A的运动轨迹是解题的关键.【变式43】(2023春·四川广元·九年级校考阶段练习)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点E、F是以斜边AB为直径的半圆的三等分点,点P是EF上一动点,连接PC,点M为PC的中点.当点P从点E运动至点【答案】23π【分析】令AB、AC、BC的中点分别为点O、G、H,连接OP、OC、OG、OH、【详解】解:令AB、AC、BC的中点分别为点O、G、∵AB为⊙O直径,点O为AB∴OA=∵∠ACB=90°,点O为∴OC=∴△COP∵点M为PC的中点,∴OM⊥PC,则∵点E、F是以斜边AB为直径的半圆的三等分点,∴点M的运动路径为以GH中点为圆心,以12GH为半径,圆心角为∵点G、O、H、分别为AC、BC、∴GO∥BC,∵∠ACB∴四边形GCHO为正方形,GH=∴OC=∴点M的运动路径长为60180故答案为:23【点睛】本题主要考查了求点的运动轨迹,解题的关键是正确作出辅助线,根据等腰三角形的性质,正方形的性质以及圆周角确定点M的运动轨迹为以GH为直径的半圆.【题型5直接求扇形面积】【例5】(2023·云南临沧·统考三模)如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,其半径为1,作OF⊥BC交⊙O于点

A.π3 B.2π5 C.3【答案】C【分析】连接OA、OB、OC,求出∠AOF【详解】解:连接OA、OB、OC,∵正五边形ABCDE,∴∠AOBOB=∵OF⊥∴∠BOF∴∠AOF∴S

故选:C.【点睛】本题考查正多边形和圆,掌握扇形面积公式和求出AC所对的圆心角度数是解题的关键.【变式51】(2023·吉林·九年级校联考学业考试)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角形,AB=4,分别以点B,D为圆心,AO长为半径画弧,与该矩形的边相交,则图中阴影部分的面积为.(结果保留

【答案】8【分析】由矩形ABCD,△OAB是等边三角形,AB=4,可得∠ABC=90°,∠ABO=60°,【详解】解:∵矩形ABCD,△OAB是等边三角形,AB∴∠ABC=90°,∠ABO∴∠OBC∴S阴影故答案为:83【点睛】本题考查了矩形的性质,等边三角形的性质,扇形面积.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.【变式52】(2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习)如图,已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C,OC与AB交于点D,∠ADO=85°,∠CAB=20°

【答案】5π36【分析】根据三角形外角的性质得到∠C=∠ADO【详解】解:∵∠ADO=85°,∠∴∠C=∠∵OA=OC∴∠OAC=∠∴∠AOC=50°∴阴影部分的扇形OAC面积=50π故答案为:5π【点睛】本题考查了扇形面积的计算,由等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠AOC【变式53】(2023春·江苏·九年级专题练习)如图,四边形ABCD是长方形,以BC为直径的半圆与AD边只有一个交点,且AB=x,则阴影部分的面积为

【答案】π【分析】作OF⊥AD,则三角形BOP与三角形DEP全等,那么阴影部分的面积=扇形【详解】解:作OF

∵∠∠∴△DFP≌∴根据扇形面积公式得:阴影部分面积=90故答案为:πx【点睛】本体考查了求不规则图形的面积,解题的关键是看出阴影部分的面积是由哪几部分组成的.然后根据面积公式计算.【题型6求图形旋转后扫过的面积】【例6】(2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习)如图,已知A、D是⊙O上任意两点,且AD=6,以AD为边作正方形ABCD,若AD边绕点O旋转一周,则BC边扫过的面积为

【答案】9【分析】如图所示,连接OD、OC,过点O作OE⊥AD于点E,延长OE交BC于点F.则BC边扫过的面积为以OC为外圆半径、OF为内圆半径的圆环面积,利用垂径定理即可得出DE=【详解】解:如图所示,连接OD、OC,过点O作OE⊥AD于点E,延长OE交

∵AD为弦,OE⊥∴由垂径定理可得DE=∵四边形ABCD为正方形,∴BC∥AD,∴∠CFO∴四边形DEFC为矩形,CF=∵AD边绕点O旋转一周,则BC边扫过的图形为以OC为外圆半径,OF为内圆半径的圆环,∴圆环面积为S=故答案为:9π【点睛】本题考查了勾股定理,垂径定理,平行线的性质以及圆环的面积公式,结合AD边的旋转,找出BC边旋转过程中扫过的区域的形状是解题的关键.【变式61】(2023·全国·九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴的正半轴上,OA=1,将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1,扫过的面积记为S1,A1A2⊥OA1交x轴于点A2;将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3,扫过的面积记为S2,A3A4⊥OA3交y【答案】2【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径,写出部分Sn的值,根据数的变化找出变化规律S【详解】由题意△A1OA2、△∴OA2=2,OA4∴S1=45π×12360=18π∴Sn∴S2022故答案为:2【点睛】本题考查了坐标与图形性质旋转,等腰直角三角形的性质以及扇形的面积,解题的关键是找出规律Sn【变式62】(2023春·山东临沂·九年级统考期中)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示.(每个小方格都是边长为1

