专题529相交线与平行线常见几何模型（综合练）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题5.29相交线与平行线常见几何模型（综合练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）如图，，，，则的度数为（

）A．90° B．100° C．110° D．120°2．（2023下·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）如图所示，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（2023上·广东广州·八年级校考期中）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为（

）A． B． C． D．4．（2024下·全国·七年级假期作业）已知，一个含有30°的角的三角尺按如图所示位置摆放，若，则的度数为（

）A．20° B．25° C．30° D．65°5．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α=（）A．20° B．25° C．30° D．35°6．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（

）A． B． C． D．7．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知直线，平分，过点C作，平分分别交于点H，G，过点A作于点M．设，，则下列结论正确的是（

）

A．B．C． D．8．（2022下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（

）A． B．C． D．与没有数量关系9．（2022下·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（

）A． B． C． D．10．（2023上·四川宜宾·七年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2024上·福建三明·八年级统考期末）如图，，，，则．12．（2020上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图所示的光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，则可判断进入潜望镜和离开潜望镜的光线是平行的，依据是：．13．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图，直线，小亮把一把含30°的三角尺的直角顶点放在直线a上，把30°的顶点放在直线b上，若，则的度数为．

14．（2023下·七年级课时练习）如图，，，，则．15．（2023下·七年级课时练习）如图，已知，则的度数为．16．（2023下·七年级课时练习）如图，，，，表示图中三个角的角度，则，，三者之间的数量关系是．17．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则．18．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，交的反向延长线于点，若，且，则度数为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023下·河南驻马店·七年级统考期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．

（1）如图①，，E为之间一点，连接，得到．试探究与之间的数量关系，并说明理由．（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，，平分交直线于点F，则°．20．（8分）（2022下·山东济南·六年级统考期末）如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．

（1）阅读并补充下面推理过程：解：过点A作，所以，．又因为，所以．（2）从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．如图2，已知，试说明（3）如图3，已知，平分，平分，若，则的度数为°；（4）如图4，已知，平分，平分，平分，平分，平分，平分…，若，则的度数为；（用含a的代数式表示）21．（10分）（山西省晋中市寿阳县20222023学年七年级下学期期中数学试题）综合与实践【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且和，，，．

（1）在图1中，，求的度数；【深入探究】（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由；【拓展应用】（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系．22．（10分）（2023上·吉林长春·七年级统考期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点．（1）【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分）证明：过点作直线，∵，∴_______①_______．∵，∴_______②_______．∵，∴_______③_______（_______④_______）．∴．（2）【类比探究】如图2，当点在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并说明理由．（3）【应用拓展】如图3，点与点重合，平分，且，，那么的度数为________．23．（10分）（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前2世纪我国西汉初期的《淮南万毕术》，书中记载的现象：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”即潜望镜的雏形．如图，是一个潜望镜模型示意图，光线经过互相平行的镜子和镜子反射后，形成光线，人眼在点即可看到点的光线．已知，求证．请完成下面的证明，在括号内的横线上补充正确的结论或推理的依据．

证明：（已知），（）（已知），（）（等式的性质）．，（平角的定义），，（）．24．（12分）（2018下·江苏南京·七年级校联考期中）模型与应用.【模型】（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1＋∠MEN＋∠2＝360°.【应用】（2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为．如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度数为．（3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1O与∠CMnMn－1的角平分线MnO交于点O，若∠M1OMn＝m°．在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1的度数．（用含m、n的代数式表示）参考答案：1．C【分析】过O作直线MN//AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN//CD，进而可求出，从而求出．解：过O作直线MN//AB，如下图所示，∵MN//AB，∴（两直线平行，同旁内角互补），∴，∵MN//AB，AB//CD，，∴MN//CD，∴，∴，∴，故选：C．【点拨】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．2．C解：本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．假设与的交点为，因为，所以；根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和，可得，所以．故选C．3．C【分析】过点B作，则，利用平行线的性质，进行求解即可．解：如图，过点B作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是构造平行线．4．B【分析】过三角尺的顶点作平行线，根据平行线的性质求出∠4，故可求出的度数．解：如图，三角尺的顶点作平行线，则∴∠3=，∠4=90°∠3=25°故=∠4=25°故选B．．【点拨】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是根据题意作出平行线进行求解．5．B解：试题解析：延长DC交直线m于E．如图所示：∵l∥m，∴∠CEB=65°．在Rt△BCE中，∠BCE=90°，∠CEB=65°，∴∠α=90°∠CEB=90°65°=25°；故选B．考点：平行线的性质.6．B【分析】本题考查了平行性的性质．熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．由题意知，，，由，可得，进而可求．解：由题意知，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即，，∵，∴，∴，故选：B．7．D【分析】由三角形内角和定理和垂直的定义得，，则，由得到，由平分得到，由，则，由平分得到，由得到，整理即可得到答案．解：如图，

