专题01勾股定理（考点清单）

专题01讲勾股定理（考点清单）【聚焦考点】题型一：用勾股定理解三角形题型二：勾股数问题题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积题型四：勾股定理和网格问题题型五：勾股定理和折叠问题题型六：利用勾股定理求两条线段的平方和题型七：以炫图为背景的计算题题型八：勾股定理的应用题型九：勾股定理的证明题型十：勾股定理的综合问题【题型归纳】题型一：用勾股定理解三角形【典例1】（2022下·广东广州·八年级校考期末）如图，在中，，若，，则的长为（

）A． B． C．1 D．5【答案】A【分析】根据勾股定理解答即可．【详解】解：在中，，，，，故选：A．【专训11】（2023下·河南新乡·八年级校考期末）如图，在中，，，，以边为直径作一个半圆，则半圆(阴影部分)的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理求出，再求出半圆面积即可．【详解】解：，，，，∴阴影部分的面积．故选：B．【专训12】（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，菱形的边长为2，，则点B的坐标是(

)

A． B． C． D．【答案】D【分析】过点B作x轴的垂线，可证为等腰直角三角形，然后可求得，继而可求得的长，则就是点B的横坐标与纵坐标．【详解】过点B作x轴的垂线，垂足为点H，则．如图．

因为菱形的边长为2，∴．由菱形的对边可得：，又，∴．∴．∴在中，即∴．∴．因此，点B的坐标为．故选：D．题型二：勾股数问题【典例2】（2023下·河南驻马店·八年级统考期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．6，7，8 D．1，，【答案】B【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．【详解】解：A、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；B、∵，∴9、40、41是勾股数；C、，∴6，7，8不是勾股数；D、，均不是整数，∴1，，不是勾股数；故选：B．【专训21】（2023下·安徽合肥·八年级统考期末）下列各组是勾股数的是（）A． B．C．，，c＝ D．【答案】A【分析】根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵，∴能构成勾股数，符合题意；B、∵不是整数，∴不能构成勾股数，不符合题意；C、∵不是整数，∴不能构成勾股数，不符合题意；D、∵，∴不能构成勾股数，不符合题意．故选：A．【专训22】（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为（，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（

）

A．14 B．16 C．35 D．37【答案】C【分析】依题意，设斜边为x，则股为，根据勾股定理即可求出x的值．【详解】解：依题意，设斜边为x，则股为，∴，解得：，∴股为，故选：C．题型三：以直角三角形三边为边长的图形面积【典例3】2023下·云南红河·八年级统考期末）如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为6和9，则的面积为（

）A．9 B．12 C．15 D．20【答案】C【分析】先根据AAS证明，由此得，在中，根据勾股定理可得，等量代换可得，即可求出b的面积．【详解】如图，中，．，，．又，，．，，，即．故选：C【专训31】（2023下·安徽马鞍山·八年级校考期末）中，，分别以的三边作为边长向形外作正方形，并把各正方形的面积分别记作，，，如图，若，，则的值为（

）

A．13 B．17 C．20 D．35【答案】B【分析】由，，再根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴．故选：B．【专训32】（2023下·广西柳州·八年级统考期末）如图，在中，，分别以、为边作正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（

）A．144 B．120 C．100 D．无法计算【答案】A【分析】根据勾股定理即可进行解答．【详解】解：∵四边形和四边形为正方形，∴，，∵在中，，∴，∴，故选：A．题型四：勾股定理和网格问题【典例4】（2023下·河北保定·八年级统考期末）如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是（

）

A．线段 B．线段 C．线段 D．线段【答案】B【分析】根据勾股定理分别求解，，，，从而可得答案．【详解】解：由勾股定理可得：，，，，故选：B．【专训41】（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得，则边上的高是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设边上的高为，由题意知，，则，即，计算求解即可．【详解】解：设边上的高为，由题意知，，∴，即，解得，∴边上的高为，故选：C．【专训42】（2022上·山西运城·八年级统考期末）如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用图形的面积计算即可．【详解】如图，设边上的高为h，根据题意，得的面积为：，，所以，解得，故选C．题型五：勾股定理和折叠问题【典例5】（2023下·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在中，，将沿翻折，使点A与边上的点E重合，则的长是（

）

A．5 B．3 C． D．【答案】D【分析】利用勾股定理求得，再根据折叠的性质得到，，，求得，设，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵，∴，∵将沿翻折，使点A与边上的点E重合，∴，，，∴，设，则，在中，，∴，解得，∴，∴，故选：D．【专训51】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（