(1)画出△ABC关于原点对称的△(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°,画出旋转后得到的△A2BC【答案】(1)见详解(2)见详解,13【分析】(1)分别作出点A、(2)分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90°得到的对应点,再顺次连接可得【详解】(1)解:如下图,△A

(2)如图,△A由图可知,AB=则线段BA扫过的区域的面积为S=【点睛】本题主要考查了作图﹣中心对称变换和旋转变换、勾股定理以及扇形面积公式等知识,解题的关键是根据中心对称和旋转的性质作出变换后的对应点.【变式63】(2023·江苏南京·统考二模)在平面内,将小棒AB经过适当的运动,使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上),那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢?已知小棒长度为4,宽度不计.方案1:将小棒绕AB中点O旋转180°到B'A',设小棒扫过区域的面积为S1方案2:将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC,再绕C逆时针旋转60°到CB,最后绕B逆时针旋转60°到B'A'

(1)①S1=______,S2=______;②比较S1与S2的大小.(参考数据:π≈3.14,(2)方案2可优化为方案3:首次旋转后,将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转,三次旋转扫过的面积会重叠更多,最终小棒扫过的区域是一个等边三角形.①补全方案3的示意图;②设方案3中小棒扫过区域的面积为S3,求S(3)设计方案4,使小棒扫过区域的面积S4小于S【答案】(1)①4π,8π-(2)①见解析;②S(3)见解析【分析】(1)①利用圆的面积公式计算S1,利用方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍△ABC的面积计算②利用参考数据计算近似值再比较即可;(2)①依题意补全方案3的示意图即可;②利用等边三角形的高是4,计算出底边,再利用面积公式计算即可;(3)作等边△ABC,首先让点B在BC上运动,点A在CB的延长线上,运动,使得AB的长度保持不变,当点B运动到点C时,由此AB边调转到ACA'B'边,接着两次同样的方式旋转到BC【详解】(1)解:①由依题意得:AB=2r∴r∴S又依题意得:方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍△ABC的面积.等边三角形的面积公式:S=3∴S故答案是:4π,8②∵S1=4π≈4×3.14=12.56,∴S1(2)①依题意补全方案3的示意图如下:

②连接EM,M为切点,则AA'

设AM=x,则由勾股定理得:AM2+解得:x=∴AA∴S3(3)设计方案4:如下图,△ABC是等边三角形,首先让点B在BC上运动,点A在CB的延长线上运动,使得AB的长度保持不变,当点B运动到点C时,由此AB边调转到ACA'B'

对于第一次旋转,当旋转AB旋转到DH时,此时DH⊥又作DE平行AB依题意得:阴影部分比等边三角形ABC多三块全等的图形,记每块面积为a,则有a<S△ADF,∵S△∴S△∴a<∴S4【题型7求弓形面积】【例7】(2023·山东东营·统考中考真题)如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,BD⊥CE于点D,(1)求证:直线CE是⊙O(2)若∠ABC=30°,⊙O【答案】(1)见解析(2)4【分析】(1)连接OC,根据OB=OC,以及BC平分∠ABD推导出∠OCB=∠DCB,即可得出(2)过点O作OF⊥CB于F,利用【详解】(1)证明:连接OC,如图,∵OB=∴∠OBC∵BC平分∠ABD∴∠OBC∴∠OCB∴BD∥∵BD⊥CE于点∴OC⊥∴直线CE是⊙O(2)过点O作OF⊥CB于∵∠ABC=30°,∴OF=1,BF∴BC=2∴S△∵∠BOF∴∠BOC∴S扇形∴S阴影【点睛】本题考查了圆的综合问题,包括垂径定理,圆的切线,扇形的面积公式等,熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是本题的关键.【变式71】(2023春·九年级课时练习)如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,AB⊥CD,若CD=23,CB=2,则阴影部分的面积是【答案】2【分析】连接OC,设CD与AB的交点为E,利用垂径定理、勾股定理判定△OBC是等边三角形,运用扇形的面积减去△OBC的面积即可.【详解】连接OC,设CD与AB的交点为E,∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,CD=23,CB=∴CE=3,∴∠ECB=30°,∠CBE=60°,∵CO=BO,∴△OBC是等边三角形,∴∠BOC=60°,OC=OB=2,∴S=2π故答案为:2π【点睛】本题考查了垂径定理,勾股定理,扇形的面积公式,等边三角形的判定和性质,熟练掌握垂径定理,扇形的面积公式是解题的关键.【变式72】(2023·全国·九年级专题练习)如图,将半径为5cm的扇形OAB沿西北方向平移2cm,得到扇形O'A'B【答案】25【分析】设AB分别与O'A'、O'B'交于F、E,延长【详解】解:设AB分别与O'A'、O'B'交于F、由题意得O'E=∴S阴影故答案为:25π【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积,平移的性质,正确理解题意得到S阴影【变式73】(2023·湖北恩施·统考一模)如图,已知⊙O的半径为1,△ABC内接于⊙O,∠ACB=150°,则弓形ACB【答案】π【分析】在弦AB把⊙O分成的优弧上取一点D,连接OA,OB,AD,BD,过点O作OE⊥AB于E.根据圆内接四边形的性质和圆周角定理确定

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