∵于点M．∴，∴，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，故选：D【点拨】此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键．8．A【分析】过C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定义得到，由邻补角的性质即可得到答案．解：过C作∥，∥，，，，，，，，，

故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，关键是过C作，得到，由平行线的性质来解决问题．9．C【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．解：如图，过点H作，过点F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．10．C【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°90°=45°，∴∠F=180°（∠FAD+∠FDA）=18045°=135°，故④正确．故选：C．【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．11．20【分析】由得到∠ABC+∠C=180°，再根据∠C=70°，BE⊥BC，即可求得∠ABE=180°90°70°=20°．解：∵，∴∠ABC+∠C=180°，又∵∠C=70°，BE⊥BC，∴∠ABE=180°90°70°=20°．故答案为：20．【点拨】考查了平行线的性质和垂线的定义，解题关键是根据图形和利用“两直线平行，同旁内角互补”进行求解．12．内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的性质和判定即可求解．解：∵ABCD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠EFG＝∠FGH，∴EFGH（内错角相等，两直线平行）．故答案为：内错角相等，两直线平行．【点拨】此题主要是综合考查了平行线的判定和性质，牢记内错角相等，两直线平行．13．【分析】过点作，可得，，可得，进而可求的度数．解：如图，过点作，

，，，．故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质与判断，解决本题的关键是正确作出辅助线．14．130°【分析】根据，，可以得到AD∥BC，∠DCB=50°，∠DCB+∠ADC=180°，即可求解.解：∵∴AD∥BC∴∠DCB+∠ADC=180°∵∴∠DCE=90°∵∴∠DCB=50°∴∠ADC=130°故答案为：130°.【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15．25°【分析】要求∠D的度数，只需根据三角形的外角的性质求得该三角形的外角∠1的度数．显然根据平行线的性质就可解决．解：∵AB∥ED，∠B=60°，∠C=35°，∴∠1=∠B=60°．∵∠1=∠C+∠D，∴∠D=∠1∠C=60°35°=25°．故答案为：25°．【点拨】本题考查了平行线的性质和外角的性质，根据两直线平行同位角相等和三角形外角的性质解答．16．【解析】略17．/88度【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；解：过点、、分别作，∵，，平分，平分，，，，，，，故答案为：．18．/52度【分析】本题考查了平行线的性质与判定的综合运用，过点作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论，解题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．解：如图，过点作，过作，

设，，∵，交于，平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，平分，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案为：．19．（1），理由见分析；（2）58【分析】（1）过E作，根据平行线的性质求解即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．解：（1），理由如下：过E作，如图，

∵，∴，∴，∴，即；（2）同（1）方法可知：，∵，，∴，∴，∵平分，∴．【点拨】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，熟练掌握运用平行线的判定和性质是解题关键．20．（1）；（2）见分析；（3）130；（4）【分析】（1）利用平行线的性质解答即可；（2）过点B作，得到，利用两直线平行内错角相等得到，由此得到结论；（3）过点B作，则，根据平行线的性质推出，再根据角平分线求出的度数；（4）依据（2）（3）的结论推理计算可得答案．（1）解：过点A作，所以．又因为，所以．故答案为：；

（2）解：过点B作，如图，

∵，，∴，∴，∴；（3）解：过点B作，则，

∴，，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，，根据（2）的结论可得：，故答案为：130；（4）由（3）得，

，∵平分，平分，∴，∵平分，平分，∴，∵平分，平分，∴，∴，故答案为：．【点拨】此题考查了平行线的性质的应用，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．21．（1）；（2）见分析；（3），理由见分析．【分析】（1）根据及的和为可求出，根据平行线的性质解答；（2）过点作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论；（3）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可．（1）解：如答图1，

∵，，∴．∵，∴；（2）解：理由如下：如答图2，过点B作．

∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴；（3）解：．理由如下：如答图3，过点C作．

∴．∵平分，，∴．∵，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．【点拨】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理．22．（1）；；；两直线平行，内错角相等；（2），理由见分析；（3）【分析】（）过点作直线，根据平行线的性质与判定即可求解；（）过点作直线，同理可得，，则；（）利用平行线的性质求出的值，再利用平行线的性质进行计算即可；本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.解：（1）过点作直线，∵，∴（平行于同一条直线的两条直线平行），，∴，∵，∴（两直线平行，内错角相等），∴；故答案为：；；；两直线平行，内错角相等；（2）如图所示，过点作直线，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）如图所示，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．23．；两直线平行，内错角相等；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行.【分析】先根据“两直线平行，内错角相等”可得，又由于，可得，由平角的定义可得，，由