）

A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理求出的长，利用翻折得到，即可得出结果．【详解】解：∵，，，∴，由翻折得，∴，故选：C．【专训52】（2023下·天津和平·八年级天津市第五十五中学校考期末）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由勾股定理求得，由折叠得，，则，进而根据等面积法即可求解．．【详解】解：的两直角边，，，，由折叠得，，，，，解得，的长为，故选：A．题型六：利用勾股定理求两条线段的平方和【典例6】（2021上·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．45【答案】D【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）＝AC2−AB2＝45．故选：D．【专训61】（2020上·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在中，，以AB，AC，BC为边作等边，等边.等边.设的面积为，的面积为，的面积为，四边形DHCG的面积为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，得，由，，是等边三角形，得，，，即，从而可得.【详解】∵在中，，∴，过点D作DM⊥AB∵是等边三角形，∴∠ADM=∠ADB=×60°=30°，AM=AB，∴DM=AM=AB，∴同理：，，∴∵，∴，故选D.【专训62】（2018上·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=；过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2，依此法继续作下去，得OP2017等于（）A．2015 B． C． D．【答案】D【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．【详解】∵OP=1,OP1=,OP2=,OP3=2，∴OP=，…，OP2017=.故选D.题型七：以炫图为背景的计算题【典例7】（2023下·安徽·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（

）

A．7 B．24 C．17 D．25【答案】C【分析】勾股定理得：，又，由此即可求出，因此小正方形的边长为17．【详解】解：由题意知小正方形的边长是，由勾股定理得：，，，小正方形的边长为17．故选：C．【专训71】（2023下·青海西宁·八年级统考期末）如图，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两直角边为a，b．斜边为c，若，则小正方形的边长为（

）

A．3 B．4 C． D．【答案】A【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，∵每一个直角三角形的面积为：，∴大正方形的面积为：，∴，∴，故选：A．【专训72】（2023下·北京房山·八年级统考期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】首先根据勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可．【详解】∵勾，弦，∴∴小正方形的面积为．故选：A．题型八：勾股定理的应用【典例8】（2023下·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在处发现处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（）

A． B．3 C． D．5【答案】A【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：将台阶展开，如图，∵，，∴根据勾股定理可得：，∴，故选：A．

【专训81】（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（

）

A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8【答案】D【分析】首先在直角三角形中计算出长，再由题意可得长，再次在直角三角形中计算出长，从而可得的长度．【详解】解：∵米，米，∴（米），∵梯子的顶部下滑0.4米，∴米，∴米，∴米．∴梯子的底部向外滑出（米）．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的应用．抓住“梯子长度不变”是解题关键．【专训82】（2023下·北京怀柔·八年级统考期末）如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】D【分析】由，，求得，，再利用勾股定理的逆定理计算求解．【详解】解：由题意可得：，∴，又∵（海里），（海里），在Rt中，（海里）∴此时两舰的距离是海里．故选：D．题型九：勾股定理的证明【典例9】（2023下·四川绵阳·八年级统考期末）如图，是年月在北京召开的第届国际数学家大会会标，创作的灵感来源于我国三国时代东吴数学家赵爽所注的著作《周髀算经》中的一个数学知识，这个数学知识是（

）

A．黄金分割 B．完全平方公式 C．平方差公式 D．勾股定理【答案】D【分析】如图，边长为的大正方形的面积等于个全等的两个直角边长分别为和的直角三角形的面积加上边长为的小正方形的面积，即可求解．【详解】解：如图所示：

由题意得：边长为的大正方形的面积个全等的两个直角边长分别为和的直角三角形的面积边长为的小正方形的面积，即：，整理得：，即直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和，故选：D．【专训91】（2023下·河北廊坊·八年级统考期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（

）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可．【详解】解：①，，∴，整理得，故①满足题意；④或，∴，∴，故④满足题意；②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意；③无法证明直角三角三边关系，故③不符合题意；故选：D【专训92】（2023上·河北保定·八年级统考期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在长方形的边上，则长方形的面积为（

）A．420 B．440 C．430 D．410【答案】B【分析】延长交于P，延长交于Q，可得全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出和的长，再根据长方形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长交于P，延长交于Q，由题意得，，∴，∴，∴，同理可证，∴，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴，，∴长方形的面积．故选：B．题型十：勾股定理的综合问题【典例10】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米），感应门自动打开，为多少米？

【答案】米【分析】过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．【详解】解：如图，过点作于点，米，米，米，（米）．在中，由勾股定理得到：（米），答：为米．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．【专训101】．（2023上·河南周口·八年级校考期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．

(1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；(2)当，时，求图2中空白部分的面积．【答案】(1)见解析(2)13【分析】（1）根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角